Circunferências ex - inscritas

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Eliza Fagundes Álvares
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1 Polos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível Prof. ícero Thiago ula 18 ircunferências ex - inscritas Teorema 1. Seja XOY umângulodadoep umpontoemseuinterior. ntão, adistância de P a XO é igual a distância de P a YO se, e somente se, o ponto P pertence a bissetriz. emonstração. M X P O N Y Suponhamosinicialmente queopontop pertenceàbissetriz. ntão, XOP = YOP. Sejam M e N os pés das perpendiculares baixadas desde P sobre OX e OY, respectivamente. Podemos concluir, que MOP NOP, pelo caso L... Portanto, PM = PN. Reciprocamente, suponhamos agora que PM = PN. Pelo caso especial de congruência de triângulos, cateto - hipotenusa, os triângulos M OP e N OP são congruentes. Portanto, MOP = NOP e, assim, P pertence à bissetriz. Teorema. s bissetrizes externas de quaisquer dois ângulos de um triângulo são concorrentes com a bissetriz interna do terceiro ângulo. emonstração.

2 POT 01 - Geometria - Nível - ula 18 - Prof. ícero Thiago P F No triângulo traçamos as bissetrizes externas dos ângulos e os quais se intersectam em P. o teorema 1, como P pertence à bissetriz externa do ângulo, então P = PF. lém disso, P pertence à bissetriz externa do ângulo, então PF = P. omo P = P, pelo teorema 1, concluímos que P pertence à bissetriz do ângulo. essa forma, se P equidista dos três lados do triângulo e é um ponto no exterior do triânglo então P é o centro de uma das três circunferências ex - inscritas do trângulo. circunferência com centro I a e raio r a é uma das três circunferências ex - inscritas que representaremos apenas por (I a,r a ). nalogamente são definidas as circunferências (I b,r b ) e (I c,r c ). Os pontos I a, I b e I c são os ex - incentros. ada circunferência ex - inscrita toca um dos lados do triâgulo internamente e os outros dois externamente, ou seja, toca no prolongamento. Na figura a seguir, observe que pela propriedade de segmentos tangentes a uma circunferência, vulgarmente conhecido com Teorema do bico, temos que L = G, além disso L+G = ( +L)+(G+) = = a+b+c = p. Portanto, as tangentes traçadas por à circunferência (I b,r b ) tem medida p. essa forma é fácil ver que J = K = G = L = H = M = p. lém disso, L = L = p a. ntão, M = F = L = = p a, K = = H = F = p b, G = = J = = p c.

3 POT 01 - Geometria - Nível - ula 18 - Prof. ícero Thiago G H I b I c F I M L K J I a Teorema 3. (issetriz externa) bissetriz externa L do ângulo de um triângulo divide externamente o lado oposto na razão, ou seja, L L = em que L é o ponto de intersecção da bissetriz externa com o lado. emonstração. 3

4 POT 01 - Geometria - Nível - ula 18 - Prof. ícero Thiago R L Seja R a intersecção da paralela à bissetriz L traçada pelo ponto. É fácil ver que L = L = R = R, com isso, R =. Pelo teorema de Tales temos que R = L L. omo R =, então = L L. Teorema 4. (Área de um triângulo em função do raio de uma circunferência ex - inscrita.) Sejam a, b e c as medidas dos lados, e do triângulo, respectivamente, e sejam r a, r b e r c os raios das circunferências ex - inscritas relativas aos lados a, b e c, respectivamente. ntão, a área do triângulo pode ser calculada por em que p = a+b+c. emonstração. [ ] = r a (p a) = r b (p b) = r c (p c), 4

5 POT 01 - Geometria - Nível - ula 18 - Prof. ícero Thiago a x F r a b a x r a I a r a c x x Pela propriedade dos segmentos tangentes, temos que = = x e = F = a x. ntão, [ ] = [ I a ]+[ I a F] [ I a ] [ ] = (c+x) r a + (b+a x) r a a r a [ ] = r a (a+b+c a) = r a (p a) = r a(p a). nalogamente, [ ] = r b (p b) = r c (p c), Problema 1. Sejam um triângulo, M o pé da bissetriz interna do ângulo e N o pé da bissetriz interna do ângulo. Suponha que MN seja bissetriz do ângulo M. alcule a medida do ângulo. Solução. É fácil ver que N é um dos ex - incentros do triângulo pois é a interseção da bissetriz externa do ângulo M e da bissetriz interna do ângulo. Logo, N é bissetriz externa do ângulo. Portanto, = 10. 5

6 POT 01 - Geometria - Nível - ula 18 - Prof. ícero Thiago N θ M θ Problema. (OM) Um triângulo, de lados = c, = b e = a, tem perímetro p. Uma circunferência tangencia o lado e os prolongamentos dos lados e nos pontos P, Q e R, respectivamente. O comprimento R é igual a: (a) p a (b) p b (c) p c (d) p (e) p Solução. P R Q I 6

7 POT 01 - Geometria - Nível - ula 18 - Prof. ícero Thiago Pelo teorema é fácil ver que R = Q = p. Portanto, a resposta é o item (b). Problema 3. No quadrilátero determine a medida do ângulo Solução. F G Na figura, F = e G = 70. ntão, e são bissetrizes externas dos ângulos e. essa forma, é bissetriz interna do ângulo. Portanto, = = 40. Finalmente, = 80. xercícios propostos 1. Num triângulo tem - se =, e é um ponto sobre a base tal que o raio do círculo inscrito no triângulo é igual ao raio do círculo tangente ao segmento e aos prolongamentos das retas e. Prove que o raio deste círculo é igual a 1 4 da medida h de uma das alturas iguais do triângulo.. Prove que os três segmentos determinados por um vértice e pelo ponto de tangência 7

8 POT 01 - Geometria - Nível - ula 18 - Prof. ícero Thiago da circunferência ex - inscrita com o lado oposto a esse vértice são concorrentes em um ponto chamado ponto de Nagel. 3. (OM) medidadoângulo deumtriângulo é10. SejamM umpontosobreolado ek um ponto sobreoprolongamento dolado, tais quem é abissetriz interna do ângulo e K é a bissetriz externa correspondente ao ângulo. O segmento MK intersecta no ponto P. Prove que PM = (Leningrado) Sejam F, G e H as bissetrizes de um triângulo que tem ângulo medindo 10. Prove que o ângulo GFH mede (elarus) Seja O o centro do círculo ex - inscrito do triângulo oposto ao vértice. Seja M o ponto médio de e seja P a interseção das retas MO e. Prove que se =, então = P. 6. (IMO) ado um triângulo, o ponto J é o centro da circunferência ex-inscrita oposta ao vértice. sta circunferência ex-inscrita é tangente ao lado em M, e às retas e em K e L, respectivamente. s retas LM e J intersectam-se em F, e as retas KM e J intersectam-se em G. Seja S o ponto de interseção das retas F e, e seja T o ponto de interseção das retas G e. Prove que M é o ponto médio de ST. ( circunferência ex-inscrita de oposta ao vértice é a circunferência tangente ao segmento, ao prolongamento do segmento no sentido de para e ao prolongamento do segmento no sentido de para.) ibliografia 1. Tópicos de Matemática lementar - Vol. ntonio aminha Muniz Neto. Geometria Radmila ulajich Manfrino e José ntonio Gómez Ortega 8

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