Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 9. Curso de Geometria - Nível 3. Prof. Cícero Thiago

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1 Polos Olímpios de Treinamento urso de Geometria - Nível 3 Prof. íero Thiago ula 9 Relações métrias no triângulo. Teorema 1. (Lei dos Senos) Seja um triângulo tal que = a, = b e =. Seja R o raio da irunferênia irunsrita. Então emonstração. a sin = b sin = sin = 2R. b O ˆ a ˆ Seja um diâmetro. É fáil ver que =. ssim, no triângulo, sin = b 2R b = 2R. nalogamente, sin a sin = sin = 2R.

2 POT Geometria - Nível 3 - ula 9 - Prof. íero Thiago Finalmente, a sin = b sin = sin = 2R. Teorema 2. (Lei dos ossenos) Seja um triângulo tal que = a, = b e =. Então, a 2 = b bos, emonstração. b 2 = a aos, 2 = a 2 +b 2 2abos. H b ˆ m a m Vamos fazer o aso em que o triângulo é autângulo. O aso em que o triângulo é obtusângulo fia omo exeríio. pliando o teorema de Pitágoras nos triângulos e, temos: 2 = m 2 +H 2 e b 2 = (a m) 2 +H 2 b 2 = a 2 2am+m 2 +H 2. ssim, b 2 = a am. Por outro lado, os = m b 2 = a aos. nalogamente, m = os. Finalmente, a 2 = b bos e 2 = a 2 +b 2 2abos. Teorema 3. (Stewart) Seja um triângulo tal que = a, = b e =. Seja um ponto sobre o lado tal que = x, = y e = z. Então, 2 y +b 2 x z 2 a = axy. 2

3 POT Geometria - Nível 3 - ula 9 - Prof. íero Thiago emonstração. z b 180 α α x y pliando a lei dos ossenos nos triângulos e, temos 2 = x 2 +z 2 2xzos(180 α) E 2 x = x+ z2 x 2zos(180 α). (1) diionando (1) e (2), enontramos b 2 = y 2 +z 2 2yzosα b 2 y = y + z2 2zosα. (2) y b 2 y + 2 x b 2 y + 2 x = x+y + z2 y + z2 x = a+ z2 y + z2 x 2 y +b 2 x z 2 a = axy. Teorema 4. (eva trigonométrio) Seja um triângulo e sejam, E e F pontos sobre os lados, e, respetivamente. Então,, E e F são onorrentes se, e somente se, sin sin sin E sin E sin F sin F = 1. emonstração. Suponha que, E e F são onorrentes em P. 3

4 POT Geometria - Nível 3 - ula 9 - Prof. íero Thiago F P E pliando lei dos senos nos triângulos P, P e P, respetivamente, temos Portanto, 1) 2) 3) P sin = P sin F = P sin = P sin E sin E sin = P P. P sin E sin F sin E = P P. P sin F sin sin F = P P. P P P P P P = sin E sin sin F sin E sin sin F = 1. Para demonstrar a reíproa, ou seja, se sin sin sin E sin E sin F sin F = 1 então, E e F são onorrentes, usaremos o seguinte Lema: Seja um triângulo e uma eviana qualquer. Então, emonstração. = sin sin. 4

5 POT Geometria - Nível 3 - ula 9 - Prof. íero Thiago pliando a lei dos senos nos triângulos e, respetivamente, temos 1) sin = sin 2) sin = sin. Por outro lado, sin = sin pois + = 180. ssim, = sin sin. e maneira análoga, sejam E e F evianas quaisquer, então E E = sin E sin E, F F = sin F sin F. Multipliando todas as igualdades enontramos E E F F teorema de eva, segue o resultado. = 1. Pela reíproa do Exeríios resolvidos 1. (hina Western) Em um trapézio, //. Sejam E um ponto variando sobre o lado, O 1 e O 2 os irunentros dos triângulos E e E, respetivamente. Prove que o omprimento de O 1 O 2 é fixo. Solução. E O 1 O 2 É fáil ver que EO 1 = 90 E e EO 2 = 90 E. Então, O 1 EO 2 = E + E. 5

6 POT Geometria - Nível 3 - ula 9 - Prof. íero Thiago omo, onstrua uma paralela a, por E. essa forma E = E + E, ou seja, O 1 EO 2 = E. Usando lei dos senos, temos ssim, E O 1 EO 2. Portanto, E E = 2O 1Esin 2O 2 Esin = O 1E O 2 E. O 1 O 2 = O 1E E = Portanto, O 1 O 2 =, que é um valor fixo. 2sin O 1 E 2O 1 Esin = 1 2sin. 2. Seja um quadrilátero insrito em uma irunferênia de diâmetro. Se = = 1 e = 3, ahe o omprimento da orda. Solução. α α Temos que = 3, = = 1. pliando o teorema de Pitágoras no triângulo, temos 2 = = =

7 POT Geometria - Nível 3 - ula 9 - Prof. íero Thiago lém disso, osα = = 2 2. pliando a lei dos ossenos no triângulo, 3 temos 2 = osα 1 2 = = 3 ou 7 3. omo o diâmetro mede 3, então = (Teste de seleção do rasil para a one Sul) Em um triângulo autângulo, = 30, H é seu ortoentro e M é o ponto médio de. Sobre a reta HM tomemos um ponto T H tal que HM = MT. Mostre que T = 2. Solução. H M T HT é um paralelogramo pois M é o ponto médio de e HM = MT. lém disso, e H, assim T, ou seja, T = 90. om isso, T pertene à irunferênia irunferênia irunsrita a e T é diâmetro. Portanto, T = 2R = sin = sin30 = Seja um triângulo om = 40 e = 60. Sejam e E pontos sobre os lados e, respetivamente, tais que = 40 e E = 70 e F a interseção de e E. Prove que F. Solução. 7

8 POT Geometria - Nível 3 - ula 9 - Prof. íero Thiago E F G Seja G o pé da altura relativa ao lado. É fáil ver que G = 30 e, om isso, G = 10. omo = 40, então = 20. lém disso, omo E = 70, então E = 10. pliando o teorema de eva trigonométrio temos sin G sin G sin sin E sin E = sin10 sin20 sin70 sin30 sin40 sin10 = 2 sin20 os20 sin40 = 1. Portanto, G, e E são onorrentes. Exeríios propostos 1. Seja um triângulo tal que = 45 o. Seja o ponto sobre o segmento tal que 2 = e = 15 o. etermine o ângulo. 2. (IME) Seja um triângulo tal que = 13, = 15 e = 14. Seja o ponto do segmento tal que = 6. Seja E o ponto de tal que E > e E =. etermine E. 3. (OM) etermine a área de um hexágono onvexo que está insrito em um írulo e tem três lados onseutivos iguais a 3 m e os outros três om omprimentos iguais a 2 m. 4. (OM) s retas r, s e t são paralelas. reta s está situada entre r e t de tal modo que a distânia de s a r é 3m e a distânia de s a t é 1m. alule a área de um 8

9 POT Geometria - Nível 3 - ula 9 - Prof. íero Thiago triângulo equilátero onde os vérties se enontram sobre ada uma das três retas. 5. Em um triângulo, = 100 o e =. Seja a bissetriz de, om sobre o lado. Prove que + =. 6. Os lados a > b > ( de ) um( triângulo ) estão em P.. de razão k > 0. (i) Prove que tg tg = (ii) Se r é o inraio, prove que r = ( 3 tg ( 2 2k ) tg ( )) Seja P um ponto no interior do triângulo tal que P = 10, P = 20, P = 30 e P = 40. Prove que o triângulo é isóseles. 8. Seja um triângulo, prove que r = 4R sin 2 sin 2 sin Seja umtriângulotalquemax{,} = +30. Proveque éumtriângulo retângulo se, e somente se, R r = (IMO) Seja I o inentro do triângulo. Sejam K, L, M os pontos onde o írulo insrito em toa os lados, e, respetivamente. reta paralela a MK passando por enontra as retas LM e LK em R e S, respetivamente. Mostre que o ângulo RIS é agudo. 11. Um triângulo equilátero tem lado 2 m e Γ é a sua irunferânia insrita. emonstre que para todo ponto de Γ a soma dos quadrados de suas distânias aos vérties, e é igual a (IMO) Em um triângulo a bissetriz do ângulo interseta o írulo irunsrito do triângulo novamente no ponto R, a mediatriz de em P, a mediatriz de em Q. O ponto médio de é K e o ponto médio de é L. Prove que os triângulos RPK e RQL tem a mesma área. 13. IMO Shortlist)Seja 1 o entro de um quadrado insrito em um triângulo autângulo, om dois de seus vérties sobre o lado e os outros dois vérties, estão sobre os lados e. Pontos 1 e 1 são definidos de maneira similar, insrevendo quadrados om dois de seus vérties sobre os lados e, respetivamente. Prove 9

10 POT Geometria - Nível 3 - ula 9 - Prof. íero Thiago que as retas 1, 1 e 1 são onorrentes. 14. (Teste de seleção do rasil para a IMO)Seja Γ uma irunferênia de entro O tangente aos lados e do triângulo nos pontos E e F. reta perpendiular ao lado por O interseta EF no ponto. Mostre que, e M (ponto médio de ) são olineares. ibliografia Trigonometry Problems - From the training of the US IMO team Titu ndreesu 2. Prealulus Rihard Ruszyk 3. Olimpíadas de Matemátia 97 ntonio aminha, Onofre ampos e Paulo Rodrigues 4. Olimpíadas earenses de Matemátia, Ensino Médio, Emanuel arneiro, Franiso ntônio M. de Paiva e Onofre ampos. 10