Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 9. Curso de Geometria - Nível 2. Teorema de Ptolomeu. Prof. Cícero Thiago

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Raquel Prada Galindo
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1 Polos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível 2 Prof. ícero Thiago ula 9 Teorema de Ptolomeu Teorema 1. (Ptolomeu) O produto dos comprimentos das diagonais de um quadrilátero inscritível é igual a soma dos produtos dos comprimentos dos pares de lados opostos. emonstração. B P Seja P o ponto sobre o prolongamento do lado tal que B = P. omo o quadrilátero B é inscritível então B = P, assim B P. om isso, omo B = P e B B = B P = P = P B P = B Mas P = +P, dessa forma B B P = B B.. Portanto, B P. ssim, P = B B. = + B B

2 POT Geometria - Nível 2 - ula 9 - Prof. ícero Thiago Exercícios Resolvidos B = B + B. 1. SejaB umtriânguloequiláteroesejap umpontosobreoarco B, quenãocontém, da circunferência circunscrita ao triângulo B. Prove que P = PB +P. Solução. B P omo o triângulo B é equilátero então B = B = = a. plicando o teorema de Ptolomeu ao quadrilátero BP temos que B P + PB = B P a P +a PB = a P P +PB = P. 2. (IME) ado o quadrilátero B, inscrito num círculo de raio r, conforme a figura abaixo, prove que: B = B +B B B +. 2

3 POT Geometria - Nível 2 - ula 9 - Prof. ícero Thiago B R Solução. B M N Sejam M e N pontos sobre a circunferência circunscrita ao quadrilátero B tais que ĀM = e N = ĀB. essa forma M =, N = B, BM = N e M = BN =. plicando o teorema de Ptolomeu nos quadriláteros MB e NB temos BM = B M +B M (I) Fazendo (I) (II), temos N B = N B + BN (II) B = B +B B B +. 3

4 POT Geometria - Nível 2 - ula 9 - Prof. ícero Thiago Este resultado é conhecido como Teorema de Hiparco. 3. (Seletiva do Brasil para a one Sul) Prove que as distâncias entre um ponto sobre uma circunferência e os quatro vértices de um quadrado nesta inscrita não podem ser todas números racionais. Solução. P B omo B é um quadrado então B = B = = = a. Pelo toerema de Pitágoras no triângulo B temos que 2 = B 2 + B 2 2 = a 2 + a 2 = 2 a 2 = 2 a. plicando o teorema de Ptolomeu no quadrilátero BP, temos BP = P B +P B 2 a BP = P a+p a 2 = P +P BP Se todas as medidas fossem números racionais estaríamos afirmando, de maneira falsa, que 2 Q. Se P coincidir com um dos vértices, ou seja, P, então BP P = 2. ssim, as medidas não podem ser todas racionais.. 4. (Irã) Seja B um triângulo com B > > B. Seja um ponto sobre o lado B e seja E o ponto no prolongamento de B, com entre E e B, tal que B = BE =. Seja P o ponto sobre tal que E, B, e P são concíclicos e seja Q o segundo ponto de interseção de BP com o círculo circunscrito ao triângulo B. Prove que Q+Q = BP. 4

5 POT Geometria - Nível 2 - ula 9 - Prof. ícero Thiago Solução. E P Q B Veja que Q EP, pois Q = BQ = EP e Q = 180 B = EP. Por outro lado, pelo teorema de Ptolomeu, temos Então, BP = BE P EP +B E E BP E = BE P +B EP. Q Q = + = Q+Q. 5. Seja n um polígono regular de n lados tal que 1 = etermine n, ou seja, o número de lados do polígono regular. Solução. Temos que = = (I) 5

6 POT Geometria - Nível 2 - ula 9 - Prof. ícero Thiago n 2 1 omo o quadrilátero é inscritível podemos aplicar o teorema de Ptolomeu, assim = (II) lém disso, como o polígono é regular, temos omparando (I) e (II), encontramos 1 2 = 4 5, 1 2 = 3 4, 1 3 = = 1 5. omo as diagonais 1 4 e 1 5 são iguais, segue que existe o mesmo número de vértices entre 1 e 4 e entre 1 e 5. essa forma concluímos que n = 7. Exercícios Propostos 1. (HSME) Seja B um quadrilátero e seja O o ponto de interseção das diagonais e B. Se BO = 4, O = 6, O = 8, O = 3 e B = 6, determine a medida de. 2. Seja B um quadrilátero convexo tal que Prove que B é inscritível. B = B + B. 6

7 POT Geometria - Nível 2 - ula 9 - Prof. ícero Thiago 3. Seja B um quadrado. etermine o lugar geométrico dos pontos P, no mesmo plano do quadrado B, tais que máx{p,p} = 1 2 (PB +P). 4. Uma circunferência passa pelo vértice de um paralelogramo B intersectando os lados B e nos pontos P e R, respectivamente. lém disso intersecta a diagonal no ponto Q. Prove que Q = P B +R. 5. UmpontoP éescolhidoointerior doparalelogramo B detal formaque PB+ P = 180. Prove que B = BP P +P P. 6. Seja B um triângulo isósceles, com B =, inscrito em uma circunferência Γ. Seja P um ponto sobre o arco B, que não contém, da circunferência Γ. Prove P que PB +P = B. 7. Seja B um quadrado inscrito em uma circunferência Γ. Seja P um ponto sobre o arco B, que não contém e, da circunferência Γ. Prove que P+P PB +P = P P. 8. bissetriz do ângulo do triângulo B intersecta o círculo circunscrito no ponto. Prove que B (IMO) Seja BEF um hexágono convexo tal que B = B =, E = EF = F e B = EF = 60. Sejam G e H pontos no interior do hexágono tais que GB = HE = 120. Prove que G+GB +GH +H +HE F. 10. (Mandelbrot) Um quadrilátero inscritível é tal que seus lados medem 1, 7, 3 e 21, nesta ordem. etermine a distância entre os pontos médios das diagonais. Bibliografia 1. Mandelbrot Morsels Sam Vandervelde 2. dvanced Euclidean Geometry lfred Posamentier 7

8 POT Geometria - Nível 2 - ula 9 - Prof. ícero Thiago 3. Problem primer for the olympiad R Pranesachar, B J Venkatachala e S Yogananda Problems for Mathematical ontests Titu ndreescu e orin ndrica 5. Olimpíadas de Matemática 97 ntonio aminha, Onofre ampos e Paulo Rodrigues 6. Geometría - Una Visión de la planimetría Lumbreras 7. the rt of Problem Solving, vol. 2: and Beyond Richard Rusczyk e Sandor Lehoczky 8. Problems in plane and solid geometry, vol. 1 - Plane Geometry Viktor Prasolov 8

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