Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 15. Curso de Geometria - Nível 2. Pontos Notáveis 1: Baricentro. Prof. Cícero Thiago

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Ana Luísa Ferretti Figueira
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1 olos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível rof. ícero Thiago ula 15 ontos Notáveis 1: aricentro ropriedade 1. s três medianas de um triângulo intersectam - se num mesmo ponto, chamado baricentro, que divide cada uma das medianas em duas partes tais que a parte que contém o vértice é o dobro da outra. G N M Demonstração. D G 1 N E Sejam N e os pontos médios dos lados e, respectivamente, D e E os pontos médios de G 1 e G 1, respectivamente. Então, N e N =

2 OT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 15 - rof. ícero Thiago e DE e DE = portanto, DEN é uma paralelogramo. om isso, D = DG 1 = G 1 N, E = EG 1 = G 1, então G 1 = G 1 N e G 1 = G 1. De maneira análoga, as medianas M e N intersectam - se em um ponto G tal que G = G M e G = G N. Encontramos, então, dois pontos distintos G 1 e G, no interior do segmento N que o dividem na mesma razão, o queé uma contradição logo, G 1 = G = G. ortanto, as três medianas intersectam - se em um mesmo ponto G que chamaremos de baricentro. Exercícios Resolvidos 1. (OM) Seja N o ponto do lado do triângulo tal que N = N e M o ponto do lado tal que MN é perpendicular a. Sabendo que = 1 cm e que o baricentro G do triângulo pertence ao segmento MN, determine o comprimento do segmento G. OS: aricentro é o ponto de interseção das medianas do triângulo. Solução. Se é uma mediana do triângulo então = = 6 e N =. omo G é o baricentro do triângulo então G G = 1 e N N = 1, assim, pela recíproca do teorema de Tales, GN é paraleloa e = 90. omootriângulo éretânguloentão = = = 6. om isso, G = 4 e G =. M G N. (ulgária) Seja um triângulo isósceles ( = ) tal que 1, 1 e 1 são os pontos médios de, e, respectivamente. Os pontos e são os simétricos de 1 e 1 com relação ao lado. Seja M a interseção de e 1 1 e seja N a interseção de e 1 1. Seja a interseção de N e M, prove que =. Solução. omo 1 1 e 1 = 1, temos que 1 1 é um paralelogramo. Então, 1 M = 1 M. Mas é também um paralelogramo e, portanto, a in-

3 OT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 15 - rof. ícero Thiago terseção M e é 1. Então, está sobre a mediana 1. nalogamente, está sobre a mediana 1. No triângulo isósceles as medianas 1 e 1 possuem o mesmo comprimento. ortanto, = 3 1 = 3 1 =. Exercícios ropostos roblema 1. Uma reta r passa pelo baricentro de um triângulo deixando o vértice em um semiplano e os vértices e no outro semiplano determinado por r. s projeções de, e sobre a reta r são M, N e, respectivamente. rove que M = N +. roblema. (OM) Seja D um quadrilátero convexo, onde N é o ponto médio de D, M é o ponto médio de, e O é a interseção entre as diagonais e D. Mostre que O é o baricentro do triângulo MN se, e somente se, D é um paralelogramo. roblema 3. (ortugal) No triângulo as medianas dos lados e são perpendiculares. Sabendo que = 6 e = 8, determine. roblema 4. (Estônia) s medianas relativas aos vértices e do triângulo são perpendiculares. rove que é o menor lado do triângulo. roblema 5. (OM) Seja um triângulo tal que as medianas M e N, que se cortam em G, são iguais. rove que o triângulo é isósceles. roblema 6. rove que a soma dos quadrados das distâncias de um ponto aos vértices de um triângulo é mínima quando é o baricentro do triângulo. Soluções 1. Seja D um mediana e Q o ponto médio de N. Então, DQ é a base média do trapézio N + N assim DQ N e DQ =. omo G é o baricentro do triângulo então G = GD. É fácil ver que MG GQD, então M M = N +. = DQ. ortanto, 3

4 OT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 15 - rof. ícero Thiago N G M Q D. ( ) Suponha que D é um paralelogramo, então O = O e O = D. Se M e N são os pontos médios de e D então MN D e MN = D. É fácil concluir que é o ponto de médio de O então M O, M = O DO, N DO e N =. ortanto, N = M e O = O, ou seja, O é o baricentro de MN. ( ) Suponha que O é o baricentro do triângulo MN então N = M e O = O. Se M e N são os pontos médios de e D então MN D e MN = D. É fácil concluir que é o ponto de médio de O então O =, M O, M = O, N DO e N = DO. Daí, O = O e DO = O, ou seja, D é um paralelogramo. 4

5 OT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 15 - rof. ícero Thiago O M D N 3. Sejam M e N os pontos médios de e, respectivamente, e G o ponto de encontro das medianas M e N. plicando o teorema de itágoras GM e NG, temos: e GM +4GN = GM +G = M = 3 = 9 4GM +GN = G +GN = N = 4 = 16. Deste modo, 5GM +5GN = 9+16 = 5, logo NM = 5. ortanto, = 5. N G M 4. Seja M o baricentro do triângulo Seja um ponto sobre a reta M tal que é um paralelogramo. Os pontos e são construídos analogamente. omo então os pontos, 1 e são colineares e 1 é o ponto médio de 5

6 OT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 15 - rof. ícero Thiago. O mesmo é verdade para os pontos, 1 e e, 1 e. Vamos mostrar que =, = e =, o que resolve o problema. ssuma que e está entre e M. Então está entre e M, está entre e M e consequentemente está entre e M, que é uma contradição. 5. s medianas intersectam - se no ponto M e a mediana que parte do vértice intersecta no ponto F. Então, F é o ponto médio da hipotenusa do triângulo retângulo M, ou seja, = FM. omo M divide a mediana F na razão : 1, então = M. O maior ângulo do triângulo M é o ângulo obtuso M, portanto é o maior lado deste triângulo. ssim, > M =. De maneira análoga >. 6. Seja M = N = m. omo G é o baricentro de, temos GM = m 3 = GN e G = m = G. Daí, segue que os triângulos GN e GM são congruentes (pelo caso 3 LL), de modo que N = M. Logo, = N = M =, e o triângulo é isósceles. N M G 7. Seja um triângulo com = a, = b e = c. Seja M o ponto médio de, G o baricentro do triângulo e um ponto qualquer. Usando que, a soma dos quadrados de dois dos lados de um triângulo é igual a duas vezes o quadrado da mediana relativa ao terceiro lado mais a metade do quadrado do terceiro lado (a demonstração desse resultado usa lei dos ossenos e será provado na aula de relações métricas), no triângulo 6

7 OT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 15 - rof. ícero Thiago com mediana M temos: + = M + a. (I) O baricentro G é tal que G = GM. Faça GM = m; G = m e tome H em G tal que GH = H = m. ssim, o triângulo HM, com mediana G satisfaz H +M = G + 1 (m) = G +m (II) e o triângulo G com mediana H satisfaz Somando (I) e (III) +G = H + 1 (m) = H +m. (III) + + +G = M + a +H +m = = (M +H )+ a +m = por (II) (G +m )+ a +m = 4G +6m + a. ortanto, + + = 3G +6m + a. (IV) omo o triângulo a e m são constantes, + + é mínimo quando G = 0, ou seja, = G é o baricentro do triângulo. H G M 7

8 OT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 15 - rof. ícero Thiago ibliografia 1. Lecture Notes on Mathematical Olympiad ourses For Junior Section, vol. 1 Xu Jiagu. untos Notables - Teoría - Demostraciones - Trazos uxiliares 440 problemas resueltos e propuestos Julio Orihuela astidas Editorial uzcan 3. Geometría Radmila ulajich Manfrino e José ntonio Gómez Ortega uadernos de Olimpiadas de Matemáticas 4. Tópicos de Matemática Elementar, vol. Geometria Euclidiana lana ntonio aminha Muniz Neto SM 5. Episodes in Nineteenth and Twentieth Euclidean Geometry Ross Honsberger M 6. roblems in lane and Solid Geometry, vol. 1 - lane Geometry Viktor rasolov 7. dvanced Euclidean Geometry lfred osamentier 8. Lessons in Geometry I. lane Geometry Jacques Hadamard MS 9. Hadamard s lane Geometry Reader s ompanion Mark Saul MS 10. oleção Elementos da Matemática Geometria lana, vol. Marcelo Rufino de Oliveira e Márcio Rodrigo da Rocha inheiro 8

9 OT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 15 - rof. ícero Thiago 11. Olimpíadas earenses de Matemática, Ensino Médio, Emanuel arneiro, Francisco ntônio M. de aiva e Onofre ampos 1. roblemas de las Olimpiadas Matematicas del ono Sur (I a IV) Fauring - Wagner - Wykowski - Gutierrez - edraza - Moreira Red Olímpica 13. Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 9 - Geometria lana Osvaldo Dolce e José Nicolau ompeo 14. Olimpiada Matemática Española problemas de diferentes Olimpiadas de Matemática en el mundo 9

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