Pontos Notáveis II: Baricentro e reta de Euler

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1 Polos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível 3 Prof. ícero Thiago ula 5 Pontos Notáveis II: aricentro e reta de Euler Propriedade 1. Num triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa mede metade da hipotenusa. emonstração. Seja o ponto sobre o prolongamento da mediana tal que =. Os triângulos e são congruentes, pelo caso LL. aí, = e =, ou seja, e são segmentos iguais e paralelos e portanto = = 90. ssim, os triângulos e são congruentes, pelo caso LL, e portanto = = = = = firmação. Uma base média de um triângulo é um segmento que une os pontos médios de dois de seus lados. ssim, todo triângulo possui exatamente três bases médias. Propriedade. Sejam um triângulo e, N os pontos médios dos lados,, respectivamente. Então N e N =

2 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 5 - Prof. ícero Thiago N P emonstração. Inicialmente, prolonguemos a base média N até um ponto P tal que N = NP. Em seguida, construímos o triângulo NP. Note que os triângulos N e NP são congruentes, pelo caso LL. aí, P = e N = PN e portanto P = P. ssim, P é um paralelogramo, pois P e são segmentos paralelos e iguais. as então P e P = = N = = N = firmação. base média de um trapézio é o segmento que une os pontos médios de seus lados não paralelos. Propriedade 3. Seja um trapézio de bases e, e sejam e N os pontos médios dos lados e, respectivamente. Então, N, N e N = +. N E emonstração. Inicialmente, prolonguemos até encontrar no ponto E. É fácil ver que E (L) = E. Portanto, N é base média do triângulo E. ssim, N E N N = E.

3 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 5 - Prof. ícero Thiago Finalmente, N = +E = +. Propriedade 4. s três medianas de um triângulo intersectam - se num mesmo ponto, chamado baricentro, que divide cada uma das medianas em duas partes tais que a parte que contém o vértice é o dobro da outra. P G N emonstração. P G 1 N E Sejam N e P os pontos médios dos lados e, respectivamente, e E os pontos médios de G 1 e G 1, respectivamente. Então, NP e NP = e E e E = portanto, PEN é uma paralelogramo. om isso, = G 1 = G 1 N, E = EG 1 = G 1 P, então G 1 = G 1 N e G 1 = G 1 P. e maneira análoga, as medianas e N intersectam - se em um ponto G tal que G = G e G = G N. Encontramos, então, dois pontos distintos G 1 e G, no interior do segmento N que o dividem na mesma razão, o queé uma contradição logo, G 1 = G = G. Portanto, as três medianas intersectam - se em um mesmo ponto G que chamaremos de baricentro. 3

4 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 5 - Prof. ícero Thiago Propriedade 5. O ortocentro, o baricentro e o circuncentro de um triângulo, não equilátero, são colineares. reta determinada por esses pontos é chamada de Reta de Euler. emonstração. Sejam e N os pontos médios de e, respectivamente. Então, N e N =. O teorema 1 da aula 4 garante que = O. omo O é o circuncentro então O = O e, com isso, O = O. O quadrilátero NO é inscritível então O = NO = ON e ON = lém disso, o quadrilátero EH também é inscritível e, com isso, HE = omo HE = H concluímosqueotriânguloh ésemelhanteaotriângulono e, com isso, N = H =. Temos que HG = GO pois H é paralelo a O e, como O G G é o baricentro, =. Portanto, o triângulo HG é semelhante ao triângulo GO G e, com isso, HG = GO provando então que H, G e O estão alinhados e HG = GO. E H N G O Propriedade 6. Os pés das alturas de um triângulo, os pontos médios do três lados e os pontos médios dos segmentos que ligam os vértices ao ortocentro estão sobre uma circunferência chamada ircunferência dos 9 pontos. emonstração. Queremos provar que, L, P,, E, F, R, S e T são concíclicos. É suficiente provar que R e estão sobre a circunferência circunscrita ao triângulo LP, pois o restante é análogo. onsidere a circunferência Γ de diâmetro R. É fácil ver que pertence a Γ. Por outro lado, RL H, L e H, o que implica que RL = 90. Portanto, L (e por simetria P) pertence a Γ. 4

5 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 5 - Prof. ícero Thiago R E F P S H N O L T Propriedade 7. O centro da circunferência dos 9 pontos é o ponto médio do segmento formado pelo ortocentro e pelo circuncentro. emonstração. Seja R um diâmetro da circunferência dos 9 pontos e seja N a interseção de R e OH. omo R é ponto médio de H então RH = O. lém disso, H O. Portanto, RHN NO, RN = N e HN = ON. R E F P H L S N G O T 5

6 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 5 - Prof. ícero Thiago Exercícios Resolvidos 1. (O) onsidere um triângulo acutângulo com = 30. Sejam 1, 1 os pés das alturas relativas aos lados,, respectivamente, e, os pontos médios dos lados,, respectivamente. ostre que os segmentos 1 e 1 são perpendiculares. O 1 1 Solução. Seja O a interseção entre 1 e 1. O segmento 1 é uma mediana do triângulo retângulo 1 e portanto nalogamente, 1 = 30. aí, e portanto = 1 e 1 = 1 = = = 60 1 O = = 90..Sejam um triângulo e o ponto médio do lado. Se, E são os pés das alturas relativas aos lados,, respectivamente, prove que E =. Solução. E 6

7 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 5 - Prof. ícero Thiago Note que E é mediana relativa à hipotenusa do triângulo E. aí, E = = e, analogamente, ssim, E =. = =. 3. ado um quadrilátero, prove que os pontos médios,n,p,q dos lados,,, formam um paralelogramo. Solução. Q N P Temos Triângulo : N e N = /. Triângulo : PQ e PQ = /. ssim, N PQ e N = PQ, isto é, NPQ é paralelogramo. 4. (O) Seja N o ponto do lado do triângulo tal que N = N e o ponto do lado tal que N é perpendicular a. Sabendo que = 1 cm e que o baricentro G do triângulo pertence ao segmento N, determine o comprimento do segmento G. OS: aricentro é o ponto de interseção das medianas do triângulo. Solução. Se P é uma mediana do triângulo então P = P = 6 e PN =. omo G é o baricentro do triângulo então PG G = 1 e PN N = 1, assim, pela recíproca do teorema de Tales, GN é paraleloa e = 90. omootriângulo éretânguloentão P = P = P = 6. om isso, G = 4 e GP =. 7

8 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 5 - Prof. ícero Thiago G P N 5. Em um triângulo não equilátero, a reta que passa pelo baricentro e pelo incentro é paralela a um dos lados triângulo. emonstre que os lados do triângulo estão em progressão aritmética. Solução. Seja a bissetriz relativa ao vértice, I o incentro, a mediana relativa ao vértice e G o baricentro. Sejam a, b e c as medidas dos lados, e, respectivamente. Pelo teorema da bissetriz interna é fácil provar que I I = b+c. omo a reta que passa a pelo baricentro G e pelo incentro I é paralela a um dos lados, pelo teorema de Tales, temos que = G G = I I = b+c, ou seja, b+c = a. Portanto, os lados do triângulo formam a uma progressão aritmética. Exercícios Propostos Problema 1. Sejam um triângulo e o ponto médio de. Se = =, prove que = 90. Problema. (ustrália) Sejam um triângulo e P um ponto em seu interior de modo que P = P. Se L, são os pés das perpendiculares por P aos lados,, respectivamente, e é o ponto médio de, prove que L =. Problema 3. Uma reta r passa pelo baricentro de um triângulo deixando o vértice em um semiplano e os vértices e no outro semiplano determinado por r. s projeções de, e sobre a reta r são, N e P, respectivamente. Prove que = N +P. Problema 4. (O) Seja um quadrilátero convexo, onde N é o ponto médio de, é o ponto médio de, e O é a interseção entre as diagonais e. ostre 8

9 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 5 - Prof. ícero Thiago que O é o baricentro do triângulo N se, e somente se, é um paralelogramo. Problema 5. ProvequesearetadeEulerpassapeloincentrodotriângulo, entãootriângulo é isósceles. Problema 6. (ulgária) Seja um triângulo isósceles ( = ) tal que 1, 1 e 1 são os pontos médios de, e, respectivamente. Os pontos e são os simétricos de 1 e 1 com relação ao lado. Seja a interseção de e 1 1 e sejan ainterseção de e 1 1. SejaP ainterseção den e, prove quep = P. Problema 7. (Portugal) No triângulo as medianas dos lados e são perpendiculares. Sabendo que = 6 e = 8, determine. Problema 8. (ulgária) Os pontos 1, 1 e 1 estão sobre os lados, e do triângulo, respectivamente, tais que 1, 1 e 1 concorrem no ponto. Prove que se é o baricentro do triângulo então é também o baricentro do triângulo. Problema 9. (Estônia) s medianas relativas aos vértices e do triângulo são perpendiculares. Prove que é o menor lado do triângulo. Problema 10. (O) Seja um triângulo tal que as medianas e N, que se cortam em G, são iguais. Prove que o triângulo é isósceles. Problema 11. Prove que a soma dos quadrados das distâncias de um ponto P aos vértices de um triângulo é mínima quando P é o baricentro do triângulo. Problema 1. (Espanha) Seja G o baricentro do triângulo. Se prove que o triângulo é isósceles. +G = +G, Problema 13. (O) Sejam um triângulo acutângulo e F o seu ponto de Fermat, isto é, o ponto interior ao triângulo tal que os três ângulos F, F e F, medem 10 graus. Para cada um dos triângulos F, F e F trace a sua reta de Euler, ou seja, a reta que liga o seu circuncentro e o seu baricentro. Prove que essas três retas concorrem em um ponto. 9

10 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 5 - Prof. ícero Thiago Soluções 1. Se = =, então = = α e = = β. soma dos ângulos internos do triângulo garante que α+β = 90, ou seja, = 90. α β α β. Seja N o ponto médio de P e K o ponto médio de P. Então, N = N = NP e LK = K = KP. om isso, PN = P = P = PKL. lém disso, N e K são bases médias do triângulo P assim, N P, N = P, K P e K = P. Portanto, NPK é um paralelogramo e NP = KP. Finalmente, N KL, pelo caso LL. ssim, L =. N P K L 3. Seja um mediana e Q o ponto médio de NP. Então, Q é a base média do trapézio N +P NP assim Q N e Q =. omo G é o baricentro do triângulo então G = G. É fácil ver que G GQ, então = N +P. = Q. Portanto, 10

11 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 5 - Prof. ícero Thiago P N G Q 4. ( ) Suponha que é um paralelogramo, então O = O e O =. Se e N são os pontos médios de e então N e N =. É fácil concluir que P é o ponto de médio de O então P O, P = O O, NP O e NP =. Portanto, NP = P e O = OP, ou seja, O é o baricentro de N. ( ) Suponha que O é o baricentro do triângulo N então NP = P e O = OP. Se e N são os pontos médios de e então N e N =. É fácil concluir que P é o ponto de médio de O então OP = P, P O, P = O, NP O e NP = O. aí, O = O e O = O, ou seja, é um paralelogramo. 11

12 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 5 - Prof. ícero Thiago O P N 5. Sejam O o circuncentro, I o incentro e H o ortocentro do triângulo. s retas I e I intersectam o círculo circunscrito do triângulo nos pontos 1 e 1. Suponha que o triângulo não é isósceles, então OI IH = O 1 H e OI H = O 1 H. omo O 1 = O 1 então H = H e, portanto =. ontradição. 6. omo 1 1 e 1 = 1, temos que 1 1 é um paralelogramo. Então, 1 = 1. as é também um paralelogramo e, portanto, a interseção e é 1. Então, P está sobre a mediana 1. nalogamente, P está sobre a mediana 1. No triângulo isósceles as medianas 1 e 1 possuemomesmo comprimento. Portanto, P = 3 1 = 3 1 = P. 7. Sejam e N os pontos médios de e, respectivamente, e G o ponto de encontro das medianas e N. plicando o teorema de Pitágoras I e NI, temos: e G +4GN = G +G = = 3 = 9 4G +GN = G +GN = N = 4 = 16. este modo, 5G +5GN = 9+16 = 5, logo N = 5. Portanto, = 5. 1

13 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 5 - Prof. ícero Thiago N G 8. Seja o baricentro do triângulo Seja um ponto sobre a reta tal que é um paralelogramo. Os pontos e são construídos analogamente. omo então os pontos, 1 e são colineares e 1 é o ponto médio de. O mesmo é verdade para os pontos, 1 e e, 1 e. Vamos mostrar que =, = e =, o que resolve o problema. ssuma que e está entre e. Então está entre e, está entre e e consequentemente está entre e, que é uma contradição. 9. s medianas intersectam - se no ponto e a mediana que parte do vértice intersecta no ponto F. Então, F é o ponto médio da hipotenusa do triângulo retângulo, ou seja, = F. omo divide a mediana F na razão : 1, então =. O maior ângulo do triângulo é o ângulo obtuso, portanto é o maior lado deste triângulo. ssim, > =. e maneira análoga >. 10. Seja = N = m. omo G é o baricentro de, temos G = m 3 = GN e G = m = G. aí, segue que os triângulos GN e G são congruentes (pelo caso 3 LL), de modo que N =. Logo, = N = =, e o triângulo é isósceles. 13

14 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 5 - Prof. ícero Thiago N G 11. Seja um triângulo com = a, = b e = c. Seja o ponto médio de, G o baricentro do triângulo e P um ponto qualquer. Usando que, a soma dos quadrados de dois dos lados de um triângulo é igual a duas vezes o quadrado da mediana relativa ao terceiro lado mais a metade do quadrado do terceiro lado (a demonstração desse resultado usa lei dos ossenos e será provado na aula de relações métricas), no triângulo P com mediana P temos: P +P = P + a. (I) O baricentro G é tal que G = G. Faça G = m; G = m e tome H em G tal que GH = H = m. ssim, o triângulo HP, com mediana PG satisfaz PH +P = PG + 1 (m) = PG +m (II) e o triângulo PG com mediana PH satisfaz Somando (I) e (III) P +PG = PH + 1 (m) = PH +m. (III) P +P +P +PG = P + a +PH +m = 14

15 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 5 - Prof. ícero Thiago = (P +PH )+ a +m = por (II) (PG +m )+ a +m = 4PG +6m + a. Portanto, P +P +P = 3PG +6m + a. (IV) omo o triângulo a e m são constantes, P +P +P é mínimo quando PG = 0, ou seja, P = G é o baricentro do triângulo. H P G 1. Sejam, E e F os pontos médios dos lados, e, respectivamente. ividindo por a condição do enunciado temos F+FG = E+EG, ou seja, os pontos F e E estão sobre uma elipse de focos e G. Seja o ponto médio de EF, está sobre a mediana e não é o centro a elipse (ponto médio de G), portanto EF é perpendicular a e, então, além de mediana é também uma altura fazendo com que o triângulo seja isósceles. 13. onstrua um triângulo equilátero X, externo a. O ponto O 1 é o circuncentro de F e também de X. omo G é o baricentro do triângulo então: G G = = XO 1 O 1 O 1G XF. 15

16 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 5 - Prof. ícero Thiago as O 3 = O 3 F e O = O F F O O 3 O 1 G O O 3. nalogamente, temos O G O 1 O 3 e O 3 G O O 3 G é ortocentro do triângulo O 1 O O 3. Sendo G 1 o baricentro do triângulo F temos FG 1 G 1 = = G G G 1G F G 1 G O O 3 como G é o ortocentro de O 1 O O 3, então G 1 está na altura relativa a O O 3. Portanto, O 1 G 1, O G e O 3 G 3 são concorrentes em G (seu ortocentro). O O 3 F G G 1 ibliografia 1. Lecture Notes on athematical Olympiad ourses For Junior Section, vol. 1 Xu Jiagu. Puntos Notables - Teoría - emostraciones - Trazos uxiliares 440 problemas resueltos e propuestos Julio Orihuela astidas Editorial uzcan 3. Geometría Radmila ulajich anfrino e José ntonio Gómez Ortega uadernos de Olimpiadas de atemáticas 4. Tópicos de atemática Elementar, vol. Geometria Euclidiana Plana ntonio aminha uniz Neto 16

17 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 5 - Prof. ícero Thiago S 5. Episodes in Nineteenth and Twentieth Euclidean Geometry Ross Honsberger 6. Problems in Plane and Solid Geometry, vol. 1 - Plane Geometry Viktor Prasolov 7. dvanced Euclidean Geometry lfred Posamentier 8. Lessons in Geometry I. Plane Geometry Jacques Hadamard S 9. Hadamard s Plane Geometry Reader s ompanion ark Saul S 10. oleção Elementos da atemática Geometria Plana, vol. arcelo Rufino de Oliveira e árcio Rodrigo da Rocha Pinheiro 11. Olimpíadas earenses de atemática, Ensino édio, Emanuel arneiro, Francisco ntônio. de Paiva e Onofre ampos 1. Problemas de las Olimpiadas atematicas del ono Sur (I a IV) Fauring - Wagner - Wykowski - Gutierrez - Pedraza - oreira Red Olímpica 13. Fundamentos de atemática Elementar, vol. 9 - Geometria Plana Osvaldo olce e José Nicolau Pompeo 14. Olimpiada atemática Española problemas de diferentes Olimpiadas de atemática en el mundo 17