Matemática D Semi-Extensivo V. 2

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1 Matemática D Semi-Etensivo V. Eercícios 0) 0) D P y z y y z D 6 P é semelante a DP. 6 z ssim: D + z tg 60º z 6 0) P E 0) D y 0 y + y 00 y 9y + y y + 6y 00 6 y 00 6 y 6 y 8 6 Perímetro: ) diagonal do quadrado vale. ssim, o lado do triângulo equilátero também é. PE é triângulo retângulo. E P + PE ( ) ( ) + PE 8 + PE PE 6 E PE P 6 D M 8 8 Matemática D

2 MD é semelante a D. 08) 0 M D D M M ) I. Falsa alsa D a H G O Q E P F II. Verdadeira b a a b α + β 60º α + β 80º III. Verdadeira Teoria. 07) D 0 0. Incorreto. 6 O + O + 0. orreto. PE é semelante a O. E EP O 0 E 0 DF é semelante a DE. DF D DE D DF 0 0 DF 0 F E E ssim, E E 0. Incorreto. FQ é semelante a O. FQ F O FQ FQ Logo, FG. 08. orreto. D é, em particular, um paralelogramo, e GE é paralelo aos lados D e. 6. Incorreto. sen α Matemática D

3 09) ) P Q O 70 é semelante a PQ. 0,7 r r 70 0) 70 O é isósceles O ^ º 0 0 omo O //, temos ^ º. 0 E D O ) E O é isósceles O ^ ssim, 70º. 70º. Temos uma circunferência de raio r triângulo equilátero. 6 inscrita num 0 r ) E Semelança entre ED e D E D D E E 8 ) y 0 y 9 9 y 0 + Perímetro: 0 y + y Matemática D

4 ) Gabarito 7) Em, temos: 0º + 0º + + 6º 80º º a 60 D E r r r O r 6) 0. Verdadeira + y + z 80º y z y z o º 9 9 Maior: z 0º z 80º 0. Falsa alsa Lados: 0 e 0 0. Falsa alsa. 6 a + 6 a 0 9, Verdadeira nn ( ) n nn ( ) n n 6. Verdadeira a 8) omo 60º e O DO r, vem que DO é equilátero. omo DE é paralelo a, temos que α 60º. ssim, no triângulo DEO, D 60º e assim, DEO é equilátero. Logo, r; DE E E E E ; E 8; ED 6 E. E E. ED E. E 8. 6 E 6 E E + 6 9) β, rad e l r. α r., r omo,, temos O,. Usando novamente l r. α, obtemos: D,., D, Matemática D

5 0) E, O 6, T ( +,) 6 +, ) + +, 6 +, π π S {} R R R R y R y R (R + ) R + (y) R + 0R + R + R 0R + R 0R 0 R. (R 0) 0 R 0 ou R 0 t α 0º π rad l r. α l. π l π ) 6 0. orreto. O raio sempre forma 90º com uma tangente à circunferência. 0. orreto. onforme teoria. 0. orreto. onforme item orreto. γ é um ângulo de segmento. ssim, γ β α 6. orreto. ângulo inscrito ângulo central. orreto. onforme itens 08 e 6. ) ) q r l R d l sen θ θ 0º O 0 c π r π. l π l π R π. l π l c π l πl Matemática D

6 ) D 7) + 0º + 0º 80º 0º 6) R L Observe que os arcos, D e EF juntos formam uma circunferência, cujo raio é L. 8) π. L π L omprimento da correia ( ) L + π L L. ( π + ) L + L + L + + D + EF Lado do triângulo: l Lado do eágono: l 6 Raio do círculo: R l. R l Lado do eágono + diâmetro: S 96 6 Matemática D

7 9) E ) E Observe que E D. Usando Ptolomeu no quadrilátero ED, temos: D. E ) a 0; b 7; c Perímetro: 8 Área: S pp ( a).( p b).( p c) ) S ( 0).( 7).( ) S.. 7. S S.. 7 S S a. b. c r r 6r 70 8r 8 tg 0º. sen 0º 8 8 cos 0º 8 8 Semelança S. Matemática D 7

8 Área acurada S ) S 6. Incorreto. S a. b. c r 8 8 r 00 r 6, 6. orreto r ) Área S. 8 8 S p. r l +. ( l + ). 8 l + l l l l 0 Área S 8 S 8 0. Incorreto orreto orreto. 08. Incorreto. ase 6. Incorreto. O centro do círculo circunscrito está sobre P. Se distar, da base, não será eqüidistante dos vértices. ) sen º sen º P P 0 P 0 y. 0 y Z 0 y y Z S retângulo ( ) Matemática D

9 ) D S ( + ). 8 S 6 6) D O cavalo irá pastar num setor circular de 70º e raio 6 e num setor circular de 90º e raio. S π o π.. o + 90 o o Paredes. (.,80) 6,80. (.,80),0 Área total: 8 m Descontando portas e janelas temos: 8 m 0., 00 zulejos: +, 6, m 9) 7 π + π 8,78 + 0,78 8,6 7) Tomando, por eemplo, l 0: S 00 é um triângulo equilátero de altura (a altura coincide com o raio do setor). r r S π. r π 9 S 9 onclusão: De 00 para 9, ouve diminuição de 9%. Obs.: O resultado independe do valor escolido para o lado. Matemática D 9

10 0) D Área 00 m π. r o o 0,.r 0 r 00, r 6,69 r 8 ) O eágono regular é formado pela junção de 6 triângulos equiláteros. Note que o quadrilátero acurado é formado por desses triângulos. Um triângulo S 6 l. l 6 l Logo, P l + l. + 6 ) Tome, por eemplo, r 0. ) ssim: π. 0 0 π S π π umento de 0% R 0 + 0%. (0) R π. π S π. π onclusão: De 0 π para π, ouver aumento de 0% e de 00 π para π, ouve aumento de %. Obs.: conclusão seria a mesma para qualquer outro valor do raio. R r S π. r r π R π S π. R π.. π π.. π 6 ) c 0 π Pitágoras: c b + a Soma das áreas S π. b π. a π. c + + π. b π. a π. c + + π.( b + a + c ) 8 π.( c + c ) π. c π π 0 Matemática D

11 ) S acurada 8 π ( ). π. π. F 8 π 99 F F 969 F F 6 omo D : DF 60 HI DF 6 r S FG... ()... S paralelogramo 8) 6) asta calcular a área do quadrado menor e dividir por, pois a área do triângulo ecluído é sempre igual à área do triângulo acrescido PQ. S acurada 0 9) 7) sen 60º 6 r S acurada S losango S círculo. 6 π. 9 π. (8 π ) Diagonal d + d R 6 Áreas S + S S círculo S quadrado S paralelogramo π.( 6 ) 7π 6 π 7 S S quadrado S setor D π.. 90 o 60 o Matemática D

12 6 π S acurada S + S + S 6π 7 + 6π 7 ) D 0) R R l. l l R. l R S acurada S quadrado S círculo ( R ) π. R R π. R R. π ) R S maior. S menor π. R. π. r π π r R r R r R S triângulo l ( R ) ( 0 ) S eágono 6 Razão: Matemática D

13 ) ) + S D 80 l 80 l Em OD, temos: + Semicírculos m: S π. π q: S π.( ) π Segmentos circulares n + p S semi-círculo np S R R 0 Em EFG, temos: π.. π S acurada S semi-círculos S segmentos circulares π + π ( π ) π π + sen 0º FG 0 ) FG 0 FG 0 cos 0º EG 0 EG 0 EG 0 S EFG EG. FG S II S I.( + ).. 77( + ) Matemática D

14 6) Logo: S retângulo ) omo, e y. omo 6, z 9 e t. 0. orreto. 0. Incorreto. ; 6 0. orreto. 08. orreto. 6. Incorreto Incorreta. b. c a orreta. Se o círculo está circunscrito, então diâmetro. R S 6 b. c 6 bc c b c 6 b b. b b 8 b 6 b c c b S π 6, π π 0. orreta. R π. 6 π 08. Incorreta. l S orreta. tg α 7 sen (80º α ) sen α tg α + sen (80º α ) Matemática D

15 8) 6 0. Falsa alsa. Eemplo: l 0 S 00 l 0 S 00 Quadruplicou. 0. Falsa alsa. Somente se forem colineares. No eemplo abaio não eiste uma única reta que passe pelos três simultaneamente. H H 80 80% 00 Isso significa que a nova altura é igual à inicial diminuída de 0%. 0. Verdadeira Perímetro l 08. Verdadeira 0. Verdadeira o 80 70º 9 70º 80º omplemento: 90º 80º 0º 08. Falsa alsa. Num triângulo, um lado é sempre menor que a soma dos outros dois. Mas, > Falsa alsa. Eemplo: r 0 π. 0 0 π r π. π O comprimento aumentou π.. Verdadeira Teoria. 60) S I y S II y S II S I 6. Falsa alsa. área é sempre igual ao quadrado do lado.. Falsa. l 0 S 00 a l 9 S 8 área foi diminuída de 9, não de a. 9) 0.Falsa alsa. Por eemplo: 00 Em (I), b 00., mas, em (II), b.. proporção não é a mesma. 0. Verdadeira b. Nova base: b + %b %b b 00 Se a área não altera, então: b. H 00 b. H b. 00 H 00 S π π. r π r r tg 0º r. Matemática D

16 6) E Lado do triângulo l + r l + S l ( + ). 6 6 ( + + ). ( + + ). (7 + ). 7 + soma das áreas dos três losangos FEO, O e DEO é igual à área do eágono. Logo, S O.. O triângulo tem área: S.. ssim, a área do pentágono FED é: S FED S eágono S 6) 0. Verdadeira (80 ) Verdadeira 60. ora.min Verdadeira semelantes ângulos iguais e lados proporcionais equivalentes mesma área congruentes ângulos e lados iguais 08. Falsa alsa. (0 8) < < (0 + 8) < < 8 Não forma triângulo. 6. Verdadeira 0 (6) Verdadeira n (6n ) d n.( n ) d ( 6 n ).( 6 n ) d ( n ).( 6 n ) d (n ). (6n ) d c n d c ( 6 n ) d c n Diagonais que não passam pelo centro d d c (n ). (6n ) (n ) (n ). (6n ) (n ). (6n 6) 6) Incorreta. 0 orreta. 6 b. 6 Matemática D

17 ( + ) orreta. L R R d l d l + l (6 ) l 6. l l área cm l (R) + R 8 R R L (R) R Incorreta. 6) Da figura, temos: l D a e 60 7º S a i + a e 80 a i 08º º É evidente que D é quadrado de lado: ( l) l + l Logo, S D ( ). S D ( l ) S D l 66) Da figura, temos: l 6) 60 F E a sen 60º 6 d 6 Seja E o ponto médio, conforme mostra a figura. É evidente que E E EF a E F EF E a. Matemática D 7

18 E + E a. E 68) y y S S a. S a 8 a Da figura, temos: + y 0 y 6 67) Da figura, temos: Resolvendo o sistema, obtemos: Q R P dm Logo, y 6. 0 y dm R 60 S 0 0 álculo da área do quadrado S 0 S 900 dm álculo da área do triângulo OS tg 0º OS S S S Mas, D S D OQ tg 60º OQ Q Q Q Mas, Q Portanto, a área do trapézio D é: S ( D + ) QS S +. S dm S 0. 0 S 00 dm álculo da área do pentágono S S + S S S 00 dm 69) Da figura, temos: S ( ) l l l. l + S l l l S l l l S 8l 8 Matemática D S l