1 POTÊNCIA DE PONTO 2 CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES. 1.1 Potência de ponto interior. 1.2 Potência de ponto exterior

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "1 POTÊNCIA DE PONTO 2 CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES. 1.1 Potência de ponto interior. 1.2 Potência de ponto exterior"

Transcrição

1 Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA XV 1 POTÊNCIA DE PONTO Sejam um ponto interior ou exterior a uma circunferência e uma reta que passa por e corta a circunferência nos pontos e. A potência do ponto é, que não depende dos pontos e. Esse conceito está ilustrado nas figuras abaixo: Se é um ponto exterior, traçando uma reta secante e uma tangente que passam por : 1.1 Potência de ponto interior Se é um ponto interior, traçando duas cordas e que passam por : Figura 3 potência de ponto exterior (secante e tangnte) 2 CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES Além da tangência entre reta e circunferência há também o caso de tangência entre duas circunferência. É bem simples. Oberve a figura abaixo: Figura 1 potência de ponto interior 1.2 Potência de ponto exterior Se é um ponto exterior, traçando duas retas secantes e que passam por : Figura 4 circunferências tangentes externas (à esquerda); circunferências tangentes internas (à direita); Nos dois casos, é o centro da circunferência maior, é o centro da circunferência maior e é o ponto de tangência. Então o raio da circunferência maior é e o raio da menor é Os centros e e o ponto de tangência sempre são colineares! No primeiro caso, a distância centros é: entre os Figura 2 potência de ponto exterior (secante e secante) Observação: Se a reta fosse tangente à circunferência (em vez de secante), os pontos e seriam coincidentes (pois a reta tangente só corta a circunferência em um único ponto). Isso está ilustrado na figura a seguir: No segundo caso, a distância centros é: entre os Logo, a distância entre os centros é a soma dos raios (se as circunferências são tangentes externas) e é a diferença dos raios (se as circunferências são tangentes internas). CASD Vestibulares Geometria 1

2 Nível I EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. (UNESP - 14) Em um plano horizontal encontram-se representadas uma circunferência e as cordas e. Nas condições apresentadas na figura, determine o valor de. 7. (EPCAR (AFA) - 11) Na figura abaixo, têm-se quatro círculos congruentes de centros,, e e de raio igual a. Os pontos,,, são pontos de tangência entre os círculos e,,,,,,, são pontos de tangência entre os círculos e a correia que os contorna. 2. (UFSC - 13) Em um centro de eventos na cidade de Madri, encontra-se um mural de Joan Miró ( ) confeccionado pelo ceramista Artigas. O mural está colocado no alto da parede frontal externa do prédio e tem de comprimento por de altura. A borda inferior do mural está acima do nível do olho de uma pessoa. A que distância da parede deve ficar essa pessoa para ter a melhor visão do mural, no sentido de que o ângulo vertical que subtende o mural, a partir de seu olho, seja o maior possível? O matemático Regiomontanus propôs um problema semelhante em 1471 e o problema foi resolvido da seguinte maneira: Sabendo-se que essa correia é inextensível, seu perímetro, em cm, é igual a a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) 8. (UFC - 02) A figura a seguir mostra quatro rodas circulares, tangentes duas a duas, todas de mesmo raio e circundadas por uma correia ajustada. Determine o comprimento da correia, em termos de. Obs.: despreze a espessura da correia. Imagine uma circunferência passando pelo olho do observador e por dois pontos e, verticalmente dispostos nas bordas superior e inferior do mural. O ângulo α será máximo quando esta circunferência for tangente à linha do nível do olho, que é perpendicular à parede onde se encontra o mural, como mostra a figura. Com estas informações, calcule a que distância da parede deve ficar o observador para ter a melhor visão do mural de Joan. 9. (UERJ - 14) Uma máquina possui duas engrenagens circulares, sendo a distância entre seus centros e igual a como mostra o esquema: 3. Atividade Proposta nº 4, Geometria Plana XIII 4. Atividade Proposta nº 5, Geometria Plana XIII 5. Atividade Proposta nº 2, Geometria Plana XIII 6. (ITA - 06) Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os segmentos e interceptam essa circunferência nos pontos e, e, e, respectivamente. A corda da circunferência intercepta o segmento no ponto. Se,,, e, então vale a) b) c) d) e) Sabe-se que a engrenagem menor dá voltas no mesmo tempo em que a maior dá voltas, e que os comprimentos dos dentes de ambas têm valores desprezíveis. A medida, em centímetros, do raio da engrenagem menor equivale a: a) b) c) d) 2 Geometria CASD Vestibulares

3 Nível II 10. Atividade Proposta nº 7, Geometria Plana XIII 11. (UESPI - 12) Uma circunferência de raio é tangente externamente a duas circunferências de raio, com. As três circunferências são tangentes à mesma reta, como ilustrado a seguir. Qual a distância entre os centros das circunferências de raio? a) b) c) d) e) 12. (FUVEST 01) Um lenhador empilhou troncos de madeira num caminhão de largura, conforme a figura abaixo. Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio da base mede. Logo, a altura, em metros, é: 18. (FUVEST - 11) As circunferências e estão centradas em e, têm raios e, respectivamente, e tangenciam-se externamente. Uma reta é tangente a no ponto, tangente a no ponto e intercepta a reta no ponto. Sendo assim, determine a) o comprimento ; b) a área do quadrilátero ; c) a área do triângulo. 19. (UFES - 07) A carroceria de um caminhão tem a forma de um retângulo de dimensões. Deseja-se transportar duas peças circulares de diâmetro e duas peças circulares menores de mesmo diâmetro, sem sobreposição. a) Determine o maior diâmetro das peças menores que podem ser transportadas na carroceria do caminhão e acomodadas conforme a figura 1. b) Sabendo que o motorista do caminhão decidiu rearrumar as peças maiores conforme a figura 2, determine o maior diâmetro das peças menores que podem ser transportadas. a) b) c) d) e) 13. (UNESP - 04) A figura mostra duas circuferências de raios e, tangentes entre si e tangentes à reta. e são os centros das circunferências. 20. (FUVEST - 08) O círculo, de raio, está inscrito no triângulo equilátero. Um círculo de raio está no interior do triângulo e é tangente externamente a e a dois lados de um triângulo, conforme a figura. Se, o valor de é: a) b) c) d) e) Assim, determine 14. Atividade para Sala nº 1, Geometria Plana XIII 15. Atividade para Sala nº 2, Geometria Plana XIII 16. Atividade Proposta nº 8, Geometria Plana XIII 17. Atividade Proposta nº 6, Geometria Plana XIII a) a razão entre e b) a área do triângulo em função de 21. (ITA 07) Seja uma circunferência de raio inscrita num triângulo equilátero de altura. Seja uma segunda circunferência, de raio, que tangencia dois lados do triângulo internamente e externamente. Calcule ( ) CASD Vestibulares Geometria 3

4 DICAS E FATOS QUE AJUDAM 6. A figura do problema é a seguinte: 1.Por potência de ponto, tem-se: 2. Por potência de ponto, tem-se: 3. Seja o ponto diferente de em que a reta corta a circunferência. Então, por potência de ponto: Usando potência de ponto no ponto, tem-se: Seja o raio da circunferência. Então: 4. é ponto médio de e Seja o ponto diferente de em que a reta corta a circunferência. Então, por potência de ponto: Usando potência de ponto no ponto, tem-se: 7. Como as circunferências são tangentes externas duas a duas, a distância entre os centros vizinhos é a soma dos raios. Assim: Seja o raio da circunferência. Então: Logo,. Além disso, cada um dos arcos,, e vale um quarto de uma circunferência de raio. Logo a soma dos quatro arcos é uma circunferência completa de raio : O perímetro da correia é: 5. Como é uma reta tangente, Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo : Por potência de ponto, tem-se: 8. Como as circunferências são tangentes externas duas a duas, a distância entre os centros vizinhos é a soma dos raios, que é. Logo, cada um dos segmentos retos da correia tem comprimento. Além disso, cada um dos arcos da correia vale um quarto de uma circunferência de raio. Logo a soma dos quatro arcos é uma circunferência completa de raio e comprimento O comprimento da correia é: ( segmentos retos) ( arcos) 4 Geometria CASD Vestibulares

5 9. Sejam e os raios das engrenagens. Como elas são tangentes externas, a distância entre os centros vizinhos é a soma dos raios, logo 12. A figura do problema é a seguinte: Como as engrenagens são tangentes, elas têm a mesma velocidade linear. Logo, tem-se: ( ) 10. Sejam e. Então, tem-se: Sejam,, os centros das circunferências, a altura relativa ao lado, e os pontos em que a reta corta o retângulo e e os pontos em que a reta corta o retângulo. Como a circunferência do meio é tangente externa às outras duas, Usando potência de ponto no ponto : ( ) ( ) Como, o triângulo é isósceles. Assim, a altura também é mediana. Logo: 11. A figura do problema é a seguinte: ( ) 13. A figura do problema é a seguinte: Sejam o centro da circunferência maior, o centro da circunferência menor da esquerda, o ponto em que a reta tangencia a circunferência da esquerda, o ponto em que a reta tangencia a circunferência maior e o ponto de tal que é perpendicular a. Como as duas circunferências são tangentes externas, tem-se que Seja o ponto de tal que. Como é tangente à circunferência maior,. Como, é paralelo a, logo Note que a distância entre os centros das circunferências de raio é No triângulo retângulo, tem-se: CASD Vestibulares Geometria 5

6 14. Seja o centro do circulo interno e do círculo externo, e os centros dos quatro círculos médios. Seja o raio dos círculos médios. Note que é um quadrado de lado e centro ( ) ( ) ( )( ) O raio do círculo externo é ( ) ( ) 15. Sejam e os centros das semicircunferências menores e o centro da circunferência. Note que e são os diâmetros das semicircunferências. Seja o raio das semicircunferências menores. Então: Como o raio da circunferência maior é, tem-se: 17. Sejam,,,,, e os centros dos círculos da fileira de baixo (da esquerda para a direita),,,,, e os centros dos círculosda fileira do meio da esquerda para a direita) e,,,,, e os centros dos círcullos da fileira de cima (da esquerda para a direita). O diâmetro de cada círculo é. Note que o comprimento do retângulo é a soma dos diâmetros dos círculos de centro,,,,, e. Logo, o comprimento do retângulo é Note que e são dois triângulos equiláteros de lado (que é a distância entre os centros). A altura de cada um desses triângulos é Note que a altura do retângulo é a soma do raio do círculo de centro (que é ) com a altura do triângulo (que é ) com a altura do triângulo (que é ) como raio do círculo de centro (que é ). Logo a altura do retângulo é, ou seja, a altura é 18. a) A figura do problema é a seguinte: ( ) Seja o ponto de tal que. Como as circunferências tangenciam-se externamente, tem-se: 16. Seja o centro da circunferência maior, e os centros das três circunferências internas. Então é um triângulo equilátero de lado e centro. Como as circunfências internas são tangentes internas à circunferência maior,. Além disso, é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. Então, como vimos na lista Geometria Plana X : ( ) ( ) Seja o comprimento. b) Como, o quadrilátero é um trapézio de base menor, base maior e altura 6 Geometria CASD Vestibulares

7 c) Como, os triângulos e são semelhantes. Como : b) A figura do problema é a seguinte: 19. Como as peças circulares maiores têm um diâmetro de, elas têm um raio de. Seja o raio e o diâmetro de cada peça circular menor. a) A figura do problema é a seguinte: Sejam o centro da peça maior à esquerda, o centro da peça menor de baixo, o ponto em que a peça maior à esquerda tangencia o lado esquerdo do retângulo, o ponto em que a peça maior à esquerda tangencia o lado de baixo do retângulo, o ponto em que a peça menor de baixo tangencia o retângulo e o ponto de tal que. Então, tem-se: Sejam o ponto em que a peça maior à esquerda tangencia o lado esquerdo do retângulo, o centro da peça maior à direita, o centro da peça menor de cima, o ponto em que a peça maior à direita tangencia o retângulo, e os pontos em que a peça menor de cima tangencia o o retângulo e o ponto de tal que. Então, tem-se: Pelo enunciado, o comprimento do retângulo é, logo a sua metade vale. E o comprimento de metade do retângulo é. Logo: Pelo enunciado, o comprimento do retângulo é o comprimento do retângulo é. Logo:. E Como,. ou CASD Vestibulares Geometria 7

8 20. a) A figura do problema é a seguinte: GABARITO 1. O valor de é 2. A distância é 3. E 4. C Sejam o centro do círculo maior, o centro do círculo menor, o ponto em que o círculo maior tangencia, o ponto em que o círculo maior tangencia e o ponto de tal que. Então, tem-se: é o centro do círculo inscrito no triângulo, logo é o incentro (que é o encontro das bissetrizes) do triângulo. Assim, é bissetriz de. Logo: é paralelo a ( ) b) Seja o lado do triângulo equilátero. Então, como vimos na lista Geometria Plana X : A área do triângulo equilátero é: ( ) 21. A figura é exatamente a mesma da questão anterior (é só trocar por e por )! Pelo mesmo raciocpinio usado acima para a questão 20a), tem-se que Note na figura 2 da lista Geometria Plana X que a altura do triângulo equilátero é o triplo do raio do círculo inscrito, logo 5. B 6. D 7. C 8. O comprimento da correia é ( ) 9. B 10. C 11. A 12. E 13. B 14. A 15. D 16. D 17. A 18. a) O comprimento é b) A área do quadrilátero é c) A área do triângulo é 19. a) O maior diâmetro das peças menores que podem ser transportadas na carroceria do caminhão e acomodadas conforme a figura 1 é 19. b) O maior diâmetro das peças menores que podem ser transportadas na carroceria do caminhão e acomodadas conforme a figura 2 é 20. a) A razão entre e é 20. b) A área do triângulo é 21. A razão é 8 Geometria CASD Vestibulares

Circunferência. MA092 Geometria plana e analítica. Interior e exterior. Circunferência e círculo. Francisco A. M. Gomes

Circunferência. MA092 Geometria plana e analítica. Interior e exterior. Circunferência e círculo. Francisco A. M. Gomes Circunferência MA092 Geometria plana e analítica Francisco A. M. Gomes UNICAMP - IMECC Setembro de 2016 A circunferência é o conjunto dos pontos de um plano que estão a uma mesma distância (denominada

Leia mais

2 ÁREAS E VOLUME DO TETRAEDRO REGULAR 1 TETRAEDRO REGULAR. 2.1 Área lateral. 2.2 Área da base. 2.3 Área total. 2.4 Volume

2 ÁREAS E VOLUME DO TETRAEDRO REGULAR 1 TETRAEDRO REGULAR. 2.1 Área lateral. 2.2 Área da base. 2.3 Área total. 2.4 Volume Matemática Pedro Paulo GEOMETRIA ESPACIAL VI são 1 TETRAEDRO REGULAR É uma piramide regular triangular, cujas faces triângulos equiláteros de lado 2 ÁREAS E VOLUME DO TETRAEDRO REGULAR 2.1 Área lateral

Leia mais

3 ÁREAS E VOLUME DO TRONCO DE PIRÂMIDE 1 TRONCO DE PIRÂMIDE 2 SEMELHANÇA ENTRE AS PIRÂMIDES. 3.1 Área lateral. 3.2 Área das bases. 3.

3 ÁREAS E VOLUME DO TRONCO DE PIRÂMIDE 1 TRONCO DE PIRÂMIDE 2 SEMELHANÇA ENTRE AS PIRÂMIDES. 3.1 Área lateral. 3.2 Área das bases. 3. Matemática Pedro Paulo GEOMETRIA ESPACIAL VIII 1 TRONCO DE PIRÂMIDE Chamaremos de tronco de pirâmide de bases paralelas a porção da pirâmide limitada por sua base e por uma secção transversal qualquer

Leia mais

2 CILINDRO E ESFERA 1 CUBO E ESFERA. 2.1 Cilindro inscrito. 1.1 Cubo inscrito. 2.2 Cilindro circunscrito. 1.2 Cubo circunscrito

2 CILINDRO E ESFERA 1 CUBO E ESFERA. 2.1 Cilindro inscrito. 1.1 Cubo inscrito. 2.2 Cilindro circunscrito. 1.2 Cubo circunscrito Matemática Pedro Paulo GEOMETRIA ESPACIAL XI A seguir, nós vamos analisar a relação entre alguns sólidos e as esferas. Os sólidos podem estar inscritos ou circunscritos a uma esfera. Lembrando: A figura

Leia mais

Professor Alexandre Assis. Lista de exercícios de Geometria

Professor Alexandre Assis. Lista de exercícios de Geometria 1. A figura representa três círculos idênticos no interior do triângulo retângulo isósceles ABC. 3. Observando a figura a seguir, determine (em cm): a) o valor de x. b) a medida do segmento AN, sabendo

Leia mais

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO IRUNFRÊNI ÍRUL 01 ( FUVST) medida do ângulo ˆ inscrito na circunferência de centro é, em graus, ) 100 ) 110 ) 10 ) 15 35º 0 0 ( U ) bserve a figura. la mostra dois círculos de mesmo raio com centros em

Leia mais

Polígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1

Polígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1 Polígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1 Polígonos Polígono é uma figura geométrica plana e fechada formada apenas por segmentos de reta que não se cruzam no mesmo plano. Exemplos 11.1 Elementos de um polígono

Leia mais

Lista de exercícios Prof. Ulisses Motta

Lista de exercícios Prof. Ulisses Motta Lista de exercícios Prof. Ulisses Motta 1. (Ufpe) Na figura a seguir, os retângulos ABCD e A'B'C'D' têm o mesmo centro e lados iguais a 5 cm e 9 cm. Qual o diâmetro da maior circunferência contida na região

Leia mais

1 SEMELHANÇA EM TRIÂNGULOS RETÂNGULOS DICA DO MINGUADO. Matemática 2 Pedro Paulo. Semelhança entre e :

1 SEMELHANÇA EM TRIÂNGULOS RETÂNGULOS DICA DO MINGUADO. Matemática 2 Pedro Paulo. Semelhança entre e : Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA XIII 1 SEMELHANÇA EM TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Seja um triângulo retângulo, com ângulos agudos e. Traçando a altura relativa à hipotenusa, formamos os triângulos retângulos

Leia mais

1 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

1 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA XII 1 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Dois triângulos são semelhantes quando possuem os lados respectivamente proporcionais, como está ilustrado na figura abaixo: Figura

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO - DEMAT 3 a Lista de Exercícios

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO - DEMAT 3 a Lista de Exercícios UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO - DEMAT 3 a Lista de Exercícios 1. Um triângulo isósceles tem base medindo 8cm e lados iguais com medidas de 5cm. Qual é a área do triângulo? 2. Em um triângulo retângulo,

Leia mais

LISTA DE REVISÃO DE GEOMETRIA 1º ANO 2º TRIMESTRE

LISTA DE REVISÃO DE GEOMETRIA 1º ANO 2º TRIMESTRE LISTA DE REVISÃO DE GEOMETRIA 1º ANO 2º TRIMESTRE 1) (Eear) Duas cordas se cruzam num ponto distinto do centro da circunferência, conforme esboço. A partir do conceito de ângulo excêntrico interior, a

Leia mais

3 PIRÂMIDE RETA 1 ELEMENTOS DA PIRÂMIDE 4 PIRÂMIDE REGULAR 2 CLASSIFICAÇÃO DE PIRÂMIDES. Matemática Pedro Paulo GEOMETRIA ESPACIAL V

3 PIRÂMIDE RETA 1 ELEMENTOS DA PIRÂMIDE 4 PIRÂMIDE REGULAR 2 CLASSIFICAÇÃO DE PIRÂMIDES. Matemática Pedro Paulo GEOMETRIA ESPACIAL V Matemática Pedro Paulo GEOMETRIA ESPACIAL V 1 ELEMENTOS DA PIRÂMIDE Pirâmide é um poliedro formado por um polígono que é a base e um ponto fora do plano da base que é o vértice. Cada lado do polígono da

Leia mais

ATIVIDADES COM GEOPLANO CIRCULAR

ATIVIDADES COM GEOPLANO CIRCULAR ATIVIDADES COM GEOPLANO CIRCULAR Observações. O geoplano circular utilizado tem 24 pinos no círculo. Os pinos do geoplano circular são chamados de pontos. Os pontos do círculo são enumerados de 1 até 24

Leia mais

MATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - III

MATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - III MATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - III 0 Dois círculos de centros A e B são tangentes exteriormente e tangenciam interiormente um círculo de centro C. Se AB = cm, AC = 7 cm e BC = 3 cm, então o raio

Leia mais

a) 64. b) 32. c) 16. d) 8. e) 4.

a) 64. b) 32. c) 16. d) 8. e) 4. GEOMETRIA PLANA 1 1) (UFRGS) Observe com atenção o retângulo ABCD, na figura abaixo. Considerando as relações existentes entre as sua dimensões e a diagonal, a área desse retângulo será igual a ) (UFRGS)

Leia mais

1 - POLÍGONOS REGULARES E CIRCUNFERÊNCIAS

1 - POLÍGONOS REGULARES E CIRCUNFERÊNCIAS Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA X 1 - POLÍGONOS REGULARES E CIRCUNFERÊNCIAS 1.2 Triângulo equilátero circunscrito A seguir, nós vamos analisar a relação entre alguns polígonos regulares e as circunferências.

Leia mais

Geometria Plana. Exterior do ângulo Ô:

Geometria Plana. Exterior do ângulo Ô: Geometria Plana Ângulo é a união de duas semiretas de mesma origem, não sendo colineares. Interior do ângulo Ô: Exterior do ângulo Ô: Dois ângulos são consecutivos se, e somente se, apresentarem um lado

Leia mais

GEOMETRIA PLANA. 1) (UFRGS) Na figura abaixo, o vértice A do retângulo OABC está a 6 cm do vértice C. O raio do círculo mede

GEOMETRIA PLANA. 1) (UFRGS) Na figura abaixo, o vértice A do retângulo OABC está a 6 cm do vértice C. O raio do círculo mede GEOMETRI PLN 1) (UFRGS) Na figura abaixo, o vértice do retângulo O está a 6 cm do vértice. O raio do círculo mede O (a) 5 cm (b) 6 cm (c) 8 cm (d) 9 cm (e) 10 cm ) (UFRGS) Na figura abaixo, é o centro

Leia mais

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 1ª PARTE DEFINIÇÕES

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 1ª PARTE DEFINIÇÕES CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 1ª PARTE DEFINIÇÕES CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA Circunferência: é uma linha. Exemplos: argola, roda de bicicleta... Círculo: é uma superfície. Exemplos: moeda, mesa redonda... CIRCUNFERÊNCIA

Leia mais

Projeto Jovem Nota 10 Áreas de Figuras Planas Lista 4 Professor Marco Costa

Projeto Jovem Nota 10 Áreas de Figuras Planas Lista 4 Professor Marco Costa 1 Projeto Jovem Nota 10 1. (Ufscar 2001) Considere o triângulo de vértices A, B, C, representado a seguir. a) Dê a expressão da altura h em função de c (comprimento do lado AB) e do ângulo A (formado pelos

Leia mais

Grupo de exercícios I - Geometria plana- Professor Xanchão

Grupo de exercícios I - Geometria plana- Professor Xanchão Grupo de exercícios I - Geometria plana- 1. (G1 - ifce 01) Na figura abaixo, R, S e T são pontos sobre a circunferência de centro O. Se x é o número real, tal que a = 5x e b = 3x + 4 são as medidas dos

Leia mais

Exemplo Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir:

Exemplo Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir: GEOMETRIA PLANA TEOREMA DE TALES O Teorema de Tales pode ser determinado pela seguinte lei de correspondência: Se duas retas transversais são cortadas por um feixe de retas paralelas, então a razão entre

Leia mais

1 ELEMENTOS DO CONE 3 ÁREAS E VOLUME DO CONE 2 SECÇÃO MERIDIANA. 3.1 Área lateral. 3.2 Área da base. 3.3 Área total. 3.4 Volume

1 ELEMENTOS DO CONE 3 ÁREAS E VOLUME DO CONE 2 SECÇÃO MERIDIANA. 3.1 Área lateral. 3.2 Área da base. 3.3 Área total. 3.4 Volume Matemática Pedro Paulo GEOMETRIA ESPACIAL VII 1 ELEMENTOS DO CONE Cone é um sólido formado por um círculo que é a base e um ponto fora do plano da base que é o vértice, que é ligado a todos os pontos do

Leia mais

MATEMÁTICA 3 GEOMETRIA PLANA Professor Renato Madeira. MÓDULO 5 Quadriláteros

MATEMÁTICA 3 GEOMETRIA PLANA Professor Renato Madeira. MÓDULO 5 Quadriláteros MATEMÁTICA 3 GEOMETRIA PLANA Professor Renato Madeira MÓDULO 5 Quadriláteros Os dois dias mais importantes da sua vida são o dia em que você nasceu e o dia em que você descobre o porquê. (Mark Twain) SUMÁRIO

Leia mais

MATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - V

MATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - V MATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - V 1) (PUC/MG) Na figura, ABCD é paralelogramo, BE AD e BF CD. Se BE = 1, BF = 6 e BC = 8, então AB mede a) 1 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 ) (CESGRANRIO) O losango ADEF

Leia mais

RETAS E CIRCUNFERÊNCIAS

RETAS E CIRCUNFERÊNCIAS RETAS E CIRCUNFERÊNCIAS Diâmetro Corda que passa pelo centro da circunferência [EF] e [GH] Raio Segmento de reta que une o centro a um ponto da circunferência [OD] [AB], [IJ], [GH], são cordas - segmentos

Leia mais

COLÉGIO SHALOM Ensino Fundamental 8 Ano Prof.º: Wesley Disciplina Geometria Aluno (a):. No.

COLÉGIO SHALOM Ensino Fundamental 8 Ano Prof.º: Wesley Disciplina Geometria Aluno (a):. No. COLÉGIO SHALOM Ensino Fundamental 8 Ano Prof.º: Wesley Disciplina Geometria Aluno (a):. No. Trabalho de Recuperação Data: / 12/2016 Valor: Orientações: -Responder manuscrito; -Cópias de colegas, entrega

Leia mais

MATEMÁTICA 3 GEOMETRIA PLANA

MATEMÁTICA 3 GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA 3 GEOMETRIA PLANA Professor Renato Madeira MÓDULO 13 Circunferência e Círculo Circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias a um ponto fixo (centro) são iguais a uma

Leia mais

1ª Aula. Introdução à Geometria Plana GEOMETRIA. 3- Ângulos Consecutivos: 1- Conceitos Primitivos: a) Ponto A. b) Reta c) Semi-reta

1ª Aula. Introdução à Geometria Plana GEOMETRIA. 3- Ângulos Consecutivos: 1- Conceitos Primitivos: a) Ponto A. b) Reta c) Semi-reta 1ª Aula 3- Ângulos Consecutivos: Introdução à Geometria Plana 1- Conceitos Primitivos: a) Ponto A Na figura, os ângulos AÔB e BÔC são consecutivos, portanto AÔC=AÔB+AÔC b) Reta c) Semi-reta d) Segmento

Leia mais

Os problemas em Desenho Geométrico resumem-se em encontrar pontos. E para determinar um ponto basta obter o cruzamento entre duas linhas.

Os problemas em Desenho Geométrico resumem-se em encontrar pontos. E para determinar um ponto basta obter o cruzamento entre duas linhas. 31 4 LUGARES GEOMÉTRICOS Os problemas em Desenho Geométrico resumem-se em encontrar pontos. E para determinar um ponto basta obter o cruzamento entre duas linhas. Definição: Um conjunto de pontos do plano

Leia mais

Lugares geométricos básicos I

Lugares geométricos básicos I Lugares geométricos básicos I M13 - Unidade 5 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMT Definição Lugar Geométrico da propriedade P é o conjunto

Leia mais

1. Encontre a equação das circunferências abaixo:

1. Encontre a equação das circunferências abaixo: Nome: nº Professor(a): Série: 2ª EM. Turma: Data: / /2013 Nota: Sem limite para crescer Exercícios de Matemática II 2º Ano 2º Trimestre 1. Encontre a equação das circunferências abaixo: 2. Determine o

Leia mais

LISTA DE RECUPERAÇÃO DE GEOMETRIA 1º ANO 2º TRIMESTRE

LISTA DE RECUPERAÇÃO DE GEOMETRIA 1º ANO 2º TRIMESTRE LISTA DE RECUPERAÇÃO DE GEOMETRIA 1º ANO 2º TRIMESTRE 1) Na figura a seguir, o ponto O é o centro da circunferência, AB e AC são segmentos tangentes e o raio da circunferência mede o dobro de x. O perímetro

Leia mais

2ª. Lista de Revisão Geometria Plana Prof. Kátia Curso SER - Poliedro

2ª. Lista de Revisão Geometria Plana Prof. Kátia Curso SER - Poliedro ª. Lista de Revisão Geometria Plana Prof. Kátia Curso SER - Poliedro 1. (G1 - cps 016) A erosão é o processo de desgaste, transporte e sedimentação das rochas e, principalmente, dos solos. Ela pode ocorrer

Leia mais

2ª. Lista de Revisão Geometria Plana Prof. Kátia Curso SER - Poliedro

2ª. Lista de Revisão Geometria Plana Prof. Kátia Curso SER - Poliedro ª. Lista de Revisão Geometria Plana Prof. Kátia Curso SER - Poliedro 1. (G1 - cps 016) A erosão é o processo de desgaste, transporte e sedimentação das rochas e, principalmente, dos solos. Ela pode ocorrer

Leia mais

Aula 9 Triângulos Semelhantes

Aula 9 Triângulos Semelhantes MUL 1 - UL 9 ula 9 Triângulos Semelhantes efinição: ois triângulos são semelhantes se os três ângulos são ordenadamente congruentes e se os lados homólogos são proporcionais. figura mostra dois triângulos

Leia mais

. Calcule a medida do segmento CD. 05. No triângulo retângulo da figura ao lado, BC = 13m

. Calcule a medida do segmento CD. 05. No triângulo retângulo da figura ao lado, BC = 13m 05. No triângulo retângulo da figura ao lado, = 1m, D = 8m e D = 4m. alcule a medida do segmento D. LIST DE EXERÍIOS GEOMETRI PLN PROF. ROGERINHO 1º Ensino Médio Triângulo retângulo, razões trigonométricas,

Leia mais

Exercícios Propostos. Exercício 1: Cinco retas distintas em um plano cortam-se em n pontos. Determine o maior valor que n pode assumir.

Exercícios Propostos. Exercício 1: Cinco retas distintas em um plano cortam-se em n pontos. Determine o maior valor que n pode assumir. Exercícios Propostos Exercício 1: Cinco retas distintas em um plano cortam-se em n pontos. Determine o maior valor que n pode assumir. Exercício 2: As bissetrizes de dois ângulos adjacentes AÔB e BÔC são,

Leia mais

SAGRADO REDE DE EDUCAÇÃO PROFESSORA :MÁRCIA CONTE 3º ANO ENSINO MÉDIO 2012

SAGRADO REDE DE EDUCAÇÃO PROFESSORA :MÁRCIA CONTE 3º ANO ENSINO MÉDIO 2012 SAGRADO REDE DE EDUCAÇÃO PROFESSORA :MÁRCIA CONTE 3º ANO ENSINO MÉDIO 2012 -POLÍGONOS REGULARES -APÓTEMAS DE BASES REGULARES -PONTOS NOTÁVEIS NO TRIÂNGULO -COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA -ÁREA DO CÍRCULO

Leia mais

2. (Fgv 2005) a) Obtenha a área de um triângulo eqüilátero em função da medida h da altura.

2. (Fgv 2005) a) Obtenha a área de um triângulo eqüilátero em função da medida h da altura. 1 Projeto Jovem Nota 10 1. (Uerj 2004) No triângulo ABC abaixo, os lados BC, AC e AB medem, respectivamente, a, b e c. As medianas AE e BD relativas aos lados BC e AC interceptam-se ortogonalmente no ponto

Leia mais

MATEMÁTICA MÓDULO 16 CONE E CILINDRO. Professor Haroldo Filho

MATEMÁTICA MÓDULO 16 CONE E CILINDRO. Professor Haroldo Filho MATEMÁTICA Professor Haroldo Filho MÓDULO 16 CONE E CILINDRO 1. CILINDRO CIRCULAR Considere dois planos paralelos, α e β, seja R um círculo no plano α, seja s uma reta secante aos dois planos que não intersecta

Leia mais

Plano de Recuperação Semestral EF2

Plano de Recuperação Semestral EF2 Série/Ano: 9º ANO MATEMÁTICA Objetivo: Proporcionar ao aluno a oportunidade de rever os conteúdos trabalhados durante o semestre nos quais apresentou dificuldade e que servirão como pré-requisitos para

Leia mais

RETAS PARALELAS INTERCEPTADAS POR UMA TRANSVERSAL

RETAS PARALELAS INTERCEPTADAS POR UMA TRANSVERSAL GEOMETRIA PLANA MEDIDAS DE ÂNGULOS: Raso, se é igual a 180º; Nulo, se, é igual a 0º; Reto:é igual a 90 ; Agudo: é maior que 0 e menor que 90 ; Obtuso: é maior que 90 e menor que 180. IMPORTANTE: se a soma

Leia mais

MATEMÁTICA APLICADA À AGRIMENSURA PROF. JORGE WILSON

MATEMÁTICA APLICADA À AGRIMENSURA PROF. JORGE WILSON MATEMÁTICA APLICADA À AGRIMENSURA PROF. JORGE WILSON PROFJWPS@GMAIL.COM DEFINIÇÕES GEOMETRIA PLANA Ponto: Um elemento do espaço que define uma posição. Reta: Conjunto infinito de pontos. Dois pontos são

Leia mais

3º ANO DO ENSINO MÉDIO. 1.- Quais são os coeficientes angulares das retas r e s? 60º 105º. 0 x x. a) Escreva uma equação geral da reta r.

3º ANO DO ENSINO MÉDIO. 1.- Quais são os coeficientes angulares das retas r e s? 60º 105º. 0 x x. a) Escreva uma equação geral da reta r. EXERCÍCIOS DE REVISÃO 3º BIMESTRE GEOMETRIA ANALÍTICA 3º ANO DO ENSINO MÉDIO 1.- Quais são os coeficientes angulares das retas r e s? s 60º 105º r 2.- Considere a figura a seguir: 0 x r 2 A C -2 0 2 5

Leia mais

Circunferência e círculo. Posições relativas de ponto e circunferência. Posições relativas de reta e circunferência

Circunferência e círculo. Posições relativas de ponto e circunferência. Posições relativas de reta e circunferência Circunferência e círculo Circunferência de centro O e raio r é o lugar geométrico dos pontos do plano que estão a uma distância r do ponto O. Observação O conjunto constituído dos pontos de uma circunferência

Leia mais

Matemática GEOMETRIA PLANA. Professor Dudan

Matemática GEOMETRIA PLANA. Professor Dudan Matemática GEOMETRIA PLANA Professor Dudan Ângulos Geometria Plana Ângulo é a região de um plano concebida pelo encontro de duas semirretas que possuem uma origem em comum, chamada vértice do ângulo. A

Leia mais

Circunferências. λ : x y 4x 10y λ : x y 4x 5y 12 0

Circunferências. λ : x y 4x 10y λ : x y 4x 5y 12 0 Circunferências 1. (Espcex (Aman) 014) Sejam dados a circunferência λ : x y 4x 10y 5 0 e o ponto P, que é simétrico de ( 1, 1) em relação ao eixo das abscissas. Determine a equação da circunferência concêntrica

Leia mais

MATEMÁTICA - 1 o ANO MÓDULO 53 TEOREMA DE TALES E SEMELHANÇA

MATEMÁTICA - 1 o ANO MÓDULO 53 TEOREMA DE TALES E SEMELHANÇA MATEMÁTICA - 1 o ANO MÓDULO 53 TEOREMA DE TALES E SEMELHANÇA A A` r B B` s C C` t A B P C S t r 1 r 2 x 6-5 15 3 r 3 B a β b ka B β kb A α c γ C A α kc γ C B B A C A C B a ka B A c C A kc C B B kc ka c

Leia mais

Testes Propostos 15B e 16B: Triângulos e Quadriláteros

Testes Propostos 15B e 16B: Triângulos e Quadriláteros urso de Matemática Testes Propostos 15 e 16: Triângulos e Quadriláteros 01. om três segmentos e comprimentos iguais a 10cm, 12cm e 23cm... é possível apenas formar um triângulo retângulo é possível formar

Leia mais

LISTA DE EXERCÍCIOS DE REVISÃO DE MATEMÁTICA 2º ANO PROF.: ARI

LISTA DE EXERCÍCIOS DE REVISÃO DE MATEMÁTICA 2º ANO PROF.: ARI 01.: (FATEC) Um terreno retangular tem 170 m de perímetro. e a razão entre as medidas dos lados é 0,7, então a área desse terreno, em metros quadrados, é igual a: a) 7000 b) 5670 c) 4480 d) 1750 e) 1120

Leia mais

Matemática B Extensivo V. 7

Matemática B Extensivo V. 7 GRITO Matemática Etensivo V. 7 Eercícios ) D ) D ) I. Falso. O diâmetro é dado por. r. cm. II. Verdadeiro. o volume é dado por π. r² π. ² π cm² III. Verdadeiro. (, ) (, ) e assim, ( )² + ( )² r² fica ²

Leia mais

AB AC BC. k PQ PR QR GEOMETRIA PLANA CONCEITOS BÁSICOS SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS. Triângulos isósceles

AB AC BC. k PQ PR QR GEOMETRIA PLANA CONCEITOS BÁSICOS SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS. Triângulos isósceles GEOMETRIA PLANA Triângulos isósceles CONCEITOS BÁSICOS Retas paralelas cortadas por uma transversal São aqueles que possuem dois lados iguais. Ligando o vértice A ao ponto médio da base BC, geramos dois

Leia mais

Geometria Plana 1 (UEM-2013) Em um dia, em uma determinada região plana, o Sol nasce às 7 horas e se põe às 19 horas. Um observador, nessa região, deseja comparar a altura de determinados objetos com o

Leia mais

NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA

NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA Polígonos são figuras planas fechadas com lados retos. Todo polígono possui os seguintes elementos: ângulos, vértices, diagonais e lados. Altura de um triângulo é o segmento de

Leia mais

Matemática. Nesta aula iremos aprender as. 1 Ponto, reta e plano. 2 Posições relativas de duas retas

Matemática. Nesta aula iremos aprender as. 1 Ponto, reta e plano. 2 Posições relativas de duas retas Matemática Aula 5 Geometria Plana Alexandre Alborghetti Londero Nesta aula iremos aprender as noções básicas de Geometria Plana. 1 Ponto, reta e plano Estes elementos primitivos da geometria euclidiana

Leia mais

Lista de exercícios sobre triângulos. (Comitê olímpico)

Lista de exercícios sobre triângulos. (Comitê olímpico) Lista de exercícios sobre triângulos. (Comitê olímpico) 1. (Ufpe) Na figura ilustrada abaixo, os segmentos AB, BC, CD, DE e EA são congruentes. Determine, em graus, a medida do ângulo CAD. 2. (Ufrj) O

Leia mais

EMENTA ESCOLAR I Trimestre Ano 2017 Disciplina: Matemática Professor: Flávio Calônico Júnior Turma: 2 ano do Ensino Médio

EMENTA ESCOLAR I Trimestre Ano 2017 Disciplina: Matemática Professor: Flávio Calônico Júnior Turma: 2 ano do Ensino Médio EMENTA ESCOLAR I Trimestre Ano 2017 Disciplina: Matemática Professor: Flávio Calônico Júnior Turma: 2 ano do Ensino Médio Datas 14/fevereiro 17/fevereiro 21/fevereiro 24/fevereiro 28/fevereiro 03/março

Leia mais

Unidade 6 Geometria: polígonos e circunferências

Unidade 6 Geometria: polígonos e circunferências Sugestões de atividades Unidade 6 Geometria: polígonos e circunferências 9 MATEMÁTICA Matemática. Considere um decágono regular dividido em 0 triângulos isósceles congruentes, conforme a figura a seguir..

Leia mais

PREPARATÓRIO PROFMAT/ AULA 8 Geometria

PREPARATÓRIO PROFMAT/ AULA 8 Geometria PREPARATÓRIO PROFMAT/ AULA 8 Geometria QUESTÕES DISCURSIVAS Questão 1. (PROFMAT-2012) As figuras a seguir mostram duas circunferências distintas, com centros C 1 e C 2 que se intersectam nos pontos A e

Leia mais

EMENTA ESCOLAR III Trimestre Ano 2014

EMENTA ESCOLAR III Trimestre Ano 2014 EMENTA ESCOLAR III Trimestre Ano 2014 Disciplina: Matemática Professor: Flávio Calônico Júnior Turma: 8 ano do Ensino Fundamental II Data 16/setembro 18/setembro 19/setembro 23/setembro 25/setembro 26/setembro

Leia mais

Geometria Plana. Parte I. Página 1. OA = OB, e ABCD é um quadrado. Sendo θ a medida. AE= x e AF= y, a razão x b é igual a

Geometria Plana. Parte I.  Página 1. OA = OB, e ABCD é um quadrado. Sendo θ a medida. AE= x e AF= y, a razão x b é igual a Geometria Plana Parte I 1. (Fuvest 014) Uma circunferência de raio 3 cm está inscrita no triângulo isósceles ABC, no qual AB= AC. A altura relativa ao lado BC mede 8 cm. O comprimento de BC é, portanto,

Leia mais

Treino Matemático. 1. Em qual das figuras podes observar um polígono inscrito numa circunferência? (A) (B) (C) (D)

Treino Matemático. 1. Em qual das figuras podes observar um polígono inscrito numa circunferência? (A) (B) (C) (D) Treino Matemático ssunto: ircunferência e círculo. 6º ano Ficha de trabalho 1. Em qual das figuras podes observar um polígono inscrito numa circunferência? () () () (). Na figura sabe-se a reta é tangente

Leia mais

Projeto Jovem Nota 10 Áreas de Figuras Planas Lista 6 Professor Marco Costa

Projeto Jovem Nota 10 Áreas de Figuras Planas Lista 6 Professor Marco Costa 1 Projeto Jovem Nota 10 1. (Fgv 97) No plano cartesiano, os vértices de um triângulo são A (5,2), B (1,3) e C (8,-4). a) Obtenha a medida da altura do triângulo, que passa por A. b) Calcule a área do triângulo

Leia mais

Desenho Técnico Página 11

Desenho Técnico Página 11 Exercício 16 Concordância Interna de Circunferências Dada uma circunferência de centro O 1 conhecido, determine a circunferência de centro O 2 de tal forma que sejam concordantes internamente. Marque o

Leia mais

QUESTÕES TRIÂNGULO RETÂNGULO

QUESTÕES TRIÂNGULO RETÂNGULO QUESTÕES TRIÂNGULO RETÂNGULO 1. (Ita 015) Seja ABCD um trapézio isósceles com base maior AB medindo 15, o lado AD medindo 9 e o ângulo ADB ˆ reto. A distância entre o lado AB e o ponto E em que as diagonais

Leia mais

Lista de Exercícios 1 - Caio Milani e Gabriel Mendes (1º Ano)

Lista de Exercícios 1 - Caio Milani e Gabriel Mendes (1º Ano) Lista de Exercícios 1 - Caio Milani e Gabriel Mendes (1º Ano) Polígonos 1. Calcule o número de diagonais de um icoságono (20 lados). 2. Determine o polígono cujo número de diagonais é o triplo do número

Leia mais

III CAPÍTULO 21 ÁREAS DE POLÍGONOS

III CAPÍTULO 21 ÁREAS DE POLÍGONOS 1 - RECORDANDO Até agora, nós vimos como calcular pontos, retas, ângulos e distâncias, mas não vimos como calcular a área de nenhuma figura. Na aula de hoje nós vamos estudar a área de polígonos: além

Leia mais

Exercícios de Geometria Plana Tchê Concursos Prof. Diego

Exercícios de Geometria Plana Tchê Concursos Prof. Diego (001). Se a diferença entre o número de diagonais de dois polígonos convexos é 30 e um deles tem 5 lados a mais que o outro, então o número de lados de cada um dos polígonos é: (A) 5 e 10 (B) 6 e 11 (C)

Leia mais

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO NORTE. Professor: João Carmo

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO NORTE. Professor: João Carmo INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO NORTE Professor: João Carmo INTRODUÇÃO Circunferência é uma linha curva, plana, fechada e que tem todos os pontos que a constitui, equidistantes

Leia mais

(A) 30 (B) 6 (C) 200 (D) 80 (E) 20 (A) 6 (B) 10 (C) 15 (D) 8 (E) 2 (A) 15 (B) 2 (C) 6 (D) 27 (E) 4 (A) 3 (B) 2 (C) 6 (D) 27 (E) 4

(A) 30 (B) 6 (C) 200 (D) 80 (E) 20 (A) 6 (B) 10 (C) 15 (D) 8 (E) 2 (A) 15 (B) 2 (C) 6 (D) 27 (E) 4 (A) 3 (B) 2 (C) 6 (D) 27 (E) 4 TEOREMA DE TALES 1. Na figura abaixo as retas r, s e t são (A) 0 (B) 6 (C) 00 (E) 0. Três retas paralelas são cortadas por duas Se AB = cm; BC = 6 cm e XY = 10 cm a medida, em cm, de XZ é: (A) 0 (B) 10

Leia mais

DESENHO TÉCNICO ( AULA 02)

DESENHO TÉCNICO ( AULA 02) DESENHO TÉCNICO ( AULA 02) Posições da reta e do plano no espaço A geometria, ramo da Matemática que estuda as figuras geométricas, preocupa-se também com a posição que os objetos ocupam no espaço. A reta

Leia mais

Matemática Régis Cortes GEOMETRIA PLANA

Matemática Régis Cortes GEOMETRIA PLANA GEOMETRIA PLANA 1 GEOMETRIA PLANA Congruência: dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas.  + Î = 180 graus Ê + Ô = 180 graus  + Ê + Î + Ô = 360 graus Quadrado l A = l 2 d

Leia mais

PROFESSOR FLABER 2ª SÉRIE Circunferência

PROFESSOR FLABER 2ª SÉRIE Circunferência PROFESSOR FLABER ª SÉRIE Circunferência 01. (Fuvest SP) A reta s passa pelo ponto (0,3) e é perpendicular à reta AB onde A=(0,0) e B é o centro da circunferência x + y - x - 4y = 0. Então a equação de

Leia mais

30's Volume 9 Matemática

30's Volume 9 Matemática 30's Volume 9 Matemática www.cursomentor.com 20 de janeiro de 201 Q1. Uma pessoa adulta possui aproximadamente litros de sangue. Em uma pessoa saudável, 1 mm 3 de sangue possui, aproximadamente: milhões

Leia mais

x = 4 2sen30 0 = 4 2(1/2) = 2 2 e y = 4 2 cos 30 0 = 4 2( 3/2) = 2 6.

x = 4 2sen30 0 = 4 2(1/2) = 2 2 e y = 4 2 cos 30 0 = 4 2( 3/2) = 2 6. CURSO DE PRÉ CÁLCULO ONLINE - PET MATEMÁTICA / UFMG LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: Exercício 1 Calcule o valor de x e y indicados na figura abaixo. Solução: No triângulo retângulo ABD, temos que AD mede

Leia mais

Turma M1-27/09/2011 Dirce Uesu

Turma M1-27/09/2011 Dirce Uesu Turma M1-27/09/2011 Dirce Uesu Prova: Por quê? Prova: Por quê? Prova: Por quê? OBS: Considere em um plano uma circunferência e um ponto P, o qual poderá ser : - ou exterior - ou interior - ou pertencer

Leia mais

ÍNDICE: Relações Métricas num Triângulo Retângulo página: 2. Triângulo Retângulo página: 4. Áreas de Polígonos página: 5

ÍNDICE: Relações Métricas num Triângulo Retângulo página: 2. Triângulo Retângulo página: 4. Áreas de Polígonos página: 5 ÍNDICE: Relações Métricas num Triângulo Retângulo página: Triângulo Retângulo página: 4 Áreas de Polígonos página: 5 Área do Círculo e suas partes página: 11 Razão entre áreas de figuras planas semelhantes

Leia mais

Lista 3. Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 2.5, pág. 81 em diante.

Lista 3. Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 2.5, pág. 81 em diante. MA13 Exercícios das Unidades 4 e 5 2014 Lista 3 Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 2.5, pág. 81 em diante. 1) Seja ABCD um quadrilátero qualquer. Prove que os pontos médios

Leia mais

MATEMÁTICA - 3o ciclo Teorema de Pitágoras (8 o ano)

MATEMÁTICA - 3o ciclo Teorema de Pitágoras (8 o ano) MTMÁTI - 3o ciclo Teorema de Pitágoras (8 o ano) xercícios de provas nacionais e testes intermédios 1. Na figura ao lado, estão representados um cilindro e um prisma quadrangular regular [ ] de bases []

Leia mais

I - INTRODUÇÃO II LUGARES GEOMÉTRICOS, ÂNGULOS E SEGMENTOS 1. POSTULADOS DO DESENHO GEOMÉTRICO

I - INTRODUÇÃO II LUGARES GEOMÉTRICOS, ÂNGULOS E SEGMENTOS 1. POSTULADOS DO DESENHO GEOMÉTRICO MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA Professores: Deise Maria Bertholdi Costa, Luzia Vidal de Souza, Paulo Henrique Siqueira,

Leia mais

1. Calcular x e y sabendo-se que (1, 2, x,...) e (12, y, 4,...) são grandezas inversamente proporcionais.

1. Calcular x e y sabendo-se que (1, 2, x,...) e (12, y, 4,...) são grandezas inversamente proporcionais. Nome: nº Professor(a): Série: 1ª EM. Turma: Data: / /2013 Sem limite para crescer Bateria de Exercícios de Matemática II 1º Trimestre 1. Calcular x e y sabendo-se que (1, 2, x,...) e (12, y, 4,...) são

Leia mais

LISTA 2 GEOMETRIA PLANA PROF. NATHALIE 1º Ensino Médio

LISTA 2 GEOMETRIA PLANA PROF. NATHALIE 1º Ensino Médio LISTA 2 GEOMETRIA PLANA PROF. NATHALIE 1º Ensino Médio 11. Em cada uma das figuras, o centro da circunferência é O. Calcule o valor de x. (a) 35 b) 70 ) a) b) 01. Qual é o polígono cuja soma dos ângulos

Leia mais

Matemática D Semi-Extensivo V. 2

Matemática D Semi-Extensivo V. 2 Matemática D Semi-Etensivo V. Eercícios 0) 0) D 60 60 P y z y y z D 6 P é semelante a DP. 6 z ssim: D + z tg 60º z 6 0) P E 0) D y 0 y + y 00 y 9y + y 00 6 9y + 6y 00 6 y 00 6 y 6 y 8 6 Perímetro: 6 +

Leia mais

30's Volume 18 Matemática

30's Volume 18 Matemática 0's Volume 18 Matemática wwwcursomentorcom 0 de dezembro de 2014 Q1 Num cilindro reto de base circular, cujo diâmetro mede 2 m, e de altura igual a 10 m, faz-se um furo central, vazando-se esse cilindro,

Leia mais

MATEMÁTICA - 3o ciclo Figuras semelhantes (7 o ano)

MATEMÁTICA - 3o ciclo Figuras semelhantes (7 o ano) MTMÁTI - 3o ciclo Figuras semelhantes (7 o ano) xercícios de provas nacionais e testes intermédios 1. Na figura seguinte, estão representadas duas semirretas, Ȯ e Ȯ, e duas retas paralelas, r e s. a reta

Leia mais

Exercícios de Aprofundamento Mat Geom Espacial

Exercícios de Aprofundamento Mat Geom Espacial 1. (Fuvest 015) No cubo ABCDEFGH, representado na figura abaixo, cada aresta tem medida 1. Seja M um ponto na semirreta de origem A que passa por E. Denote por θ o ângulo BMH e por x a medida do segmento

Leia mais

Projeto Jovem Nota 10 Áreas de Figuras Planas Lista 2 Professor Marco Costa

Projeto Jovem Nota 10 Áreas de Figuras Planas Lista 2 Professor Marco Costa 1 Projeto Jovem Nota 10 1. (Unifesp 2004) As figuras A e B representam dois retângulos de perímetros iguais a 100 cm, porém de áreas diferentes, iguais a 400 cm e 600 cm, respectivamente. A figura C exibe

Leia mais

MATEMÁTICA - 3o ciclo Figuras semelhantes (7 o ano)

MATEMÁTICA - 3o ciclo Figuras semelhantes (7 o ano) MTMÁTI - 3o ciclo iguras semelhantes (7 o ano) xercícios de provas nacionais e testes intermédios 1. Na figura ao lado, está representado o triângulo [], retângulo em figura não está desenhada à escala.

Leia mais

Programa Olímpico de Treinamento. Aula 5. Curso de Geometria - Nível 2. Problemas OBM - 1 Fase. Prof. Rodrigo Pinheiro

Programa Olímpico de Treinamento. Aula 5. Curso de Geometria - Nível 2. Problemas OBM - 1 Fase. Prof. Rodrigo Pinheiro Programa Olímpico de Treinamento Curso de Geometria - Nível 2 Prof. Rodrigo Pinheiro Aula 5 Problemas OBM - 1 Fase Problema 1. Dois espelhos formam um ângulo de 0 no ponto V. Um raio de luz, vindo de uma

Leia mais

Trigonometria no triângulo retângulo

Trigonometria no triângulo retângulo COLÉGIO PEDRO II CAMPUS REALENGO II LISTA DE APROFUNDAMENTO - ENEM MATEMÁTICA PROFESSOR: ANTÔNIO ANDRADE COORDENADOR: DIEGO VIUG Trigonometria no triângulo retângulo Questão 01 A figura a seguir é um prisma

Leia mais

Área das figuras planas

Área das figuras planas AS ESPOSTAS ESTÃO NO FINAL DOS EXECÍCIOS. ) Calcule as áreas dos retângulos de base b e altura h nos seguintes casos: a) b = cm e h = 7cm b) b =,dm e h = dm c) b = m e h = m d) b =,m e h =,m ) Determine:

Leia mais

Lista 23 - GEOMETRIA ANALÍTICA - II

Lista 23 - GEOMETRIA ANALÍTICA - II Lista - GEOMETRIA ANALÍTICA - II 1) (UFSM) Sejam o ponto A(, ) e a reta r, bissetriz do 1 o quadrante. A equação da reta que passa pelo ponto A, perpendicular à reta r, é (A) y = + - y = y = - + 8 y +

Leia mais

3 ÁREAS E VOLUME DO TRONCO DE CONE 1 TRONCO DE CONE 2 SEMELHANÇA ENTRE OS CONES. 3.1 Área lateral. 3.2 Área das bases. 3.3 Área total. 3.

3 ÁREAS E VOLUME DO TRONCO DE CONE 1 TRONCO DE CONE 2 SEMELHANÇA ENTRE OS CONES. 3.1 Área lateral. 3.2 Área das bases. 3.3 Área total. 3. Matemática Pedro Paulo GEOMETRIA ESPACIAL IX 1 TRONCO DE CONE Chamaremos de tronco de cone de bases paralelas a porção do cone limitada por sua base e por uma secção transversal qualquer deste cone. A

Leia mais

BANCO DE QUESTÕES - GEOMETRIA - 8º ANO - ENSINO FUNDAMENTAL

BANCO DE QUESTÕES - GEOMETRIA - 8º ANO - ENSINO FUNDAMENTAL PROFESSOR: EQUIPE E TEÁTI O E QUESTÕES - GEOETRI - 8º O - ESIO FUETL ============================================================================ 01- Um polígono de 4 lados chama-se: () quadrado. () paralelogramo.

Leia mais

COLÉGIO SHALOM Ensino Fundamental II 9º ANO Profº: RONALDO VILAS BOAS COSTA Disciplina: GEOMETRIA 9 B 25 C

COLÉGIO SHALOM Ensino Fundamental II 9º ANO Profº: RONALDO VILAS BOAS COSTA Disciplina: GEOMETRIA 9 B 25 C COLÉGIO SHALOM Ensino Fundamental II 9º ANO Profº: RONALDO VILAS BOAS COSTA Disciplina: GEOMETRIA TRABALHO Data: /1/018 Nota: Estudante :. No. 1) O valor de no triângulo retângulo abaio é: a) 10. b) 1.

Leia mais

Exercícios de Matemática Geometria Analítica

Exercícios de Matemática Geometria Analítica Eercícios de Matemática Geometria Analítica. (UFRGS) Considere um sistema cartesiano ortogonal e o ponto P(. ) de intersecção das duas diagonais de um losango. Se a equação da reta que contém uma das diagonais

Leia mais

CADERNO DE EXERCÍCIOS 9

CADERNO DE EXERCÍCIOS 9 MATEMÁTICA Capítulo 1 Triângulo Retângulo e Triângulo Qualquer Nível 01 Os observadores A e B vêem um balão sob ângulos de 0º e 45º, como mostra a figura. Sabendo-se que a distância entre eles é de 100m,

Leia mais

REVISÃO FUVEST Ensino Médio Geometria Prof. Sérgio Tambellini

REVISÃO FUVEST Ensino Médio Geometria Prof. Sérgio Tambellini REVISÃO FUVEST Ensino Médio Geometria Prof. Sérgio Tambellini Aluno :... Questão 1 - (FUVEST SP/014) GEOMETRIA PLANA Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos

Leia mais