Estudo Dirigido de Matemática 2 o Trimestre

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1 Nome: Nº Colégio Nossa Senhora das Dores 1º ano EM Prof. Manuel Data: / /009 Estudo Dirigido de Matemátia o Trimestre Prezado(a) aluno(a), Devido à interrupção das aulas durante o período ompreendido entre 01 e 16 de agosto, apresento a voê uma proposta de estudo visando a agilizar os estudos e repor, da melhor maneira possível, os onteúdos orrespondentes a este semestre. Segue uma abordagem sobre Trigonometria no Triângulo Retângulo de forma suinta e abrangente. Aredito que voê onseguirá obter êxito no proesso de aprendizagem, pois a apresentação da teoria e os exeríios propostos favoreem a ompreensão e a assimilação do onteúdo. Vale ressaltar que independentemente da apresentação desta atividade que será onsiderada para efeito de nota de omprometimento e partiipação estarei sempre à disposição para quaisquer eslareimentos que se fizerem neessários. Bom estudo! Prof. Manuel Del Campo Rodriguez TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Razões trigonométrias no triângulo retângulo A Trigonometria naseu entre os gregos para resolver problemas de Astronomia Pura. Suas primeiras apliações prátias oorreram om Ptolemaios, por volta do ano 150 d.c., que a usou para determinar a latitude e a longitude de idades e de outros pontos geográfios em seus mapas. Do mundo grego, a Trigonometria passou para a Índia, onde era usada, a partir do séulo V, nos álulos astrológios. No ano 800, aproximadamente, ela hega a mundo islâmio, onde foi muito desenvolvida e apliada na Astronomia e Cartografia. Alança, om os livros de Ptolemaios, a Europa Cristã em torno de Com os portugueses enontra uma apliação de enorme valor eonômio na navegação oeânia. Até era de 1600, todas as apliações da Trigonometria (Astronomia, Cartografia e Navegação Oeânia) nada tinham a ver om problemas de agrimensura ou topografia. É importante observar que, nesse período, a Trigonometria estava num estágio bastante desenvolvido, em muito ultrapassando o que é hoje ensinado no Ensino Médio. Para iniiar este estudo abem algumas perguntas: 1) O que voê entende por razão entre dois números? ) Por que um triângulo pode ser lassifiado omo triângulo retângulo?

2 3) O que são razões trigonométrias? Razões trigonométrias no triângulo retângulo A C α β B Observando o triângulo retângulo C, da figura ao lado, podemos identifiar e nomear os seguintes segmentos e ângulos: : Hipotenusa : Cateto BC: Cateto Ângulos agudos: α (alfa) e β (beta) Identifiados os segmentos e ângulos onforme a ilustração anterior estabeleemos a seguintes igualdades entre as razões: BC F (BC e indiam a medida do segmento orrespondente) BC (O número F, assim obtido, é hamado seno do ângulo agudo α e se india por: sen α F ) Observe que o álulo do seno de um ângulo agudo é dado pela razão ateto oposto hipotenusa C. O. HIP. Analisando a igualdade anterior o que voê pode afirmar sobre a razão?... Complete: (O número..., assim obtido, é hamado seno do ângulo agudo... e se india por: sen β G ) Observe o que aontee quando trabalhamos om o ateto adjaente ao ângulo:

3 Antes uma pergunta: Voê tem lareza de quando um ateto e denominado oposto ou adjaente ao ângulo dado? H (O número H, assim obtido, é hamado osseno do ângulo agudo α e se india por: os α G ) ateto adjaente Observe que o álulo do osseno de um ângulo agudo é dado pela razão hipotenusa C. A. HIP. BC I (O número I, assim obtido, é hamado osseno do ângulo agudo β e se india por: os α BC I ) Uma outra razão trigonométria é onheida omo tangente de um ângulo agudo. Como voê definiria tangente? BC J (O número J, assim obtido, é hamado tangente do ângulo agudo α e se india por: tg α BC J ) Observe que o álulo da tangente de um ângulo agudo é dado pela razão ateto oposto ateto adjaente C. O. C. A. K BC (O número K, assim obtido, é hamado tangente do ângulo agudo β e se india por: tg β K ) BC Resumo Num triângulo retângulo, temos: Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do ateto oposto ao ângulo e a medida da hipotenusa. Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do ateto adjaente ao ângulo e a medida da hipotenusa

4 Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do ateto oposto e a medida do ateto adjaente ao ângulo. CONSEQUÊNCIA Aredito que voê deve ter observado o que segue: No triângulo retângulo C da figura, α+ β 90º ( A b α C a B β B^ ^ e C são ângulos omplementares). senα a a osβ b senβ osα b sen α os β sen β os α EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Determine o seno, o osseno e a tangente dos ângulos agudos (α e β) da figura abaixo: A 8 α 17 C 15 B β

5 Resolução: C.O. BC 15 senα HIP. 17 C.A. osα HIP. C.O. tgα C.A BC ,8835 0, ,875 C.O. senβ HIP. C.A. BC 15 osβ HIP. 17 C.O. tgβ C.A BC 15 0, ,8835 0,53333 C.A.: Cateto adjaente C.O.: Cateto oposto HIP.: Hipotenusa De aordo omo que foi exposto proure responder as seguintes questões: 1) Em ada aso, alule o seno, o osseno e a tangente do ângulo agudo assinalado: a) A 3 4 β sen β os β tg β C 5 B b) B 5 1 α C A sen α os α tg α Não se esqueça de raionalizar o denominador..das frações. ) Num triângulo retângulo um ateto mede 15 m e a hipotenusa 17 m. Calule o seno, o osseno e a tangente do maior ângulo agudo desse triângulo. Para fazer este exeríio, antes de tudo, voê deve enontrar a medida do outro ateto. Para fazer este álulo devemos reorrer ao Teorema de Pitágoras. Lembra-se: Hip at + at. Outra questão a ser soluionada - sem o uso de qualquer instrumento (ompasso ou transferidor) e perebendo que a figura não apresenta uma proporionalidade em suas

6 medidas é qual ângulo agudo devemos onsiderar, pois o enuniado propõem alular o seno, o osseno e a tangente do maior ângulo agudo desse triângulo. Pereba que o simples onheimento teório sobre Trigonometria no Triângulo Retângulo não basta para soluionarmos todo e qualquer exeríio, pois muitas vezes devemos utilizar outros onheimentos para poder enaminhar a resolução de um problema. Voê lembra quanto vale a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer? Se voê souber a resposta vai entender melhor o que segue. A ada ângulo agudo de um triângulo retângulo está assoiado um únio valor para o seno, o osseno e a tangente. Esses valores podem ser indiados para os ânulos de 1º a 90º, variando de grau em grau. Considerando a afirmação anterior, pesquise de quais maneiras os valores do seno, osseno e tangente de um ângulo podem ser determinados. Defina ângulo agudo? Conheendo os valores do seno, do osseno e da tangente dos ângulos agudos podemos resolver algumas situações-problema de ordem prátia. Observe: Um avião levanta vôo em B e sobe fazendo um ângulo onstante de 15º om a horizontal. A que altura está e qual distânia perorrida, quando alançar a vertial que passa por um prédio A situado a km do ponto de partida? (Dados: sen 15º 0,6, os 15º 0,97 e tg 15º 0,7). y x 15º B 000 m A Paree ser um problema difíil, mas lendo o enuniado om atenção e onseguindo assoiar os onheimentos até aqui tratados, iremos pereber que a resolução salta aos nossos olhos, pois apliando orretamente os onheimentos sobre Trigonometria no Triângulo Retângulo temos: x x # Cálulo da altura x em relação ao solo: tg 15º 0,7 x 0, m x # Cálulo da distânia perorrida y: sen 15º 0,6 0,6. y 540 y y y y 0, 6 076,9 m

7 Resp.: A altura é de 540 m e a distânia perorrida é de 076,9 m. TENTE VOCÊ: 1) Um topógrafo foi hamado para obter a altura de um edifíio. Para fazer isto, ele oloou um teodolito (instrumento ótio para medir ângulos) a 00 metros do edifíio e mediu um ângulo de 30, omo indiado na figura a seguir. Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,5 metros do solo, pode-se onluir que, dentre os valores adiante, o que MELHOR aproxima a altura do edifíio, em metros, é: Use os valores: sen 30 0,5, os 30 0,866 e t g 30 0,577 a) 11 b) 115 ) 117 d) 10 e) 14 ) Uma esada rolante de 10 m de omprimento liga dois andares de uma loja e tem inlinação de 30. Determine a altura h entre um andar e outro, e m metros. Use os valores: sen 30 0,5, os 30 0,866 e t g 30 0,577 UMA TELA MUITO IMPORTANTE Os ângulos de 30º, 45º e 60º apareem om frequênia em muitos problemas. Para as razões trigonométrias relaionadas a esses ângulos é mais onveniente usar os valores indiados abaixo. 30º 45º 60º sen 1 3 os 3 1 tg

8 Obs.: Pode pareer estranho, mas é mais fáil memorizar as razões trigonométrias destes ângulos omo apresentado na tabela do que em sua forma deimal. DESAFIO Qual a área do triangulo C indiado na figura? B A m 45º 30º C Voê se lembra omo alular a área de um triângulo? Sugestão: Utilize os valores da tabela trigonométria dada.