Descobrindo medidas desconhecidas (II)

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1 A UU L AL A Desobrindo medidas desonheidas (II) Q uem trabalha no ramo da meânia sabe que existem empresas espeializadas em reforma de máquinas. As pessoas que mantêm esse tipo de atividade preisam ter muito onheimento e muita riatividade para resolver os problemas que envolvem um trabalho omo esse. Na maioria dos asos, as máquinas apresentam falta de peças, não possuem esquemas nem desenhos, têm parte de seus onjuntos meânios tão gastos que não é possível repará-los e eles preisam ser substituídos. O maior desafio é o fato de as máquinas serem bem antigas e não haver omo repor omponentes danifiados, porque as peças de reposição há muito tempo deixaram de ser fabriadas e não há omo omprá-las no merado. A tarefa do meânio, nesses asos, é, além de fazer adaptações de peças e dispositivos, modernizar a máquina para que ela seja usada om mais efiiênia. Isso é um verdadeiro trabalho de detetive, e um dos problemas que o profissional tem de resolver é alular o omprimento das orreias faltantes. Vamos supor, então, que voê trabalhe em uma dessas empresas. Como voê é novato e o álulo é fáil, seu hefe mandou que voê alulasse o omprimento de todas as orreias das máquinas que estão sendo reformadas no momento. Voê sabe omo resolver esse problema? O problema Calulando o omprimento de orreias A primeira oisa que voê observa é que a primeira máquina tem um onjunto de duas polias iguais, que devem ser ligadas por meio de uma orreia aberta. O que voê deve fazer em primeiro lugar é medir o diâmetro das polias e a distânia entre os entros dos eixos. Depois voê faz um desenho, que deve ser pareido om o que mostramos a seguir. Nossa aula 20 m 20 m = 40 m

2 A U L A Dia tenológia Nos onjuntos meânios, voê pode ter várias ombinações de polias e orreias. Assim, é possível ombinar polias de diâmetros iguais, movidas por orreias abertas e orreias ruzadas. A razão para ruzar as orreias é inverter a rotação da polia. d d Pode-se, também, ombinar polias de diâmetros diferentes, a fim de alterar a relação de transmissão, ou seja, modifiar a veloidade, aumentando-a ou diminuindo-a. Esse tipo de onjunto de polias pode igualmente ser movimentado por meio de orreias abertas ou orreias ruzadas. R r R r

3 Agora, voê analisa o desenho. O omprimento da orreia orresponde ao perímetro da figura que voê desenhou, erto? O raioínio que voê tem de seguir é mais ou menos o mesmo que foi seguido para resolver o problema do omprimento do material para fabriar peças urvadas. Analisando a figura, vemos que a área de ontato da orreia om a polia está loalizada nas duas semiirunferênias. Para fins de resolução matemátia, onsideraremos as duas semiirunferênias omo se fossem uma irunferênia. Portanto, o omprimento das partes urvas será o perímetro da irunferênia. Assim, alulamos o perímetro da irunferênia e depois somamos os dois segmentos de reta orrespondentes à distânia entre os entros dos eixos. Matematiamente, isso pode ser oloado em uma fórmula: A U L A L = p d+2 Nela, L é o omprimento total da orreia; p d é o perímetro da irunferênia e C é a distânia entre os entros dos eixos (que orrespondem aos dois segmentos de reta). Coloando os valores na fórmula L = p d + 2, voê tem: L = 3, L = 62, L = 142,8 m O omprimento da orreia deve ser de aproximadamente 143 m. Esse álulo não é difíil. Releia esta parte da aula e faça os exeríios a seguir. Exeríio 1 Calule o omprimento da orreia aberta que liga duas polias iguais om 30 m de diâmetro e om distânia entre eixos de 70 m. Tente voê também Solução: L = p d+2 L = 3, L = Exeríio 2 Calule o omprimento da orreia aberta neessária para movimentar duas polias iguais, om 26 m de diâmetro e om distânia entre eixos de 60 m.

4 A U L A Polias de diâmetros diferentes Voltemos à tarefa que o hefe lhe passou: a segunda máquina que voê examina tem um onjunto de polias de diâmetros diferentes e orreia aberta. Novamente, voê mede o diâmetro das polias e a distânia entre os entros dos eixos. Enontra o valor dos raios (D/ 2). Em seguida, desenha o onjunto om as medidas que voê obteve. 2 m 10 m = 4 m Mais uma vez, voê tem de enontrar o perímetro dessa figura. Quais as medidas que temos? Temos o raio da polia maior (2 m), o raio da polia menor (10 m) e a distânia entre os entros dos eixos (4 m). Para esse álulo, que é aproximado, voê preisa alular o omprimento das semiirunferênias e somá-lo ao omprimento multipliado por 2. Dia Esse álulo é aproximado, porque a região de ontato da polia om a orreia não é exatamente orrespondente a uma semiirunferênia. Observe a figura abaixo. Analisando-a om uidado, vemos que a medida do segmento A é desonheida. Como enontrá-la? a 2 m 10 m b a = 4 m Já vimos que uma ferramenta adequada para enontrar medidas desonheidas é o Teorema de Pitágoras, que usa omo referênia a relação entre os atetos e a hipotenusa de um triângulo retângulo. Então, vamos tentar traçar um triângulo retângulo dentro da figura que temos. Usando o segmento a omo hipotenusa, traçamos um segmento, paralelo à linha de entro formada pelos dois eixos das polias. Essa linha forma o ateto maior do triângulo. Quando ela enontra outra linha de entro da polia maior, forma o ateto menor (b). Sua medida orresponde ao valor do raio maior menos o valor do raio menor (R - r). Seu desenho deve fiar igual ao dessa figura aima.

5 Agora, é só representar matematiamente essas informações em uma fórmula. L = p (R + r) (R - r) 2 Substituindo os valores, voê tem: A U L A L = 3,14 (2 +10) (2-10) 2 L = 3, (1) 2 L = 3, L = 3, L = 3, ,43 L = 109,9 + 94,86 L = 204,76 m A orreia para essa máquina deverá ter aproximadamente 204,76 m. Estude novamente a parte da aula referente às orreias abertas ligando polias om diâmetros diferentes e faça os exeríios a seguir. Tente voê também Exeríio 3 Calule o omprimento de uma orreia aberta que deverá ligar duas polias de diâmetros diferentes (Ø 1 m e Ø20 m) e om distânia entre eixos de 40 m. Solução: R = 20 2 = r = 1 2 = L = p (R + r) (R - r) 2 L = 3,14 Exeríio 4 Calule o omprimento de uma orreia aberta que deverá ligar duas polias de diâmetros diferentes (Ø 30 m e Ø 80 m) e om distânia entre eixos de 100 m. Correias ruzadas Para o álulo do omprimento de orreias ruzadas, voê deverá usar as seguintes fórmulas: a)a)a)a)a) Para polias de diâmetros iguais: L = p d d 2 b) Para polias de diâmetros diferentes: L = p (R + r) (R + r) 2

6 Tente A Uvoê L A também Agora voê vai fazer exeríios apliando as duas fórmulas para o álulo do omprimento de orreias ruzadas. Exeríio Calule o omprimento de uma orreia ruzada que liga duas polias iguais, om 3 m de diâmetro e distânia entre eixos de 60 m. Solução: L = p d d 2 L = 3, Exeríio 6 Calule o omprimento de uma orreia ruzada que deverá ligar duas polias de diâmetros diferentes (Ø 1 m e Ø 20 m) e om distânia entre eixos de 40 m. L = p (R + r) (R + r) 2 Dia Tenológia A s orreias ruzadas são bem pouo utilizadas atualmente, porque o atrito gerado no sistema provoa o desgaste muito rápido das orreias. Teste o que voê aprendeu Lembre-se de que para resolver esse tipo de problema voê tem de aprender a enxergar o triângulo retângulo nos desenhos. Este é o desafio que lançamos para voê. Exeríio 7 Calule o omprimento das orreias mostradas nos seguintes desenhos. a)a)a)a)a) b) 8 m 8 m 18 m 10 m = 1 m = 0 m ))))) d) 0 m 30 m 40 m 20 m = 100 m = 100 m