As Equações de Maxwell e a Onda Eletromagnética

Transcrição

1 As Equações de Maxwell e a Onda Eletromagnétia Evandro Bastos dos antos 27 de Maio de Introdução Até agora vimos aqui quatro leis do no eletromagnetismo. A lei de Gauss na eletrostátia, E ˆnda = q int ε 0. (1) A lei de Gauus na magnetostátia, B ˆnda = 0. (2) A lei de Faraday para ampos induzidos, E d l = dφ B dt. (3) E a lei de Ampère B d l = µ 0 i en. (4) Olhando as quatro equações podemos pereber simetria entre as leis de Gauss da eletrostátia e da magnetostátia. Em ambos asos, temos que um erto fluxo é igual a uma onstante. Na lei de Faraday om a lei de Ampère não temos simetria. A primeira trata de um ampo induzido gerado por uma variação de fluxo e a segunda de um ampo induzido por uma orrente que pode ser onstante. A lei de Faraday garante que uma variação de um fluxo de ampo magnétio através de uma espira gera um ampo elétrio em sentido rotaional e om direção oposta aquele enontrada pela regra da mão direita, omo visto na figura 1. 1

2 Figura 1: Variação do fluxo de ampo magnétio em uma espira gerando um ampo elétrio induzido. 2 Corrente de Desloamento Podemos então imaginar alguma analogia para a lei de Ampère? Na figura 2, visualizamos omo seria essa analogia. Figura 2: Variação do fluxo de ampo elétrio em uma espira gerando um ampo magnétio induzido. Então se a lei de Faraday é esrita omo Uma analogia para a lei de Ampère pode ser esrita na forma E d l = dφ B dt. (5) B d l = dφ E dt. (6) Ou seja, uma variação de fluxo de ampo elétrio pode riar um ampo magnétio induzido e rotaional, omo visto na figura 2. Dimensionalmente a equação 6 está errada. A orreção pode ser feita multipliando por µ 0 ε 0 B d l = µ 0 ε 0 dφ E dt. (7) Em uma espira de área A, a variação do fluxo de ampo elétrio é determinado por dφ E dt = A t. (8) 2

3 Entretanto, preisamos verifiar se isso realmente é verdade e omo podemos onstruir esse ampo magnétio variável. Para isso vamos onsiderar o proesso de arga de um apaitor, om duas plaas planas. Figura 3: Campo elétrio entre as plaas de um apaitor durante o proesso de arregamento Durante o proesso de arregamento visto na figura 3, temos que o a arga em ada uma das plaas está aumentando, onsequentemente a diferença de potenial está variando, o que ausa um ampo elétrio que aumenta O ampo elétrio dentro de um apaitor é dado por t > 0 (9) e a área das plaas é A, e a arga Q. Temos que, E = σ ε 0 (10) E a variação é, portanto, E = Q Aε 0 (11) t = Q t Aε 0 (12) t = 1 dq Aε 0 dt (13) Como o já vimos, dq dt = i, t = i Aε 0. (14) Isso signifia que há uma orrente dentro de um apaitor, dada pela variação do ampo elétrio entre as plaas durante o proesso de arga (e de desarga). Dentro de um apaitor, há um material isolante (dielétrio) ou o váuo. Então não pode haver orrente elétria de ondução entre as plaas. À essa orrente, damos então o nome de orrente de desloamento, pois ela é responsável por promover o desloamento de argas entre as plaas do apaitor, visto que, quando inserido em um iruito elétrio, o apaitor permite a passagem de orrente. Podemos verifiar se essa orrente é verdadeira utilizando a lei de Ampère. 3

4 Figura 4: Lei de Ampère apliada dentro de um apaitor. Dentro de um apaitor (figura 4), há a orrente de desloamento (i d ). Para essa orrente apliamos a lei de Ampère na forma B d l = µ 0 i d (15) Esolhendo omo urva amperiana uma irunferênia de raio a, temos que e apliar a mesma lei fora do apaitor, enontramos B d 2πa = µ 0 i d varphi ˆ (16) B d = µ 0i d 2πa. (17) B 2πa = µ 0 i varphi ˆ (18) B = µ 0i 2πa. (19) Medindo ambos os ampos, dentro de fora do apaitor é enontrado o mesmo valor, B d = B. (20) Isso signifia que, para que os ampos tenham o mesmo valor, as orrentes de ondução e de desloamento devem ter, portanto, os mesmos valores numérios. i d = i. (21) Mesmo tendo naturezas e oneitos diferentes, elas possuem o mesmo valor numério. Portanto adiionando a ontribuição, ou orreção, de Maxwell a lei de Ampère, podemos esrever de uma forma mais ompleta B d l = µ 0 i + µ 0 ε dφ E dt que é onheida por lei de Ampère-Maxwell. (22) 4

5 3 Ondas Eletromagnétias Essa não foi a únia ontribuição de Maxwell para o eletromagnetismo. Ele ainda perebeu que as quatro leis poderiam formar uma entidade ainda mais interessante. E ˆndA = q ε 0 (23) B ˆndA = 0 (24) E d l = ε dφ B dt B d l = µ 0 i + µ 0 ε dφ E dt No álulo diferenial e integral de muitas variáveis há dois teoremas. O teorema da divergênia de Gauss e o teorema do rotaional de tokes (25) (26) A ˆnd = div( A)dV (27) V A ˆnd = AdV (28) V A d l = rot( A)d (29) A d l = ( A) d (30) Apliando o teorema da divergênia nas leis de Gauss da eletrostátia e do magnetismo e o terema de stokes nas leis de Faraday e de Ampère-Maxwell, temos que E = ρ ε 0 (31) B = 0 (32) E = B t (33) B = µ 0J + t (34) em que ρ é a densidade volumétria de arga dentro da superfíie gaussiana e J é a densidade superfiial de orrente que atravessa do fio, na lei de Ampère-Maxwell. Essas são as formas difereniais das equações do eletromagnetismo. Com essas formas é mais fáil interpretar ada um delas. Na lei de Gauss da eletrostátia vemos que o ampo elétrio pode divergir ou onvergir para um ponto e é proporional a distribuição de arga no espaço. Na lei de Gauss da magnetostátia temos que não há divergênia de argas, ou seja, só há linhas de ampo fehadas. Na lei de Faraday temos que uma variação de um ampo magnétio ausa a indução de um ampo elétrio rotaional à variação. E, por fim, na lei de Ampère-Maxwell temos que um 5

6 distribuição de orrente ausa um ampo magnétio rotaional a essa distribuição ou uma variação de ampo elétrio induz um ampo magnétio rotaional a ele. Ainda sobre a lei de Ampère-Maxwell, é importante notar que na região que houver densidade de orrente de ondução não haverá orrente de desloamento, e na região que houver orrente de desloamento não há orrente de ondução, existindo, quando houver, apenas uma delas por vez. Com essas formas diferenias, podemos então utilizar a identidade vetorial. A = ( A) 2 A (35) e onsiderarmos que os ampos elétrio e magnétio estão no váuo, não há arga (ρ = 0), nem orrente (J = 0), portanto Como E = ( E) 2 E = 2 E (36) B = ( B) 2 B = 2 B (37) substituindo 38 em 36 e 39 em 37 E = B t B = µ 0 ε 0 t (38) (39) µ 0 ε 0 t = 2 E (40) B µ 0 ε 0 t = 2 B (41) Como os segundos membros de 40 e 41 são derivadas espaiais, podemos esrever µ 0 ε 0 E t = E x 2 (42) µ 0 ε 0 B t = B x 2 (43) Para uma onda senoidal que se propaga om veloidade v a equação orrespondente é 1 A v 2 t = A x. (44) 2 6

7 Figura 5: Onda eletromagnétia Portanto se ompararmos as equações 42 e 43 om 44, vemos que elas são tabém a equação de uma onda. Essa onda que se prograga sobre ampos elétrios e ampos magnétios é hamada de onda eletromagnétia. Possui veloidade v = 1 µ 0 ε 0 (45) no váuo. É a onstante onheida por veloidade da luz, popurlamente utilizamos a letra. 3.1 Espetro Eletromagnétio Como qualquer outra onda, também podemos definir algumas grandezas assoiadas, omo o omprimento de onda (λ) que a distânia entre duas ristas (ou dois vales). O período que é o tempo em que oorre um ilo de osilação ompleto, e a frequênia (f) que é o inverso do período, ou melhor, quantos ilos de osilação oorre em uma unidade de tempo. Para uma onda propagante, a veloidade v se relaiona om o omprimento de onda e om a frequênia na forma v = λf. (46) Assim, vemos que quanto maior a frequênia, menor será o omprimento de onda de uma onda que se propaga om veloidade onstante v. Essa relação de frequênia om omprimento de onda, nos fornee o hamado espetro eletromagnétio, que é omo se omporta, e qual apliação, de ada faixa de frequênia ou omprimento de uma onda eletromagnétia. O espetro eletromagnétio é a distribuição da intensidade da radiação eletromagnétia om relação ao seu omprimento de onda ou frequênia. 7

8 Figura 6: Espetro eletromagnétio As ondas eletromagnétias são muito onheidas e empregadas na iênia e na tenologia. ão ondas eletromagnétias: as ondas de rádio, as miro-ondas, a radiação infravermelha, os raios X e raios gama e a luz visível ao olho humano. Exeríios: Halliday 9ed ap 32: 1, 5, 13, Uma onda eletromagnétia perde intensidade ao entrar em alguns meios. Considerando que uma onda eletromagnétia perde muita intensidade ao entrar na água, justifique o fato do fundo do mar ser esuro. 2. Uma onda eletromagnétia neessita de um meio para se propagar? 3. Qual a ordem de grandeza do omprimento de onda e da frequênia da luz visível? 4. Uma onda de rádio se propaga no ar om frequênia de 100khz, qual o seu omprimento de onda? 8