Jason Alfredo Carlson Gallas

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1 Exeríios Resolvidos de Teoria Eletromagnétia Jason Alfredo Carlson Gallas Professor Titular de Físia Teória Doutor em Físia pela Universidade udwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Físia Matéria para a SEGUDA prova umeração onforme a quarta edição do livro Fundamentos de Físia, Halliday, Resnik e Walker Esta e outras listas enontram-se em http//wwwifufrgsbr/ jgallas Conteúdo 28 Corrente e Resistênia Questões Problemas e Exeríios Corrente elétria Densidade de orrente Resistênia e resistividade Energia e potênia em iruitos elétrios 6 Comentários/Sugestões e Erros favor enviar para ifufrgsbr (lista2tex) http//wwwifufrgsbr/ jgallas Página 1 de 7

2 ? 28 Corrente e Resistênia 281 Questões Q 28-1 o estado estaionário não pode existir nenhuma arga livre no interior da superfíie fehada Portanto, a taxa de variação da arga que entra (orrente que entra) deve ser exatamente igual à orrente que sai Ou seja, a integral de ao longo da superfíie externa do orpo é igual a ero Isto será sempre verdade, independentemente do número de ondutores que entram ou que saem da superfíie onsiderada Como a ei de Gauss também pode ser apliada no estado estaionário, onluímos que o fluxo elétrio também não pode variar através da superfíie externa do orpo Q Este aparente paradoxo possui solução trivial Voê não pode omparar situações diferentes, ou seja, voê deve espeifiar a(s) grandea(s) que permanee(m) onstante(s) em ada situação onreta Mantendo-se fixo, a potênia varia de aordo om a relação Mantendo-se fixo, a potênia varia de aordo om a relação Caso oorra uma variação simultânea de e de, a potênia só pode ser determinada mediante o álulo integral; neste aso, voê não poderá usar nenhuma das duas relações anteriores 282 Problemas e Exeríios 2821 Corrente elétria E 28-1 Uma orrente de A perorre um resistor de durante minutos (a) Quantos oulombs e (b) quantos elétrons passam através da seção transversal do resistor neste intervalo de tempo? (a) A arga que passa através de qualquer seção transversal é o produto da orrente e o tempo Como minutos orrespondem a "!# segundos, temos $%&(')*+! %,-!# C (b) O número de elétrons é dado por $"/10, onde 0 é a magnitude da arga de um elétron Portanto 23$ elétrons !# C8 59 ;<->=@?9A C8BDC> E E 28-3 Uma esfera ondutora isolada tem um raio de m Um fio transporta para dentro dela uma orrente de FG HH!H A Um outro fio transporta uma orrente de FG HH H A para fora da esfera Quanto tempo levaria para que o potenial da esfera sofresse um aumento de -H V? Suponha que a arga na esfera aumente de IE$ num tempo I+' Então neste tempo seu potenial aumenta de I JIE$ 5KH@MOP8, onde P é o raio da esfera Isto signifia que IE$%QH@MO@P)I Porém IE$4"5K entra R sai8sit' Portanto IT'U P#I entra R sai entra R sai 5VWX m8y59 H V8 5VZ[\ A F/m8]59 H H!H A R A8 W ;\ =_^ s 2822 Densidade de orrente E 28-5 Um feixe ontém!bt ` íons positivos duplamente arregados por m^, todos movendo-se para o norte om veloidade de a b m/s (a) Quais são o módulo, a direção e o sentido da densidade de orrente? (b) Podemos alular a orrente total neste feixe de íons? Em aso negativo, que informações adiionais são neessárias? (a) A magnitude da densidade de orrente é dada por &d@$ehf, onde d é o número de partíulas por unidade de volume, $ é a arga de ada partíula, e ehf é a veloidade de deriva das partíulas A onentração das partíulas é dg!hi ` m=j^kg!hil?nm m=_^ a arga é $;,!#0T,!W59 ;ow=p?7a C8qDrS!H;o>=@?9A C, e a veloidade de deriva é %\ b m/s Portanto 5V!E\?9m m=j^8y5srwt!e\ =@?9A C8#uG%<- bsv wx W A/m Como as partíulas estão arregadas positivamente, a densidade de orrente está na mesma direção do movimento para o norte http//wwwifufrgsbr/ jgallas Página 2 de 7

3 } e v v e (b) A orrente não pode ser alulada a menos que a área da seção transversal seja onheida Se o for, podemos determinar a orrente total usando a equação y % E 28-7 Um fusível num iruito elétrio é um fio ujo objetivo é derreter-se e, desta forma, interromper o iruito, aso a orrente exeda um valor predeterminado Suponha que o material que ompõe o fusível se derreta sempre que a densidade de orrente atingir A/m Qual o diâmetro do ondutor ilíndrio que deverá ser usado para restringir a orrente a S A? A magnitude da densidade de orrente é 3 { 5spP 8, onde P é o raio do fio Portanto P ~ Wt A [5K E\ m A/m 8 H Z+\ =m m O diâmetro é a!#p%arw ;<->=m m P Um feixe estaionário de partíulas alfa ($2ƒ!#0 ), desloando-se om energia inétia onstante de!h MeV, transporta uma orrente de S! A (a) Se o feixe for dirigido perpendiularmente ontra uma superfíie plana, quantas partíulas alfa atingirão a superfíie em r segundos? (b) um instante qualquer, quantas partíulas existem em!# m de omprimento do feixe? () Qual foi a diferença de potenial neessária para aelerar ada partíula alfa, a partir do repouso, levando-a a uma energia de!# MeV? (a) A orrente transportada é dada por )a!>t E>=j C/s Uma ve que ada partíula transporta uma arga igual a!#0, o número d de partíulas que atingem a superfíie em três segundos é dado por d '!H0 Wt!H+<->=jˆ4ir!E\H ;\ =@?9A *!> r#;<-? partíulas (b) Seja o número de partíulas existentes no omprimento Šg!H m do feixe A orrente é dada por $ '!H0!#0-ë e, portanto, Œ n!h0e Para determinar este valor de falta-nos apenas determinar a veloidade e Para tanto, note que a massa de uma partíula é dada por v Q, v Ž onde é a massa do próton Usando o fator de onversão do apêndie vž F para passar MeV para Joules, temos,5v!# 8]57H H!+\ =p?7^ 8! Expliitando e e substituindo os dados numérios, obtemos o seguinte resultado e;arw HZ )% m/s ote que nestes álulos usamos as fórmulas lássias; se voê desejar apliar as fórmulas relativístias, deverá onsultar o Capítulo 42 do livro-texto Substituindo este valor na expressão de aima, enontramos failmente () Como ŒaW T\ ^ partíulas no feixe a, o potenial soliitado é dado por!h 10!#0!#;\H HE\ =p?7^!e\h E<- =@?9A M Volts 2823 Resistênia e resistividade E Um fio ondutor tem diâmetro de mm, um omprimento de! m e uma resistênia de # Qual é a resistividade do material? A área da seção transversal é Q4P a[5swte\ =j^ m8 Portanto, a resistividade é E \ *C> T\ =_ m 5 #;\ =j^ q8]5 C> E<- =j m 8! m!e\ =_` m http//wwwifufrgsbr/ jgallas Página 3 de 7

4 r r Ÿ P P Ÿ Uma pessoa pode ser eletroutada se uma orrente tão pequena quanto # ma passar perto do seu oração Um eletriista que trabalha om as mãos suadas fa um bom ontato om os dois ondutores que está segurando Se a sua resistênia for igual a!hhh, de quanto será a voltagem fatal? Como a diferença de potenial e a orrente estão relaionadas por, onde é a resistênia do eletriista, a voltagem fatal é 5VH W=_^ A8]5V!HH 4q8, V E Uma bobina é formada por!hh voltas de um fio de obre n 16 (om diâmetro de H r mm) isolado numa únia amada de forma ilíndria, ujo raio mede -! m Determine a resistênia da bobina Despree a espessura do material isolante A resistênia da bobina é dada por {, onde o omprimento do fio, é a resistividade do obre, e é a área da seção transversal do fio Como ada volta do fio tem omprimento!pp, onde P é o raio da bobina,,5v! # 8Y5V!#pP8BD5V! # 8]5V!#š8]5VWX-! m8 D Wt m Sendo P o raio do fio, a área da sua seção transversal é,pp D 5VW [o->=j^ m8 H rhr o>=jˆ m Da Tabela 28-1 tiramos que a resistividade do obre é H HZE\W=_`œ m Portanto, finalmente, 57H HZE<- =j` Š m8y59- H Wt m8 H rhre\ =_ˆ m E *!> h Um fio uja resistênia é igual a \ é estiado de tal forma que seu novo omprimento é três vees seu omprimento iniial Supondo que não oorra variação na resistividade nem na densidade do material durante o proesso de estiamento, alule o valor da resistênia do fio estiado Como a massa e a densidade do material não mudam, seu volume também permanee o mesmo Se representar o omprimento original, o novo omprimento, a área original da seção transversal, e a área da 4a e r nova seção transversal, então A nova resistênia é r az az F onde é a resistênia original Portanto az;i&a#th P Dois ondutores são feitos do mesmo material e têm o mesmo omprimento O ondutor é um fio sólido e é um tudo oo tem mm de diâmetro O ondutor ž de diâmetro interno de mm e de diâmetro externo hÿ h de! mm Quanto vale a raão entre as resistênias medidas entre as suas extremidades? A resistênia do ondutor é dada por Ÿ pp Ÿ F onde P é o raio do ondutor Sendo P- e P- os raios interno e externo, respetivamente, do ondutor ž, temos para sua resistênia a equação 5KP R P A raão prourada é, portanto, P Ÿ R P 8 59H mm8 R 5VWt mm8 5VWt mm8 W C# Wt!H ars Quando uma diferença de potenial de H V é apliada através de um fio ujo omprimento mede m e ujo raio é de W r mm, a densidade de orrente é igual a % -#m A/m Determine a resistividade do ondutor Use, onde é a magnitude do ampo elétrio no fio, é a magnitude da densidade de orrente, e é a resistividade do material O ampo elétrio é dado por, onde é a diferença de potenial ao longo do fio e é o omprimento do fio Portanto 5s 8 e V 59- m8]57h [<- m A/m ) Wt!E<- =_m m http//wwwifufrgsbr/ jgallas Página 4 de 7

5 I I I I F R µ P Quando uma barra metália é aqueida, varia não só sua resistênia, mas também seu omprimento e a área de { sugere sua seção transversal A relação que todos os três fatores devem ser levados em onta na medida de em temperaturas diferentes (a) Quais são, para um ondutor de obre, as variações perentuais em, a quando a temperatura varia de grau entígrado (b) Que onlusões podemos tirar daí? O oefiiente de dilatação linear do obre é H C a->=_b por grau entígrado (a) Seja I+ a variação de temperatura e o oefiiente de expansão linear do obre š IT e IE Então, I+ª «I+ 59 tc+\ =_b 8q I+äD +\ =jb W HSCh Agora, omo sabemos que a área é proporional a, qualquer que seja o valor da onstante de proporionalidade, temos sempre que Como dada por 5 FGœF!H IE *! I+ g!«i+ œ 8, uma variação arbitrária de é I F R R % I+ I { Da relação obtemos failmente que Além disto, da Eq 28-16, pg 120, sabemos que I I+, onde é o oefiiente de temperatura da resistividade do obre que, segundo a Tabela 28-1, pg 119, é dado por & r;\w=_^ por grau Portanto IE R 5s R!y87I+ 5s R «87I+ 5sS r;<- =j^ R W WCT<- =_^ 8±< ² S l!# % S r4 (b) A mudança perentual na resistividade é muito maior que a mudança perentual no omprimento e na área Mudanças no omprimento e na área afetam a resistênia muito menos do que mudanças na resistividade P Um resistor tem a forma de um trono irular reto (Fig 28-20) Os raios da base são ³ e e a altura é Para uma inlinação sufiientemente pequena, podemos supor que a densidade de orrente é uniforme através de qualquer seção transversal (a) Calular a resistênia deste objeto (b) Mostre que sua resposta se redu a ] para o aso espeial ±g³ (a) Em ada seção do one irula uma mesma orrente, porém a densidade é diferente Chamando de µ a distânia a partir da fae superior do one, podemos expressar o ampo elétrio 5 µ 8 em ada seção em função da orrente e usá-lo para ahar a diferença de potenial total através do one Então, a resistênia será B Assumindo que a densidade de ada seção é uniforme podemos esrever [ pp, onde P é o raio da seção Sabemos ainda que 5 µ 8 Portanto, app 5 µ 8, de onde obtemos 5 µ 8 & 5KpP 8{ O raio P rese linearmente om a distânia µ, de P%a³ para µ ¹, até P<¹ para µ º Assim sendo, da equação da reta que passa por estes pontos, enontramos P>5 µ 8Bg³ R ³ que, realmente, para µ a fornee Pg³ enquanto que para µ 1 fornee PE, Substituindo este valor de P na expressão aima para o ampo temos 5 µ 8B ¹» ³ R ³ µs¼ = A diferença de potenial é então dada por R¾½o À» 5 µ 8) µ ³ R ³ µ ¼ = µ http//wwwifufrgsbr/ jgallas Página 5 de 7

6 ¼ F R ³» ³ R ³ R ³» ³ R R ³ R ³ µw¼ =p?>á ÁÁ Com isto tudo, segue failmente que a resistênia é (b) Para onde Â@³ é a área do ilindro ao qual o one se redu, oinidindo neste aso om a Eq da pag 119, omo era de se esperar 2824 Energia e potênia em iruitos elétrios E Um estudande deixou seu rádio portátil de Z V e C W ligado das Z horas às Y horas Que quantidade de arga passou através dele? A orrente que irulou no rádio era de C Z aw C Ampères Portanto, a quantidade de arga que passou através do radio em horas é $%Q(') E C Z 5V[ir HH segundos8 DY kcoulombs Um determinado tubo de raios-x opera na orrente de C ma e na diferença de potenial de kv Que potênia em Watts é dissipada? A potênia dissipada pelo tubo de raios-x é DQ E gc+\ =j^ \5V H;\ ^ 8 ghh W A taxa de dissipação de energia térmia num resistor é igual a W quando a orrente é de r A Qual é o valor da resistênia envolvida? Da fórmula ºJ obtemos que a resistênia envolvida é E H r 1 HXHqh Uma diferença de potenial de!# V é apliada a um aqueedor uja resistênia é de, quando quente (a) A que taxa a energia elétria é transformada em alor? (b) A entavos por kw h, quanto usta para operar esse dispositivo durante horas? (a) A taxa de transformação de energia elétria em alor é 1 -!H Y D-!H W ² kw (b) o usto de operação do dispositivo é Custo kw à horas entavos kw hora!h entavos P Um aqueedor de -!HH W é osntruido para operar sob uma tensão de H V (a) Qual será a orrente no aqueedor? (b) Qual é a resistênia da bobina de aqueimento? () Que quantidade de energia térmia é gerada pelo aqueedor em hora? (a) A orrente no aqueedor é y -! # H D-W C A (b) A resistênia da bobina de aqueimento é - S lc,s H hhä -!HH 59!H# -H8 - -! # S H hh () A quantidade de energia térmia gerada é,a*')d-! #Eir H 4aSt+<- ˆ J http//wwwifufrgsbr/ jgallas Página 6 de 7

7 0 w 0 P Um aqueedor de iromo dissipa # W quando a diferença de potenial apliada é de H- V e a temperatura do fio é H C Qual será o valor da potênia dissipada se a temperatura do fio for mantida em!#h C pela imersão num banho de óleo? A diferença de potenial permanee a mesma e o valor de para o iromo a HH C é [<->=_m C Seja a resistênia na temperatura mais alta ( H ) e seja a resistênia na temperatura mais baixa (!#H ) Como a ddp é a mesma para as duas temperaturas, a potênia dissipada na temperatura mais baixa é T- e, analogamente, T-# Mas h I+, onde I+äQ R R H Portanto P h I+ # 5s \ =_m 8]5 R H 8 IT Q H W Um aelerador linear produ um feixe pulsado de elétrons A orrente do pulso é de S A e a sua duração é de SÆ-E s (a) Quantos elétrons são aelerados por pulso? (b) Qual é a orrente média de uma máquina operando a # pulsos por segundo? () Se os elétrons forem aelerados até uma energia de # MeV, quais serão as potênias média e de pio desse aelerador? (a) A arga $ aelerada em ada pulso é dada por $Tg('B*WtEo5sWX W=_Ŷ8 1E >=j` C Portanto, o número de elétrons aelerados é $ š' 0 E\W=_` C H E<- =p?7a C rwx-! \?G? elétrons (b) A arga total que passa numa seção qualquer do feixe durante um intervalo de tempo Ç é 1ad@$Ç, onde d é o número de pulsos por unidade de tempo e $ é a arga em ada pulso Assim, a orrrente média nè por pulso é È Ç &d $4"5VHH =p? 8]5V[<- =_` C8 g! q A i () A voltagem aeleradora é 0, onde é a energia inétia final de um elétron Portanto # MeV a# M Volts Com isto, a potênia por pulso é 1Q -0 awte\5 #;\ ˆ 8 g! MWF que é a potênia de pio A potênia média por pulso (ie por segundo) é È Q È!H+\ =jˆ H;<- ˆ -! # W ² r kw http//wwwifufrgsbr/ jgallas Página 7 de 7