ANALYTICAL METHODS IN VIBRATION. Leonard Meirovitch Capitulo 1

Transcrição

1 ANALYTICAL METHODS IN VIBRATION Leonard Meirovith Capitulo

2 Comportamento de sistemas Um sistema é definido omo uma montagem de omponentes atuando omo um todo. Os omponentes são lassifiados e definidos de aordo om as suas propriedades físias. Um modelo matemátio é riado através das leis da meânia, respeitando o omportamento do sistema.

3 Modelos matemátios Sistemas disretos As propriedades físias dos omponentes do sistema são quantidades disretas. O omportamento do sistema é desrito por equações difereniais ordinárias.

4 Sistemas disretos Utilizando a segunda lei de Newton podemos desrever este sistema da seguinte forma : d² y( t) dy( t) m + + ky( t) = dt² dt F( t)

5 Sistemas ontínuos As propriedades físias dos omponentes do sistema são oordenadas espaiais. O omportamento do sistema é desrito por equações difereniais pariais e menos frequentemente por equações integrais.

6 Sistemas ontínuos No exemplo aima a massa m(x) é uma função da oordenada espaial x e também da rigidez EA(x). A força por unidade de omprimento f(x,t) e o desloamento y(x,t) são funções da oordenada espaial x e tempo t. ² ), ( ² ) ( ), ( ), ( ) ( t t x y x m t x f x t x y x EA x = +

7 Modelos matemátios Um sistema sob uma erta exitação tem um erto omportamento. Chamamos este omportamento de resposta do sistema. F ( t) = G[ y( t)]

8 Tipos de sistemas Sistemas lineares Para a resolução de sistemas lineares vale o teorema da superposição, e muitos métodos matemátios podem ser apliados Sistemas não lineares É uma teoria relativamente nova e o teorema da superposição não pode ser apliado, o que proíbe a utilização de muitos métodos matemátios.

9 Caraterístias dos sistemas lineares As variáveis dependentes do sistema são de grau zero ou um. Não existem produtos de variáveis dependentes O sistema é desrito por equações difereniais ordinárias.

10 Sistemas não lineares A maioria dos sistemas possuem não linearilidades, quando aumentado a sua amplitude de osilação. Muitas vezes podemos linearilizar um sistema não linear, trabalhando em uma determinada faixa do sistema (small motion assumption).

11 Teste de linearilidade F(t) = G[y(t)] F(t) = G[y(t)] F3(t) = F(t) + F(t) F3(t) = G[y3(t)] = G[y(t)] + G[y(t)] G[y+y] = G[y] + G[y]

12 3 3 3 ² 3 ² F ky dt dy dt y d m = + + ) ( ) ( ) ( ) ( ² ² F t F y y k y y dt d y y dt d m + = ² ² ² ² F F y k y k y dt d y dt d y dt d m y dt d m + = ) ² ² ( ) ² ² ( F F ky y dt d y dt d m ky y dt d y dt d m + = ] [ ] [ ] [ ] [ y G y G y G y G + = +

13 Tipos de exitação O método utilizado para solução de um sistema depende da natureza de sua exitação. A exitação pode ser : Determinístia O valor da exitação em qualquer instante é onheido. Não determinístia É impossível o onheimento exato do seu valor em qualquer instante.

14 Exitação determinístia A resposta de uma exitação determinístia é determinístia. Exitação periódia Podem ser representadas pelas séries de Fourier. X(t)=(t + T) Exitação não periódia Pode ser analisada omo uma função periódia de período infinito. Inrementa-se o período, aumentando ada vez mais as harmônias que irão partiipar da série. O limite da série de Fourier transforma-se em uma integral de Fourier.

15 Osilador harmônio Esta equação é não linear, porque : 3 5 sen θ = θ - θ θ Porem trabalhando om um ângulo pequeno, podemos linearilizar a equação, fazendo sen =, então, temos a equação diferenial do osilador harmônio. θ + g L θ = 0

16 Osilador harmônio g Da equação θ + θ = 0 L, obtemos a equação do movimento harmônio simples θ ( t ) = C os( ω t ϕ ) sendo que : f = ω π

17 Sistema amorteedor -massa-mola A maioria dos sistemas meânios são formados por estes omponentes. Estes omponentes são onstantes no tempo e as suas relações entre os terminais são lineares.

18 Sistema amorteedor -massa-mola

19 Sistema amorteedor -massa-mola F( t) x( t) kx( t) = m x( t)

20 Sistema amorteedor -massa-mola Sabendo que: ω ζ n m = n m k ω = ) ( ) ( t f k t F = Dividindo a equação do sistema por m e substituindo temos: ) ( ) ( ) ( ) ( t F m t x t x t x n n = + + ω ζω Considerando F(t)=0 vibração livre, sendo araterizada por uma equação diferenial homogênea

21 Sistema amorteedor -massa-mola x+ ζω n x+ ω x n = 0 (.6) A solução desta equação na forma x = Ae que substituindo na equação.6 resulta em : αt α + ζω α + ω n n = 0 α α = ζω + ω ζ n n = ζω ω ζ n n

22 Sistema amorteedor -massa-mola então α t α t x = Ae + A e onde : A e A são onstantes iniiais dependentes do desloamento e veloidade iniial do sistema.

23 Subamorteimento ζ < movimento osilatório ω = n ω ζ x = C e ζω os( d ) ω ϕ 0 d n t t

24 Superamorteimento ζ > movimento aperiódio x = e ζω t n ( B osh ζ ω t + B senh ζ ω t) n n

25 Amorteimento ritio ζ = = mω = r n km x = e ω n t

26 Resposta ao sistema Função de transferênia No sistema da fig.., o sistema sofria uma exitação F(t), tinha uma resposta x(t), que dependia das araterístias do sistema G(t). Se a resposta prourada fosse a veloidade ao invés do desloamento, a araterístia do sistema seria na forma de um operador diferenial-integral, que é a integral de G(t). Utilizando a transformada de Laplae a relação entre a exitação e a resposta será uma simples equação algébria. _ st ( s) = lx( t) = e x( t) dt 0 x

27 Resposta a exitação harmônia É geralmente produzida pelo desequilíbrio em máquinas rotativas. A exitação harmônia é menos freqüente que a exitação periódia ou de outros tipos.

28 Resposta a exitação harmônia A resposta partiular deste sistema será uma exitação permanente na mesma freqüênia ω da exitação. A solução da equação onsiste em duas partes. A função omplementar, que é a solução da equação homogênea e a integral partiular. A solução para a equação diferenial é: Onde X é a amplitude de osilação e é a fase do desloamento om relação a força de exitação.

29 Resposta a exitação harmônia No movimento harmônio ss fases de veloidade e aeleração são desloados 90 e 80 graus alem do desloamento. Os termos da equação diferenial podem ser apresentados grafiamente, omo : Deste diagrama onluímos que :

30 Resposta a exitação harmônia Podemos esrever as equações anteriores da forma : Sabendo que :

31 Resposta a exitação harmônia As expressões não dimensionais para ângulo e fase, tornamse então Eq Eq Pode-se onluir que a amplitude não dimensional e a fase são funções somente da razão de freqüênias ω /ω n e do fator de amorteimento. O fator de amorteimento tem uma grande influênia no ângulo de fase e na amplitude, na zona de freqüênias próximas a ressonânia.

32 Resposta a exitação harmônia

33 Resposta a exitação harmônia XK = F 0 H ( ω) Fator de ampliação O maior valor de H( ω) é enontrado igualando a equação 3.-7 a 0, e difereniando em relação a ω.

34 Resposta a exitação harmônia Tanto a inéria quanto as forças de amorteimento são pequenas para valores de ω /ω n muito menores que, do que resulta um pequeno ângulo de fase. A magnitude da força apliada é então aproximadamente igual a força da mola, omo se observa na figura abaixo.

35 Resposta a exitação harmônia Para ω / ω n =, o ângulo de fase é 90 graus. A força de inéria que é maior agora é equilibrada pela força da mola, ao passo que a força apliada supera a força de amorteimento. O valor da amplitude de ressonânia pode ser obtido pela equação abaixo.

36 Resposta a exitação harmônia Para valores de ω / ω n >>, se aproxima de 80 graus e a força apliada é gasta quase que inteiramente para vener a grande força da inéria.

37 Resposta a exitação harmônia Se nos interessa somente a amplitude da vibração, o valor médio quadrátio pode nos forneer esta amplitude. O valor médio quadrátio da resposta em um valor T é definido omo : Trabalhando esta equação temos :

38 Resposta a exitação harmônia Eq.85 A razão entre a saída quadrátia média e a entrada quadrátia média onverge para o valor absoluto da resposta de freqüênia H( ) a medida que o intervalo de integração aumenta indefinidamente.

39 Resposta a exitação periódia Considerando f(t) periódia de período T. Se a freqüênia fundamental é ω 0 = π /T todas as outras freqüênias são múltiplas ω p = pω 0. Então a função periódia pode ser representada pela série de Fourier da forma omplexa : Onde o oefiiente omplexo C P ontem informações relaionadas ao ângulo de fase das varias harmônias.

40 Resposta a exitação periódia A mesma função periódia f(t), aso seu valor médio seja 0, pode ser representada pela parte real de: Onde novamente o ângulo de fase está ontido no oefiiente omplexo A P. Na pratia é neessário um número finito de termos para uma boa aproximação de f(t).

41 Resposta a exitação periódia A resposta harmônia estável do sistema mma, transforma-se em : Onde, Se estivermos interessados somente nas amplitudes do sistema, alulamos a exitação média quadrátia e a resposta média quadrátia.

42 Resposta a exitação periódia A exitação média quadrátia é :

43 Resposta a exitação periódia Da mesma forma, alulamos a resposta média quadrátia estabilizada

44 Resposta a exitação periódia A ontribuição de ada omponente de freqüênia para a exitação média quadrátia e a resposta média quadrátia pode ser visualizado por um espetro de densidade, definido por: Onde a primeira é o espetro de densidade de exitação e a segunda o da resposta

45 Resposta a exitação periódia

46 Resposta a exitação não periódia Podemos onsiderar uma função não periódia, omo uma função periódia om período infinito, assim a série de Fourier transforma-se em uma integral de Fourier. Consideremos uma função periódia de período T omo na figura abaixo:

47 Resposta a exitação não periódia Onde os oefiientes são simplesmente A resposta para esta exitação é Fazendo

48 Resposta a exitação não periódia e trabalhando as equações.97 e.98, temos Fazendo T, substituindo a soma por uma integral e retirando p, ( ω ω) p

49 Resposta a exitação não periódia Onde.0 representa a integral de Fourier de f(t) e F(ω) é a transformada de Fourier de f(t), portanto em resumo : representam o par da transformada de Fourier e F(ω) pode ser onsiderado omo o espetro de densidade de exitação ontínua e F(ω) d ω omo a ontribuição das harmônias no intervalo de freqüênia ω até ω +dω para a exitação f(t).

50 Resposta a exitação não periódia O mesmo pode ser feito para a representação da integral de Fourier a qual é o *equivalente* de (.99) para funções periódias. O par da transformada de Fourier para a resposta é : onluindo que

51 Resposta a exitação não periódia Isto signifia que a transformada de Fourier da resposta é o produto da transformada de Fourier da exitação e a resposta de freqüênia omplexa.