II. REVISÃO DE FUNDAMENTOS

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1 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA-AERONÁUTICA MPS-43: SISTEMAS DE CONTROLE II. REVISÃO DE FUNDAMENTOS Prof. Davi Antônio dos Santos Departamento de Mecatrônica Março/2017 São José dos Campos

2 MPS-43: Sistemas de Controle 2 Sumário II. REVISÃO DE FUNDAMENTOS II.1.1. Definições II.1.2. Propriedades II.1.3. Transformada Inversa de Laplace II.1.4. Solução de EDOs Lineares e Invariantes no Tempo II.2. Resposta Impulso e Função de Transferência

3 MPS-43: Sistemas de Controle 3 Sumário II.3. Linearização II.3.1. Expansão em Série de Taylor II.3.2. Realimentação II.4. Diagrama de Blocos II.5. Grafo de Fluxo de Sinais

4 MPS-43: Sistemas de Controle 4 II.1.1. Definições Seja F uma função da variável complexa s. Defina: 1. Função analítica: Uma função F(s) é analítica numa região do plano complexo se F(s) e todas as suas derivadas existirem nessa região. 2. Ponto ordinário: É um ponto s no qual F(s) é analítica. 3. Ponto singular: É um ponto s no qual F(s) não é analítica. 4. Polo: É um ponto singular no qual F(s). 5. Zero: É um ponto s no qual F s = 0.

5 MPS-43: Sistemas de Controle 5 Por que a Teoria Clássica de Controle utiliza a Transformada de Laplace, mas não a Transformada de Fourier?

6 MPS-43: Sistemas de Controle 6 Transformada de Fourier: A transformada de Fourier da função f(t) é e existe se I f t = F(ω) f t e jωt dt (1) f t for seccionalmente contínua em todo intervalo finito contido em t < e f t dt convergir. (2)

7 MPS-43: Sistemas de Controle 7 Da definição acima, identificam-se as seguintes inadequações da transformada de Fourier a problemas de controle: 1. as funções temporais que aparecem em sistemas de controle são sempre tais que f t = 0, t < t 0 0, de forma que o limite inferior da integral em (1) poderia ser nulo; 2. a condição dada pela equação (2) falha para várias funções de interesse em controle, como o degrau e a rampa.

8 MPS-43: Sistemas de Controle 8 Transformada de Laplace: A transformada de Laplace da função f(t) é onde s = σ + jω. L f t = F(s) f t e st dt 0 (3) A integral em (3) converge se f t é seccionalmente contínua em todo intervalo finito contido em 0 t < e lim t f t e σt = 0, para algum σ R. (4)

9 MPS-43: Sistemas de Controle 9 Nota-se que, diferentemente da transformada de Fourier, o limite inferior da integral em (3) é nulo; a condição de convergência dada pela equação (4) é satisfeita para as funções degrau e rampa, σ > 0, pois: lim t 1e σt = 0, σ > 0, Im(s) Região de Convergência lim t te σt = 0, σ > 0. 0 Re(s)

10 MPS-43: Sistemas de Controle 10 Percebe-se que a região de convergência da transformada de Laplace é do tipo: s = σ + jω C: σ > σ c, em que o limiar σ c é a abcissa de convergência. Im(s) Região de Convergência 0 σ c Re(s)

11 MPS-43: Sistemas de Controle 11 Observação 1: A rigor, o limite inferior da integral em (3) deveria ser 0, pois: donde L f t f t e st dt, 0 L + f t f t e st dt, L f t = f t e st dt + L + f t. 0 Não se anula se f(t) tiver um impulso em t = 0.

12 MPS-43: Sistemas de Controle 12 Exemplo 1: Obtenha a transformada de Laplace (TL) e a abcissa de convergência da funcão degrau unitário: f t = 1(t) 0, t < 0 1, t 0

13 MPS-43: Sistemas de Controle 13 Teorema da Extensão (Continuação) Analítica: Se duas funções complexas são iguais ao longo de um arco finito numa região em que ambas são analíticas, então elas são iguais em qualquer lugar dessa região.

14 MPS-43: Sistemas de Controle 14 Exemplo: F 1 s = 1 s, σ > σ c = 0 F 2 s = 1 s, σ R {0} Como F 1 e F 2 são iguais em qualquer intervalo finito do eixo real positivo, conclui-se que F 1 e F 2 são iguais em todo o eixo real, exceto no ponto de singularidade s = 0.

15 MPS-43: Sistemas de Controle 15 Exemplo 2: Obtenha a TL e a abcissa de convergência da função exponencial: f t = 0, t < 0 Ae αt, t 0

16 MPS-43: Sistemas de Controle 16 Exemplo 3: Obtenha a TL e a abcissa de convergência da função exponencial: f t = 0, t < 0 A 1 e α 1t + A 2 e α 2t, t 0

17 MPS-43: Sistemas de Controle 17 Exemplo 4: Obtenha a TL da função rampa unitária: f t = 0, t < 0 t, t 0

18 MPS-43: Sistemas de Controle 18 Exemplo 5: Obtenha a TL da função parábola unitária: f t = 0, t < 0 t 2 2, t 0

19 MPS-43: Sistemas de Controle 19 Exemplo 6: Obtenha a TL da função seno: f t = 0, t < 0 sin ωt, t 0

20 MPS-43: Sistemas de Controle 20 Exemplo 7: Obtenha a TL da função cosseno: f t = 0, t < 0 cos ωt, t 0

21 MPS-43: Sistemas de Controle 21 II.1.2. Propriedades Superposição: L α 1 f 1 t ± α 2 f 2 t = α 1 L f 1 t ± α 2 L f 2 t Derivação: L f (n) t = s n F s s n 1 f 0 s n 2 f 1 0 s 0 f (n 1) 0 df t L = sf s f 0 dt Integração: t L f τ dτ 0 = F s s

22 MPS-43: Sistemas de Controle 22 Deslocamento no Tempo: L f t τ 1 t τ = F s e sτ Deslocamento em s: L e αt f t = F s α Convolução Real: L f 1 t f 2 t = L f 1 t L f 2 t Teorema do Valor Inicial: lim f t = t 0 lim sf s s

23 MPS-43: Sistemas de Controle 23 Teorema do Valor Final: Se sf(s) não contém nunhum polo com parte real maior ou igual a zero: lim f t = t lim sf s s 0 Exemplos: Calcule o valor final de f: 1. F s = 5 s s 2 +s+2 2. F s = ω s 2 +ω 2

24 MPS-43: Sistemas de Controle 24 II.1.3. Transformada Inversa de Laplace A transformada inversa de Laplace da função F(s) é L 1 F s = 1 2πj σ+j F s e st ds σ j, t > 0, (5) onde σ R, que define o caminho de integração, deve ser escolhido maior que as partes reais de todos os polos de F(s). Im(s) σ Região de Convergência Re(s)

25 MPS-43: Sistemas de Controle 25 Cálculo da transformada inversa de Laplace por expansão em frações parciais: Seja a seguinte função racional: F s = Q(s) P(s) = sm +b m 1 s m 1 +b m 2 s m 2 + +b 1 s+b 0 s n +a n 1 s n 1 +a n 2 s n 2 + +a 1 s+a 0, m < n. (6) Para calcular a transformada inversa f t = L 1 F s, seguiremos o procedimento: expandir F s em franções parciais; obter as transformadas dos termos da expansão; e somar os termos transformados.

26 MPS-43: Sistemas de Controle 26 Polos Reais Distintos: A função F s = Q s s + p 1 s + p 2 s + p n pode ser expandida como com resíduos dados por A i = F s = A 1 s + p 1 + A 2 s + p A n s + p n lim s + p i F s, i = 1,2,, n. s p i

27 MPS-43: Sistemas de Controle 27 Exemplo (Kuo): Usando a expansão em frações parciais, calcule a transformada inversa de F(s): F s = 5s + 3 s + 1 s + 2 s + 3

28 MPS-43: Sistemas de Controle 28 Polos Complexos Conjugados: A função F s = Q s s 2 + a 1 s + a 0 pode ser expandida como com resíduos dados por F s = A s + p + A s + p, A = lim s p s + p F s

29 MPS-43: Sistemas de Controle 29 Exemplo (Kuo): Usando a expansão em frações parciais, calcule a transformada inversa de F(s): F s = ω n 2 s 2 + 2ζω n s + ω n 2

30 MPS-43: Sistemas de Controle 30 Polos Reais Repetidos: A função Q s F s = s + p k s + p 1 s + p n k pode ser expandida como F s = A 1 s + p 1 + A 2 s + p B 1 s + p + B 2 s + p A n k s + p n k B k s + p k

31 MPS-43: Sistemas de Controle 31 com resíduos dados por A i = B k i = 1 i! lim s p lim s + p i F s, i = 1, 2,, n k. s p i d i ds i s + p k F s, i = 0, 1,, k 1.

32 MPS-43: Sistemas de Controle 32 Exemplo (Kuo): Usando a expansão em frações parciais, calcule a transformada inversa de F(s): 1 F s = s s s + 2

33 MPS-43: Sistemas de Controle 33 II.1.4. Solução de EDOs Lineares e Invariantes no Tempo y (n) + a n 1 y (n 1) + a n 2 y (n 2) + a 1 y 1 + a 0 y = u t C.I. y t 0 = y 0 y (1) t 0 = y (1) 0 y (2) t 0 = y 0 (2) y (n 1) t 0 = y 0 (n 1)

34 MPS-43: Sistemas de Controle 34 Procedimento: 1. Transforme a EDO para o domínio s 2. Manipule a equação algébrica resultante de forma a isolar Y(s) 3. Expanda Y(s) em frações parciais 4. Aplique a transformada inversa de Laplace y(t)

35 MPS-43: Sistemas de Controle 35 Exemplo: Usando o método da transforma de Laplace, resolva a seguinte EDO: y + 3y + 2y = c 1 t y 0 y 0 = a = b

36 MPS-43: Sistemas de Controle 36 Vantagens do método: 1. A transformada de Laplace converte a equação diferencial numa equação algébrica fácil de manipular. 2. Fornece a solução completa (homogênea + particular) numa única operação.

37 MPS-43: Sistemas de Controle 37 II.2. Resposta Impulso e Função de Transferência Seja o sistema modelado por y (n) + a n 1 y (n 1) + a n 2 y (n 2) + a 1 y 1 + a 0 y = u, (7) com condições iniciais nulas. Aplicando a transformada de Laplace em (7), obtém-se Y(s) U(s) = 1 (8) s n + a n 1 s n 1 + a n 2 s n a 1 s + a 0 onde Y s L y t U s L u t A relação (8) também caracteriza o sistema modelado por (7), pois dada uma entrada U(s), ela permite prever a saída Y(s).

38 MPS-43: Sistemas de Controle 38 II.2. Resposta Impulso e Função de Transferência Função de Transferência: É definida como a razão entre as transformadas de Laplace da saída e da entrada, considerando que o sistema tenha condições iniciais nulas: G(s) Y(s) U(s) (9)

39 MPS-43: Sistemas de Controle 39 II.2. Resposta Impulso e Função de Transferência Definições Relacionadas à Função de Transferência: Seja a função de transferência: G s = sm + b m 1 s m 1 + b m 2 s m b 1 s + b 0 s n + a n 1 s n 1 + a n 2 s n a 1 s + a 0. G(s) pode ser classificada como: 1. Estritamente própria: n > m 2. Própria: n = m 3. Imprópria: n < m

40 MPS-43: Sistemas de Controle 40 II.2. Resposta Impulso e Função de Transferência Outras definições importantes: 1. Polinômio característico: s = s n + a n a 1 s + a 0 2. Equação característica: s = 0

41 MPS-43: Sistemas de Controle 41 II.2. Resposta Impulso e Função de Transferência Resposta impulso: Seja um sistema modelado por G s = Y(s) U(s). Para uma entrada do tipo impulso unitário, e, portanto, nesse caso, u t = δ(t) U(s) = 1 Y s = G(s) Tomando a transformada inversa de (10), obtém-se y t = L 1 G s (10) (11)

42 MPS-43: Sistemas de Controle 42 II.2. Resposta Impulso e Função de Transferência Pode-se então definir a resposta impulso do sistema: g t L 1 G s considerando condições iniciais nulas. Seja novamente a relação G s = Y(s) U(s) Isolando Y(s) e aplicando a transformada inversa, (12) y t = g t u(t) Ou seja, a saída do sistema é a convolução de sua resposta impulso com sua entrada.

43 MPS-43: Sistemas de Controle 43 II.3. Linearização II.3.1. Expansão em Série de Taylor Função escalar de uma variável: Seja f: R R uma função não linear diferenciável. Sua expansão em série de Taylor em torno de x é f x = f x + df dx x x x + 1 d 2 f 2! dx 2 x x x 2 + δx

44 MPS-43: Sistemas de Controle 44 II.3. Linearização Função vetorial de várias variáveis: Seja f: R n R m uma função não linear diferenciável. Sua expansão em série de Taylor em torno de x é f x = f x + x f x x x δxt x 2 f x δx + δx Jacobiana Hessiana

45 MPS-43: Sistemas de Controle 45 II.3. Linearização Ideia da linearização por série de Taylor: Dada uma EDO não linear, sua linearização por série de Taylor consiste em aproximar cada um de seus termos não lineares pela correspondente série de Taylor truncada após o seu termo de primeira ordem.

46 MPS-43: Sistemas de Controle 46 II.3. Linearização Exemplo 1: Seja uma planta não linear modelada por: y + α sin y = βu, onde u R é a entrada, y R é a saída, e α e β são parâmetros. Usando o método da expansão em série de Taylor, linearize o modelo acima em torno do ponto de referência y(t) = y (cte).

47 MPS-43: Sistemas de Controle 47 II.3. Linearização Exemplo 2: Seja uma planta não linear modelada por: x = f(x, u), onde u R r é a entrada, x R n é a saída, e f: R n R r R n é uma função não linear diferenciável. Usando o método da expansão em série de Taylor, linearize o modelo acima em torno da trajetória de referência x t = x t (variante no tempo).

48 MPS-43: Sistemas de Controle 48 II.3. Linearização Exemplo 3: Seja a planta não linear modelada por: x 1 = x 2 x 2 = α sin x 1 + βu onde u R é a entrada, x 1 R são as saídas, e α e β são parâmetros. Usando o método da expansão em série de Taylor, linearize o modelo acima em torno da trajetória de referência x 1 t = x 1 t (variante no tempo; diferenciável).

49 MPS-43: Sistemas de Controle 49 II.3. Linearização II.3.2. Realimentação Seja o sistema modelado por x = f x, u, onde u R r é a entrada, x R n é a saída, e f é uma função vetorial não linear. Ideia da linearização por realimentação: A linearização por realimentação consiste em estabelecer uma lei de realimentação do tipo u = g(x) que cancele as não linearidades de f.

50 MPS-43: Sistemas de Controle 50 II.3. Linearização Exemplo 1: Seja a planta não linear modelada por: x = f x + βu, onde u R é a entrada, x R é a saída, e β é um parâmetro. Usando o método de linearização por realimentação, linearize o modelo acima.

51 MPS-43: Sistemas de Controle 51 II.3. Linearização Exemplo 2: Seja a planta não linear modelada por: y + α sin y = βu, onde u R é a entrada, y R é a saída, e α e β são parâmetros. Usando o método de linearização por realimentação, linearize o modelo acima.

52 MPS-43: Sistemas de Controle 52 II.4. Diagrama de Blocos O que é? O Diagrama de Blocos (DB) é uma representação das funções dos componentes do sistema, bem como do fluxo de sinais entre eles. As funções podem ser representadas por: 1. Uma descrição 2. Um modelo matemático (geralmente, em função de transferência).

53 MPS-43: Sistemas de Controle 53 II.4. Diagrama de Blocos Componentes: Bloco: Ramo: Junção: Ponto de Soma: Descrição ou Modelo + + representa uma função do sistema representa o fluxo de sinais

54 MPS-43: Sistemas de Controle 54 II.4. Diagrama de Blocos Diagrama de blocos com descrições: r + e u y Controlador Atuador Planta y Sensor

55 MPS-43: Sistemas de Controle 55 II.4. Diagrama de Blocos Diagrama de blocos com modelos matemáticos: - Comando - Referência - Set Point R(s) + - Saída - Variável Manipulada - Saída Controlada - Erro de Controle - Sinal de Controle - Variável Controlada E(s) U(s) Y(s) C(s) Y s -Variável Realimentada H(s) Nesse caso, a relação entre a saída e a entrada de um bloco é a própria função de transferência que representa a sua função. Por exemplo: U s E s = C s Y s U s G(s) = G s

56 MPS-43: Sistemas de Controle 56 II.4. Diagrama de Blocos No decorrer do curso, as seguintes funções de transferências serão frequentemente mencionadas: Função de Transferência de Percurso Direto: C s G s Função de Transferêcia de Malha (Aberta): C s G s H s Função de Transferência de Malha Fechada: Y s /R s

57 MPS-43: Sistemas de Controle 57 II.4. Diagrama de Blocos Exemplos: 1. Controle de quadricóptero

58 MPS-43: Sistemas de Controle 58 II.4. Diagrama de Blocos 2. Controle tolerante a falhas

59 MPS-43: Sistemas de Controle 59 II.4. Diagrama de Blocos 3. Controle de um servomecanismo K ω Θ r + E 1 + K 1 K 2 E 2 E 3 + K E a 1 R a + L a s I a K t T m 1 B + Js Ω m s Θ m N Θ o K 4 K 5

60 MPS-43: Sistemas de Controle 60 II.4. Diagrama de Blocos Exercício: No DB do Exemplo 3, deduza a função de transferência de malha fechada: M s = Θ o s Θ r s

61 MPS-43: Sistemas de Controle 61 II.5. Grafo de Fluxo de Sinais O que é? O Grafo de Fluxo de Sinais (GFS) é uma representação em forma de grafo direcionado para o diagrama de blocos de um sistema com componentes lineares representados por equações algébricas. Componentes: Nó Ramo representa uma variável do sistema representa um ganho/ft entre duas variáveis do sistema

62 MPS-43: Sistemas de Controle 62 II.5. Grafo de Fluxo de Sinais Exemplo: Sistema de controle com uma única malha R s + E s C s U s G s Y s H s R s E s U s Y s 1 C(s) G(s) H(s)

63 MPS-43: Sistemas de Controle 63 II.5. Grafo de Fluxo de Sinais Exercício: Obtenha o GFS correspondente ao seguinte DB: K ω Θ r + E 1 + K 1 K 2 E 2 E 3 + K E a 1 R a + L a s I a K t T m 1 B + Js Ω m s Θ m N Θ o K 4 K 5

64 MPS-43: Sistemas de Controle 64 II.5. Grafo de Fluxo de Sinais Fórmula de Mason: Seja um GFS contendo um nó de entrada Y i e um nó de saída Y o. O ganho/ft entre Y i e Y o pode ser calculado por: Y o Y i = 1 Δ N k=1 P k Δ k, onde: N: Número de caminhos diretos entre Y i e Y o P k : Ganho do caminho direto k...

65 MPS-43: Sistemas de Controle 65 II.5. Grafo de Fluxo de Sinais... Δ = 1 (soma dos ganhos das malhas individuais) + (soma dos produtos dois a dois dos ganhos das malhas que não se tocam) (soma dos produtos três a três dos ganhos das malhas que não se tocam) +... Δ k : É calculado como o Δ, mas considerando apenas as malhas que não tocam no caminho direto k

66 MPS-43: Sistemas de Controle 66 II.5. Grafo de Fluxo de Sinais Exemplo: Usando a fórmula de Mason, obtenha a função de transferência de malha fechada M s = Θ o s Θ r s do sistema de controle de servomecanismo tratado no exercício do slide 59.

67 MPS-43: Sistemas de Controle 67 Obrigado pela presença e atenção!