SISTEMAS REALIMENTADOS

Transcrição

1 SISTEMAS REALIMENTADOS Prof.: Helder Roberto de O. Rocha Engenheiro Eletricista Doutorado em Computação

2 Representação no Espaço de Estados É apropriada para sistemas que possuem várias entradas e várias saídas. Estado: É o menor conjunto de variáveis (variáveis de estado) tais que o conhecimento destas variáveis em t = t 0 juntamente com o conhecimento da entrada para t > t 0, determina completamente o comportamento do sistema para qualquer instante t t 0. 2

3 Representação no Espaço de Estados 3

4 Representação no Espaço de Estados 4

5 Representação no Espaço de Estados Exemplo: Obtenha a representação no espaço de estados do sistema abaixo. 5

6 Representação no Espaço de Estados SOLUÇÃO: Σ forças = 0 u(t) = ky(t) +m +b O sistema é de segunda ordem. Para a representação no espaço de estados usa-se equações de primeira ordem. Assim, fazendo: (t) = y(t) (t) = 6

7 Representação no Espaço de Estados 7

8 Representação no Espaço de Estados 8

9 Representação no Espaço de Estados 9

10 Representação no Espaço de Estados 10

11 Representação no Espaço de Estados 11

12 Representação no Espaço de Estados 12

13 Representação no Espaço de Estados Exemplo: Um sistema de controle é modelado e representado pela seguinte equação diferencial: 13

14 Representação no Espaço de Estados 14

15 Representação no Espaço de Estados 15

16 Representação no Espaço de Estados 16

17 Representação no Espaço de Estados 17

18 Representação no Espaço de Estados Exemplo: Um sistema é descrito por duas equações diferenciais: 18

19 Representação no Espaço de Estados 19

20 Representação no Espaço de Estados 20

21 Controlabilidade de Estados Um sistema é controlável no instante t 0 se for possível transferir por meio de um vetor de controle o sistema de qualquer estado inicial x(t 0 ) para qualquer outro estado em um intervalo de tempo finito. Uma maneira de verificar se um sistema pode ser controlável é desenhar o diagrama de fluxo de sinais do sistema e verificar se existe um percurso entre o sinal de controle, u(t), e cada uma das variáveis de estado. 21

22 Controlabilidade de Estados Se todo estado do sistema for controlável, então o sistema será considerado de estado completamente controlável. A controlabilidade completa é determinada de várias maneiras: Do posto (ou rank) da matriz de controlabilidade completa de estados. Ou seja, um sistema será de estado completamente controlável se e somente se a matriz de controlabilidade completa de estados, tiver posto n. 22

23 Controlabilidade de Estados Se os autovetores de A são distintos, então o sistema é de estado completamente controlável. Uma matriz A com todos os autovalores distintos possui também seusautovetores distintos, mas a recíproca não é verdadeira. Se a matriz P -1 B tiver pelo menos uma linha nula, então a variável correspondente a essa linha não pode ser controlada por nenhuma das entradas, portanto, o sistema não será de estado completamente controlável. 23

24 Controlabilidade de Saida Num projeto de controle, pode-se desejar controlar a saída. A controlabilidade completa não é necessária nem suficiente para controlar a saída do sistema. Um sistema será de saída controlável se for possível construir um vetor de controle de entrada u(t) não limitado que transfira qualquer saída inicial, y(t 0 ), para qualquer saída final y(t 1 ), em um intervalo de tempo finito t0 t t1, ou seja, a matriz de controlabilidade de saída tem que ter posto m. 24

25 Observabilidade de Estados Um sistema é observável no instante t 0 se, com o sistema no estado x(t 0 ), for possível determinar esse estado a partir da observação da saída durante um intervalo de tempo finito. Uma maneira de verificar a observabilidade é desenhar o diagrama de fluxo de sinais do sistema e verificar se existe um percurso entre cada uma das variáveis de estado e o sinal de saída, y(t). 25

26 Observabilidade de Estados Se todo estado do sistema puder ser determinado pela observação da saída durante um intervalo de tempo finito, então o sistema será considerado observável. A observabilidade completa é determinada através: Do posto da matriz de observabilidade, ou seja um sistema será de estado completamente observável se, tiver posto n. 26

27 Observabilidade de Estados Se a matriz tiver pelo menos uma coluna nula, então a variável de estado correspondente a essa coluna não vai aparecer na equação de saída, logo não podendo ser determinada pela observação de y(t), portanto, o sistema não será de estado completamente observável. Se ocorrerem cancelamentos de pólos e zeros na função de transferência, ou na matriz de transferência, então o sistema não será de estado completamente observável. 27

28 Princípio da Dualidade 28

29 Representação no Espaço de Estados Exemplo: Verifique se o sistema abaixo é de saída completamente controlável e de estado completamente observável. 29

30 Representação no Espaço de Estados 30

31 Representação no Espaço de Estados 31

32 Representação no Espaço de Estados Exemplo: Verifique se o sistema abaixo é de estado completamente observável. 32

33 Representação no Espaço de Estados 33

34 Representação no Espaço de Estados 34

35 Representação de Funções de Transferência 35

36 Representação de Funções de Transferência 36

37 Representação de Funções de Transferência 37

38 Representação de Funções de Transferência 38

39 Representação de Funções de Transferência 39

40 Representação de Funções de Transferência 40

41 Representação de Funções de Transferência Exemplo: Represente no espaço de estados a FT, V 0 (s) /I(s), do circuito abaixo. 41

42 Representação de Funções de Transferência 42

43 Representação de Funções de Transferência 43

44 Representação de Funções de Transferência 44

45 Representação de Funções de Transferência 45

46 Representação de Funções de Transferência Exemplo: Dado o sistema abaixo: 46

47 Representação de Funções de Transferência 47

48 Representação de Funções de Transferência 48

49 Representação de Funções de Transferência 49

50 Transformação de Modelos de Sistemas 50

51 Representação no Espaço de Estados 51

52 Transformação de Modelos de Sistemas 52

53 Transformação de Modelos de Sistemas 53

54 Transformação de Modelos de Sistemas 54

55 Equação Característica 55

56 Transformação de Modelos Usando Matlab FT para Espaço de Estado 56

57 Transformação de Modelos Usando Matlab FT para Espaço de Estado 57

58 Transformação de Modelos Usando Matlab Espaço de Estado para a FT 58

59 Transformação de Modelos Usando Matlab Espaço de Estado para a FT 59

60 Transformação de Modelos Usando Matlab Espaço de Estado para a FT 60