Condições de Equilíbrio de Vôo. Linearização.

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1 Introdução ao Controle Automático de Aeronaves Condições de Equilíbrio de Vôo Linearização Leonardo Tôrres Escola de Engenharia Universidade Federal de Minas Gerais/EEUFMG Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 1

2 Condições de Equilíbrio de Vôo Para um sistema dinâmico não linear qualquer, x = f( x, u); onde x R n, u R p ; é importante conhecer as condições em que o sistema se encontra em equilíbrio, isto é, em que situações, para entradas u constantes, seus estados permanecem fixos em seus valores iniciais: Condições de equilíbrio x 0 = x eq e u 0 = u eq e, portanto, x = 0 f( x eq, u eq ) = 0 Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 2

3 Condições de Equilíbrio de Vôo Para o caso do movimento longitudinal de uma aeronave, ignorando-se o efeito de ventos, tem-se: V T = 1 M [F T cos(α+α T ) D] g 0 sen(θ α) 1 α = [ F MV T sen(α+α T ) L]+ 1 g T V 0 cos(θ α)+q; T θ = Q; Q = M J y ; Ḣ = V T sen(θ α); e lembrando que L = L(V T,ρ,α,δ elev,), D = D(V T,ρ,α,δ elev,), M = M(V T,ρ,α,δ elev,δ th,) e F T = F T (δ th,v T,ρ,); podemos escrever: x = V T α θ Q e u = δ elev δ th H Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 3

4 Condições de Equilíbrio de Vôo Encontrar as condições de equilíbrio, para o movimento longitudinal, significa buscar os valores x eq, para uma dada entrada u eq, tais que: 0 = 1 M 0 = [ F eq T cos(αeq +α T ) D eq] g 0 sen(θ eq α eq ) [ F eq T sen(αeq +α T ) L eq] + 1 V eq T 1 MV eq T 0 = Q eq ; 0 = M eq J y ; 0 = V eq T sen(θ eq α eq ); g 0 cos(θ eq α eq )+Q eq ; Como V eq T 0 (o avião não está parado na pista!), da última equação deduz-se que: γ eq = θ eq α eq = 0 θ eq = α eq (1) Da 3 a equação, deduz-se que: Q eq = 0 (2) Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 4

5 Condições de Equilíbrio de Vôo Além disso, da 4 a equação, tem-se que o momento total de arfagem deve se anular na condição de equilíbrio: isto é, M eq = M ( V eq T,H eq,α eq,δ eq elev M eq = 0; (3) eq),δth = 0 Da 1 a equação, conclui-se que a força de tração para frente deve se equilibrar com o arrasto produzido: F eq T cos(αeq +α T ) = D eq ; (4) E a partir da 2 a equação, conclui-se que a força total para cima deve se equilibrar com a força peso da aeronave: Mg 0 = F eq T sen(αeq +α T )+L eq (5) Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 5

6 Condições de Equilíbrio de Vôo No caso do movimento longitudinal, podemos imaginar o seguinte problema prático: Dadas a altitudeh eq e a velocidadev eq T, encontre o ângulo de arfagemθ eq, e os comandos de profundor δ eq elev e de tração δeq th que permitem que o avião voe em linha reta (altitude constante) e com asas niveladas No problema acima, os estados V eq T, Qeq e H eq já são conhecidos E como θ eq = α eq, é preciso determinar somente mais o estado θ eq, além de duas entradas de comando Portanto, há 3 variáveis a determinar e 3 equações não lineares: (3), (4) e (5); a serem satisfeitas Usar métodos de otimização! Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 6

7 Condições de Equilíbrio de Vôo Inicio Estimativa inicial x(0),u(0) k = 0 Calcula xdot = f(x(k),u(k)) Como podem ser obtidas numericamente, via MATLAB: 1 Desenhar o diagrama de simulação do sistema, incluindo símbolos de input xdot < eps sim Fim Ok ports e output ports para marcar as entradas e as saídas, respectivamente nao Algoritmo de busca (diferentes metodos): x(k+1) = x(k) + dx u(k+1) = u(k) + du k = k+1 k >= N nao sim Fim Nao Ok 2 Usar a função trim do MATLAB: essa função irá executar procedimento semelhante ao algoritmo mostrado no fluxograma ao lado Os estados e as entradas serão variados até que se encontrem x eq, u eq tais que f( x eq, u eq ) < eps 0 Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 7

8 Estabilidade em torno do Equilíbrio Em Eng Aeronáutica há 2 tipos de estabilidade: Estabilidade Estática 1 Estaticamente Estável: uma pequena alteração na condição de equilíbrio conduz a uma imediata tendência a retornar para a condição de equilíbrio Isto é, as forças e momentos surgem com direções e sentidos que apontam para o retorno à condição de equilíbrio 2 Estabilidade Neutra: uma pequena alteração na condição de equilíbrio permanece indefinidamente 3 Estaticamente Instável: uma pequena alteração na condição de equilíbrio produz forças e momentos com direções e sentidos que impedem o retorno à condição de equilíbrio, causando divergência Estabilidade Dinâmica (comportamento dinâmico linear local) 1 Estável: autovalores (pólos) no semi-plano esquerdo do plano complexo 2 Marginalmente Estável: autovalores simples com parte real nula 3 Instável: existência de autovalores com parte real positiva, ou autovalores de multiplicidade > 1 e parte real nula Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 8

9 Estabilidade em torno do Equilíbrio L L L D cg cg D cg D Instável estaticamente (cg traseiro) Estabilidade Neutra Estável estaticamente (cg dianteiro) Instabilidade Estática Instabilidade Dinâmica Estabilidade Estática Estabilidade Dinâmica Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 9

10 Comportamento Linear Local Para determinar a estabilidade dinâmica de uma aeronave, para uma dada condição de equilíbrio, é preciso analisar o Comportamento Linear Local O que é isto? Resp: É o comportamento dinâmico das variáveis de estado, ao longo do tempo, após uma pequena perturbação em torno da condição de equilíbrio Exemplo: sabendo que para δ eq elev (0) = 12,3o, θ eq = 2,3 o, como evoluirá θ(t), ao longo do tempo, para uma mudança em degrau no comando de profundor tal que δ elev (t) = 13,3 o, para t > 0? Como podemos analisar o comportamento linear local? Resp: Através da linearização das equações do sistema dinâmico em torno da condição de equilíbrio Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 10

11 Análise Dinâmica via Linearização x = f( x, u); x = x x eq ; u = u u eq ; d dt ( x) = d dt ( x xeq ) = d dt ( x) = f( x eq, u eq )+ [ ] [ ] f f + x+ u+ x x eq ; u eq u x eq ; u eq Como, por definição, f( x eq, u eq ) = 0, tem-se que: sendo A = d dt ( x) A( x)+b( u) [ f x ] x eq ; u eq e B = [ f u ] x eq ; u eq Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 11

12 Análise Dinâmica via Linearização De forma semelhante, supondo que as variáveis medidas y do sistema, obedecem a: y = h( x, u); e que y eq = h( x eq, u eq ), podemos escrever: y = y y eq ; { [ ] [ ] } h h = h( x eq, u eq )+ x+ u+ y eq x x eq ; u eq u x eq ; u eq Portanto, sendo C = y C( x)+d( u) [ ] [ ] h x e D = h x eq ; u eq u x eq ; u eq Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 12

13 Linearização Numérica Usando o diagrama de simulação implementado para um dado sistema dinâmico, com entradas, estados e saídas, é possível obter as matrizes A, B, C e D numericamente Basta seguir os passos abaixo: 1 Encontrar as condições de equilíbrio x eq e u eq do sistema 2 Mantendo x = x eq e u = u eq, tome a variável de estado j, j = 1,2,3,,n, e perturbe-a de ± x j, tal que: x+ x = x eq 1 x eq 2 x eq j ± x j x eq j+1 x n f( x+ x, u eq ) = f 1 ( x eq + x, u eq ) f 2 ( x eq + x, u eq ) f j ( x eq + x, u eq ) f j+1 ( x eq + x, u eq ) f n ( x eq + x, u eq ) Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 13

14 Linearização Numérica 3 A coluna j da matriz A poderá ser então obtida, usando o conceito de aproximação de derivadas por diferença finita, isto é: f 1 / x j f 2 / x j f j / x j f n / x j (f 1 ( x eq + x, u eq ) f 1 ( x eq, u eq ))/ x j (f 2 ( x eq + x, u eq ) f 2 ( x eq, u eq ))/ x j (f j ( x eq + x, u eq ) f j ( x eq, u eq ))/ x j (f n ( x eq + x, u eq ) f n ( x eq, u eq ))/ x j Como f i ( x eq, u eq ) = 0, i = 1,2,,n, a derivada parcial da função f i ( ) em relação a x j pode ser aproximada por: f i x j f i( x eq + x, u eq ) x j Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 14

15 Evolução do Desvio x(t) Combinando as expressões anteriores, podemos escrever de maneira compacta: d ( x) A( x)+b( u), dt y C( x) + D( u) Observe que se partirmos da condição de equilíbrio x(0) = x eq, a condição inicial do sistema linear acima será x(0) = 0 De maneira geral, a solução do sistema linear pode ser obtida como: t 0 x(t) = e At ( x(0))+ t 0 e A(t τ) B( u(τ))dτ que mostra como o desvio x evoluirá ao longo do tempo, devido a variação u da entrada, em torno da entrada de equilíbrio Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 15

16 Evolução do Desvio y(t) As variações y das saídas serão, para t 0: y(t) = C x(t)+d u, y(t) = Ce At ( x(0))+c t 0 ea(t τ) B( u(τ))dτ +D( u(t)) Portanto, as matrizes A, B, C e D determinarão unicamente o comportamento dinâmico linear local do desvio de uma dada condição de equilíbrio Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 16