Tutorial de Introdução ao Matlab

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1 Tutorial de Introdução ao Matlab 2012 Neste breve tutorial os comandos de Matlab serão apresentados dentro de caixas para facilitar sua visualização. comando do Matlab 1 Janelas do Matlab Uma breve descrição das janelas do Matlab: command window: janela na qual são colocadas linhas de comando e na qual são apresentados os resultados e as mensagens de erro. Se quisermos limpar a janela command window devemos comandar clc ; janela do Editor: janela na qual são feitas as m-files, arquivos que possuem extensão.m. Uma m-file pode ser simplesmente uma sequencia de linhas de comando, formando assim um roteiro; ou então pode ser uma função, que será vista mais adiante; workspace: janela que mostra todas as variáveis existentes. Se quisermos apagar todas as variáveis do workspace devemos comandar clear all ; command history: janela que exibe a sequencia dos comandos que foram executados na command window. Para não ter que digitar novamente comandos executados anteriormente clique para cima na command window; 1

2 current folder: janela que mostra todo o conteúdo presente na pasta selecionada no toolbar current folder. 2 Criando um escalar x = 0.2 guarda o valor escalar 0,2 na variável x; deve-se utilizar o ponto decimal no lugar da vírgula; para que o matlab não repita o valor da variável na command window acrescente um ponto-vírgula no final (exemplo: x = 0.2;); o nome de uma variável pode ser composto por várias letras e números, iniciando sempre com uma letra (exemplo: variavelx1 = 0.2) 3 Criando um vetor linha Existem diversas maneiras de criar vetores linha, a seguir: 3.1 especificando cada elemento x = [1 2 3] ou x = [1,2,3] cria um vetor linha com os valores especificados; cada elemento pode ser separado por espaço ou por vírgula; pode-se utilizar valores de variáveis, por exemplo: ou então: a = 1; b = 2; c = 3; x = [a,b,c]; a = 1; b = [2,3]; x = [a,b]; 2

3 3.2 colon operator x = x1:step:xn cria um vetor linha com elementos linearmente espaçados e o guarda na variável x; o primeiro elemento terá o valor da variável x1 ; o último elemento terá o valor da variável xn ; o valor dos elementos terá um passo de valor step ; as variáveis x1, step e xn devem ser criadas anteriormente. 3.3 comando linspace x = linspace(x1,xn,n) cria um vetor linha com elementos linearmente espaçados; o primeiro elemento terá o valor da variável x1 ; o último elemento terá o valor da variável xn ; o vetor linha terá um total de n elementos. 4 criando um vetor coluna x = [1;2;3] as linhas são separadas por ponto-vírgula (;); também pode-se aplicar a operação transaposta( ) à um vetor linha: x = [1,2,3] 3

4 5 lendo o comprimento de um vetor - comando length n = length(x) retorna o número de elementos de um vetor linha ou coluna x. 6 selecionando elementos de um vetor 6.1 o i-ésimo elemento de um vetor ielem = x(i) seleciona o i-ésimo elemento do vetor linha ou coluna x. 6.2 o último o elemento do vetor ultimoelem = x(end) seleciona o último elemento do vetor linha ou coluna x. 6.3 uma parte do vetor iaoiaelem = x(i:i+a) seleciona a parte do vetor que vai do i-ésimo ao (i+a)-ésimo elemento do vetor linha ou coluna x. 7 criando uma matriz 7.1 especificando cada elemento cria a seguinte matriz: A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] A =

5 7.2 comando ones A = ones(m,n) constrói uma matriz de unitários com m linhas e n colunas. 7.3 comando zeros A = zeros(m,n) constrói uma matriz de zeros com m linhas e n colunas. 7.4 comando diag A = diag([1,2,3]) constrói uma matriz diagonal com os elementos 1, 2 e 3 na diagonal principal. 8 lendo as dimensões de uma matriz - comando size [nl,nc] = size(a) retorna os valores do número de linhas e do número de colunas; neste exemplo esses valores são colocados nas variáveis nl e nc respectivamente. 9 selecionando o elemento (i,j) da matriz ijelem = A(i,j) seleciona o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz A. 5

6 10 criando funções Uma função possui a seguinte estrutura: function output = NomeDaFuncao(input). % cálculos intermediários output =...; % cálculo final o valor da entrada é colocado na variável local input; a função retorna o valor que estiver na variável local output; input e output podem ter mais de uma dimensão; quando criamos uma m-file para uma função, devemos salvá-la com o mesmo nome da função, exemplo: NomeDaFuncao.m; a função é chamada pelo NomeDaFuncao, como no exemplo de roteiro a seguir: x = 0.2; y = NomeDaFuncao(x); Neste exemplo, o valor do output retornado pela função foi colocado na variável y Exemplo: polar de arrasto function CD = PolarArrasto(CL,CD0,k1,k) CD = CD0 + k1*cl + k*cl^2; Como os valores dos inputs e do output são colocados em variáveis locais, note que a função PolarArrasto também poderia ser assim: function y = PolarArrasto(x,a0,a1,a2) y = a0 + a1*x + a2*x^2; Um exemplo de roteiro que utiliza a função PolarArrasto: CD0 = 0.01; k1 = 0; k = 0.02; CL = 0.5; CD = PolarArrasto(CL,CD0,k1,k); 6

7 Também podemos colocar os valores dos parâmetros CD0, k1 e k em um vetor parampolar: CD0 = 0.01; k1 = 0; k = 0.02; parampolar = [CD0,k1,k]; Então a função PolarArrasto tomará a seguinte forma: function CD = PolarArrasto(CL,paramPolar) CD0 = parampolar(1); k1 = parampolar(2); k = parampolar(3); CD = CD0 + k1*cl + k*cl^2; Ao armazenar muitos valores em um vetor linha deve-se tomar cuidado para não confundir a ordem dos parâmetros. Para contornar este problema podemos utilizar uma structure ao invés do vetor linha. 11 structures Dados de vários tipos podem ser agrupados em uma structure : escalares, vetores, matrizes etc Exemplo: structure Os valores de referência (nível do mar) da atmosfera padrão (ISA) são: H 0 = 0m T 0 = 288,15K g 0 = 9,80665m/s 2 ρ 0 = 1,225kg/m 3 L = 6, K/m R = 287,053m 2 /s 2 -K Vamos agrupar todos esses valores na variável paramatm, do tipo structure : 7

8 paramatm.h0 = 0; paramatm.t0 = ; paramatm.g0 = ; paramatm.rho0 = 1.225; paramatm.l = -6.5*10^(-3); paramatm.r = ; Para utilizar o valor de R basta fazermos: R = paramatm.r 12 if - else Estrutura do if - else: if estrutura lógica. else. end Na estrutura lógica podemos utilizar operadores relacionais e operadores lógicos. Exemplos de operadores relacionais: igual (==), diferente ( =), maior (>), maior ou igual (>=), menor (<), menor ou igual (<=). Exemplos de operadores relacionais: e (&), ou ( ) Exemplo: função temperatura Iremos trabalhar até metros de altitude, e a função temperatura da atmosfera padrão correspondente é dada por: { T0 +L(H H T(H) = 0 ) se H m cte = T(11000) se < H < m onde: H 0 = 0 m; T 0 = 288,15 K; L = 6, K/m; Um exemplo de função temperatura em matlab: 8

9 function T = temperatura(h,paramatm) T0 = paramatm.t0; L = paramatm.l; H0 = paramatm.h0; if H <= T = T0 + L*(H-H0); else T = temperatura(11000,paramatm); end 12.2 Exemplo: função densidade Até metros de altitude a função densidade da atmosfera padrão é dada por: ρ(h) = { ρ0 (T(H)/T 0 ) (1+g 0/(R.L)) se H m ρ(11000)e ( g 0(H 11000)/(R.T(11000))) se < H < m onde: g 0 = 9,80665 m/s 2 ; T 0 = 288,15 K; ρ 0 = 1,225 kg/m 3 ; L = 6, K/m; R = 287,053 m 2 /s 2 -K Um exemplo de função densidade em matlab: function rho = densidade(h,paramatm) rho0 = paramatm.rho0; T0 = paramatm.t0; g0 = paramatm.g0; R = paramatm.r; L = paramatm.l; if H <= rho = rho0*(temperatura(h,paramatm)/t0)^-(1+g0/(r*l)); else rho = densidade(11e3,paramatm)*exp(-g0*(h-11e3)... /(R*temperatura(11e3,paramAtm))); end 9

10 13 for Estrutura do for: for k = kinicial:passo:kfinal. end a variável k inicial com o valor kinicial; em cada iteração o valor de k é aumentado de um passo; as iterações são terminam quando a variável k atinge o valor kfinal Exercício: plotar Utilize as funções temperatura e densidade e a função plot do matlab para plotar os gráficos de T H e ρ H. 14 Problema de valor inicial Muitos modelos em engenharia são matematicamente expressos na forma de um sistema de n equações diferenciais ordinárias: ẏ 1 (t) = f 1 (t,y 1 (t),y 2 (t),...,y n (t)) ẏ 2 (t) = f 2 (t,y 1 (t),y 2 (t),...,y n (t)). ẏ n (t) = f n (t,y 1 (t),y 2 (t),...,y n (t)) ou simplesmente: ẏy(t) = f (t,y(t)) onde t I R, y N R n e f : I N R n. Resolver um problema de valor inicial (PVI) significa encontrar a função y : I N que satifaz a equação diferencial ẏy(t) = f (t,y(t)) e também satisfaz a uma condição inicial y(t = t i ) = y i 10

11 O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece uma importante conexão entre as equações diferenciais e as intregrais, dentro de algumas condições (vide mat-12): y(t f ) = x(t i )+ tf t i f (s,y(s))ds Repare que para realizar essa integral é preciso conhecer: a função dinâmica f (t,y(t)); a condição inicial y i ; e o intervalo de integração [t i t f ]. Nem sempre é possível resolver um PVI analiticamente. Nesses casos podemos recorrer a algoritmos já implementados no Matlab, como por exemplo o ode ode45 Para utilizar o ode45 devemos comandar: sol = ode45(@f,[ti tf],yi,options,parametros) o nome da função dinâmica (f), deve ser prefixada pelo arroba (@); em seguida devemos fornecer o tempo inicial ti e o tempo final tf em um vetor [ti tf]; depois vem a condição inicial yi; em options, podemos ajustar parâmetros do algoritmo de integração como, por exemplo, tolerância absoluta, tolerância relativa, etc...(vide odeset no help). Se não quisermos modificar a configuração padrão podemos deixar este campo vazio escrevendo []; e por último colocamos os parametros que queremos levar para dentro da função dinâmica. A função dinâmica deve ter a seguinte estrutura: function doty = f(t,y,parametros). % cálculos intermediários doty = [doty1; doty2;...; dotyn]; 11

12 O resultado numérico ficará guardado na estrutura sol. Para extrair o vetor tempo escolhido pelo ode45 comanda-se: T = sol.x; Este vetor T possui a seguinte forma: T = [ t i t 2 t 3... t f ] E para extrair a solução associada a este vetor tempo comanda-se: Y = sol.y; Note que Y é uma matriz e que possui a seguinte forma: y 1 (t i ) y 1 (t 2 ) y 1 (t 3 )... y 1 (t f ) y 2 (t i ) y 2 (t 2 ) y 2 (t 3 )... y 2 (t f ) Y =.... y n (t i ) y n (t 2 ) y n (t 3 )... y n (t f ) 14.2 comando deval Também pode ser útil criar um outro vetor tempo diferente de sol.x e calcular a matriz Y correspondente. Para isso utiliza-se o comando deval: T = linspace(ti,tf,n) Y = deval(sol,t) Um exemplo de aplicação é na criação de filmes, que consistem em uma sequencia de frames com uma taxa constante resultado direto Uma forma de colocar os resultados fornecido pelo ode45 diretamente em T e Y: [T,Y] = ode45(@f,[ti tf],yi,options,parametros) Porém a matriz Y terá outra disposição: y 1 (t i ) y 2 (t i )... y n (t i ) y 1 (t 2 ) y 2 (t 2 )... y n (t 2 ) Y = y 1 (t 3 ) y 2 (t 3 )... y n (t 3 ).... y 1 (t f ) y 2 (t f )... y n (t f ) 12

13 14.4 Exemplo: Atrator Caótico de Lorenz As equações de Lorenz resultam da simplificação de modelos de convecção atmosférica, e são descritas pelo sistema de equações diferenciais ordinárias a seguir: ẏ 1 = σ(y 2 y 1 ) ẏ 2 = y 1 (ρ y 3 ) y 2 ẏ 3 = y 1 y 2 βy 3 Note que trata-se de um sistema dinâmico tri-dimensional, não linear e determinístico. A função dinâmica em matlab: function doty = LorenzDinam(t,y,parametros) sigma = parametros.sigma; r = parametros.r; b = parametros.b; doty1 = sigma*(y(2) - y(1)); doty2 = y(1)*(r - y(3))-y(2); doty3 = y(1)*y(2) - b*y(3); doty = [ doty1; doty2; doty3]; Um roteiro para fazer uma simulação das equações de Lorenz: parametros.sigma = 10; parametros.r = 28; parametros.b = 8/3; tf = 25; yi = [5;5;15]; sol = ode45(@lorenzdinam,[0 tf],yi,[],parametros); T = 0:0.01:tf; Y = deval(sol,t); 15 plotagem 15.1 plot Para visualizar a trajetória de cada um dos estados podemos usar o comando plot: 13

14 figure plot(t,y(1,:)) xlabel( tempo ),ylabel( y1 ) figure plot(t,y(2,:)) xlabel( tempo ),ylabel( y2 ) figure plot(t,y(3,:)) xlabel( tempo ),ylabel( y3 ) Também podemos colocar várias trajetórias em um mesmo plot. No roteiro a seguir são feitas duas simulações das equações de Lorenz, com a diferença que o estado inicial da segunda simulação possui um incremento de 1e 5 em y 1 : parametros.sigma = 10; parametros.r = 28; parametros.b = 8/3; tf = 25; yia = [5;5;15]; yib = yia + [1e-5;0;0]; sola = ode45(@lorenzdinam,[0 tf],yia,[],parametros); solb = ode45(@lorenzdinam,[0 tf],yib,[],parametros); T = 0:0.01:tf; YA = deval(sola,t); YB = deval(solb,t); figure plot(t,ya(1,:),t,yb(1,:)) xlabel( tempo ),ylabel( y1 ) legend( simulacao A, simulacao B ) figure plot(t,ya(2,:),t,yb(2,:)) xlabel( tempo ),ylabel( y2 ) legend( simulacao A, simulacao B ) figure plot(t,ya(3,:),t,yb(3,:)) xlabel( tempo ),ylabel( y3 ) legend( simulacao A, simulacao B ) 14

15 15.2 subplot Se quisermos colocar vários gráficos numa mesma figura podemos usar o comando subplot antes de cada plot: subplot(linhas,colunas,numero) onde linhas é o número total de linhas da figura, colunas é o número total de colunas e numero é o número do gráfico na figura. Por exemplo, se quisermos colocar os três gráficos da simulação das equações de Lorenz em uma figura, dispostos em três linhas e uma coluna: figure subplot(311),plot(t,ya(1,:),t,yb(1,:)) xlabel( tempo ),ylabel( y1 ) legend( simulacao A, simulacao B ) subplot(312),plot(t,ya(2,:),t,yb(2,:)) xlabel( tempo ),ylabel( y2 ) legend( simulacao A, simulacao B ) subplot(313),plot(t,ya(3,:),t,yb(3,:)) xlabel( tempo ),ylabel( y3 ) legend( simulacao A, simulacao B ) 15.3 plot3 Para a visualização de uma linha tri-dimensional podemos usar o comando plot3. Ainda no exemplo das equações de Lorenz teremos: figure plot3(ya(1,:),ya(2:),ya(3,:)) xlabel( y1 ), ylabel( y2 ), zlabel( y3 ) 16 avião modelo ponto-massa longitudinal Neste exemplo vamos simular a dinâmica de uma aeronave. O movimento será restrito apenas ao plano vertical, também chamado de longitudinal, em termos práticos a aeronave não faz curvas. As equações são derivadas nas aulas teóricas e correspondem a um modelo ponto-massa da aeronave. Isso significa que derivam da segunda lei de Newton para translação apenas, a 15

16 segunda lei de Newton para rotação é ignorada e os efeitos de rotação são considerados instantâneos. m V = F cos(α+α F ) D mgsinγ mv γ = F sin(α+α F )+L mgcosγ Ḣ = V sinγ ẋ t = V cosγ onde: V é a velocidade aerodinâmica; γ é o ângulo de trajetória; α é o ângulo de ataque; forças aerodinâmicos: sustentação aerodinâmica: L = 0.5ρV 2 S ref C L arrasto aerodinâmico: D = 0.5ρV 2 S ref C D onde: C L é o coeficiente adimensional de sustentação; C D é o coeficiente adimensional de arrasto; ρ é a densidade atmosférica; S ref é a área de referência usada na adimensionalização; modelo linear do coeficiente de sustentação: C L = C L0 +C Lα α onde C Lα é uma derivada de estabilidade; obs: as derivadas de estabilidade são funções do número de Mach e do número de Reynolds modelo parabólico do coeficiente de arrasto: C D = C D0 +K 1 C L +KC 2 L obs: os coeficientes da polar de arrasto também são funções do número de Mach e do número de Reynolds. 16

17 modelo da força propulsiva: F = δmf maxi ( V V i ) nv ( ρ ρ i ) nρ ; onde: δm é a deflexão da manete do motor (0 δm 1); F maxi, V i e ρ i são valores de referêcia do modelo propulsivo. estados e controles: x = V γ H x o, u = [ δm α Para uma aeronave tipo Airbus 320, cruzando a metros de altitude com velocidade aerodinâmica de 210 m/s: 16.1 exercicio m = ; S ref = 260; C L0 = 0; C Lα = 4.982; C D0 = ; K 1 = 0; K = 0.06; α F = 1π/180; n V = 0; n ρ = 0.75; F maxi = ; V i = 100; ρ i = 1.225; Faça uma simulação da aeronave com controles α = 5 graus e δm = 0.5. Repare que a velocidade, o ângulo de trajetória e a altitude apresentam um movimento oscilatório, também conhecido como fugoidal. Neste movimento há uma troca oscilatória de energia potencial e energia cinética, há dissipação pela força de arrasto e há trabalho da força propulsiva. 17 fsolve Intuitivamente, um ponto de equilíbrio é uma condição em que não há tendencia de alteração do movimento ao longo do tempo. Colocar a aeronave em um ponto inicial de equilíbrio significa encontrar os valores dos estados e controles tais que a aeronave continuaria voando sem as oscilações apresentadas na simulação anterior. Para isso é necessário que as derivadas dos estados V, γ e H sejam nulas. Assim, temos que encontrar a solução para o sistema de equações não lineares: ] 17

18 0 = F cos(α+α F ) D mgsinγ 0 = F sin(α+α F )+L mgcosγ 0 = V sinγ Repare que a terceira equação é satisfeita para V = 0 ou sinγ = 0. Como não se trata de um voo pairado ficamos com sinγ = 0, que implica em γ = 0. Assim o nosso sistema é reduzindo para duas equações não lineares: 18 Trabalho 0 = F cos(α+α F ) D mgsinγ 0 = F sin(α+α F )+L mgcosγ Utilize o comando fsolve para realizar esta tarefa. Se o aluno já estiver familiarizado com qualquer outro algoritmo que substitua o fsolve pode utilizá-lo dicas Lembre-se que para resolver um sistema de duas equações precisamos usar duas variáveis. Como a velocidade e a altitude de cruzeiro são dados de entrada do problema, e γ deve ser zero para que Ḣ seja nulo, sobraramapenasas variáveis de controleδm eαpara resolver o sistema de duas equações. veja os exemplos do help. Quem não tem o help completo instalado visite o site: não deixe para última hora! Envie já suas dúvidas para morales@ita.br 18.2 data de entrega segunda-feira, 2 de abril de