Modelos Variáveis de Estado

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1 Modelos Variáveis de Estado Introdução; Variáveis de Estados de Sistemas Dinâmicos; Equação Diferencial de Estado; Função de Transferência a partir das Equações de Estados; Resposta no Domínio do Tempo e Matriz de Transição de Estados; Discretização da Resposta no domínio do Tempo; Exemplo de Projetos; Analise de Modelos de Variáveis de Estados usando MATLAB

2 Variáveis de Estado de Sistemas Dinâmicos Tendência dos sistemas modernos aumento de sua complexidade Principalmente devido a necessidade de uma boa precisão As variáveis de estado descrevem a resposta futura de um sistema, dado o estado presente, as excitações de entrada e as equações que descrevem a dinâmica Variáveis de Estado: É o menor conjunto de variáveis que determina o estado de um sistema dinâmico Se pelo menos n variáveis ( χ( t), χ( t), χn( t) ) são necessárias para descrever completamente o comportamento de um sistema dinâmico, então estas n variáveis são um conjunto de variáveis de estado Modelo de Variáveis de Estado É um conjunto de equações diferenciais de a ordem na forma matricial, representando as relações entre as entradas e saídas, e algumas características internas do sistema É possível enviar para dentro do modelo mais informações a cerca da planta, pois o sistema pode ter mais de uma entrada; Vários modelos de variáveis de estado podem ser obtidos para um mesmo sistema, depende da escolha das variáveis de estado; As teorias de controle moderno são desenvolvidas para esta abordagem; A simulação de sistemas geralmente necessita de modelo de variáveis de estado

3 Variáveis de Estado de Sistemas Dinâmicos As técnicas no domínio do tempo podem ser usadas para sistemas não-lineares, variantes no tempo e multivariáveis; Um sistemas variante no tempo é um sistema para o qual um ou mais parâmetros do sistema podem variar em função do tempo; O domínio do tempo é o domínio matemático que incorpora a resposta e a descrição de um sistema em termos do tempo, t A representação de sistemas de controle no domínio do tempo constitui uma das bases da teoria de controle moderno e da otimização de sistemas Um sistema de equações diferenciais descreve o comportamento do sistema em termos da taxa de variação de cada uma das variáveis de estado 3

4 Equação Diferencial de Estado O Estado de um sistema é descrito por meio de um sistema de equações diferenciais de primeira ordem em termos das variáveis de estados Vetor de Estado = a x a x K a x b u K b u n n m m = a x a x K a x b u K b u M n n m m = a x a x K a x b u K b u n n n nn n n nm m Forma Matricial x a a K an x b b m u x a a a d n x K K = dt M M M M M K M M bn b nm u m xn an an ann x K K n x x x = M x n Equação Diferencial de Estado = Ax Bu Equação de Saída y = Cx Du 4

5 Circuito RLC Variáveis de Estados: x = tensão no capacitor v c (t) x =corrente no Indutor i L( t) Energia Armazenada no Circuito: Lei de Kirchhoff: Li L Cv c Ε = dvc ic = C = u( t) il dt dil L RiL vc dt = v = Ri ( t) o L 5

6 Equaçao Diferencial de Estado A partir da equações do sistema se obtem duas equações diferenciais de primeira ordem em termos das variáveis de estado x e x dx = x u ( t ) Forma Matricial: C = x dt C C C u( t) R dx R = x x L L dt L L y( t) = v ( t) = Rx y = R x o A solução da equação diferencial de estado pode ser obtida de modo semelhante a abordagem utilizada para resolver uma equação diferencial de primeira ordem ( t) = Ax( t) Bu( t) sx ( s) x() = ax ( s) bu ( s) x() b X ( s) = U ( s) s a s a [ ] Onde x(t) e u(t) são funções escalares do tempo 6

7 Equação Diferencial de Estado A transformada de Laplace inversa, resulta na solução: Forma Matricial t at a( t τ ) ( ) () ( ) x t e x e bu τ dτ = k k At A t A t e = exp( At) = I At K K! k! x( t) = exp( At) x() exp[ A( t τ )] Bu( τ ) dτ ( ) = [ ] () [ ] ( ) X s si A x si A BU s t x( t) = Φ ( t) x() Φ( t τ )] Bu( τ ) dτ t x ( t) φ ( t) φ ( t) K φ n( t) x () x( t) φ( t) φ( t) φn ( t) x() K = M M K M M x ( t) φ ( t) φ ( t) K φ ( t) x () n n n nn n 7

8 Forma Padrão de Representação do Modelo de VE de um Sistema Onde: x(t) Vetor de Estado; u(t) Vetor de Entrada; y(t) Vetor de Saída ( t) = A x( t) B u( t) y( t) = C x( t) D u( t) Equação de Estado Equação de Saída A Matrix de Estado; B Matrix de Entrada; C Matrix de Saída; D Matrix de Transmissão direta 8

9 OBTENÇÃO DO MODELO DE ESTADO DE UM SISTEMA A PARTIR DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Y ( s ) ( ) b s b s = G s = b U ( s) s a s a s a 3 ( x ( s) ) Seja: Definindo-se: sx s x s x ( s) ( ) = ( ) y( t) = b x ( t) b x ( t) b x ( t) 3 ( t) = x ( t) ( t) = x 3( t) ( t) = a x ( t) a x ( t) a x ( t) µ ( t) 3 3 Y ( s) = bs x( s) bsx ( s) b x ( s) U ( s s a s ( a s a x s 3 ) = x ( s) x s) x ( s) ( ) s x ( s) = sx ( s) = x ( s) 3 Aplicando-se a transformação inversa de Laplace, resulta em : e, 9

10 OBTENÇÃO DO MODELO DE ESTADO DE UM SISTEMA A PARTIR DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Y ( s ) ( ) b s b s = G s = b U ( s) s a s a s a 3 ( t) x ( t) ( t) = x ( t) µ ( t) 3( t) a a a x3( t) x ( t) y( t) = [ b b b ] x( t) x3( t)

11 OBTENÇÃO DA FT DE UM SISTEMA A PARTIR DAS EQUAÇÕES DE ESTADO Seja a representação de estado, mostrada abaixo: sx ( s) = AX ( s) BU ( s) Y ( s) = CX ( s) DU ( s) X( t) = A X( t) B µ ( t) Y( t) = C X( t) D µ ( t) Aplicando a transformação de Laplace e considerando nulas as condições iniciais, resulta: matriz identidade ( si A) X ( s) = BU ( s) X ( s) = ( si A) BU ( s) Substituindo a expressão de X(s) na equação de Y(s), resulta: Com isto, tem-se: { } Y( s) = C(SI A) B D U( s) Y( s) = G( s) = C( SI A) B D U( s)