X. MÉTODOS DE ESPAÇO DE ESTADOS

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1 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA-AERONÁUTICA MPS-43: SISTEMAS DE CONTROLE X. MÉTODOS DE ESPAÇO DE ESTADOS Prof. Davi Antônio dos Santos Departamento de Mecatrônica courses/mps-43 Maio/2019 São José dos Campos

2 MPS-43: Sistemas de Controle 2 Sumário X. MÉTODOS DE ESPAÇO DE ESTADOS X.1. Modelo em Espaço de Estados X.1.1. Definições X.1.2. Linearização X.1.3. Exemplos de Modelagem X.2. Solução de Equações de Estado LIT X.2.1. Equação Homogênea X.2.2. Equação Não Homogênea

3 MPS-43: Sistemas de Controle 3 Sumário X.3. Resultados Úteis da Álgebra de Matrizes X.3.1. Autovetores, Autovalores, Equação Característica X.3.2. Relação entre Modelo em Espaço de Estados e FT X.3.3. Teorema de Cayley-Hamilton X.3.4. Diagonalização X.3.5. Cálculo de Exponencial Matricial X.3.6. Mudança de Coordenadas X.4. Realizações no Espaço de Estados X.5. Controlabilidade X.6. Observabilidade

4 MPS-43: Sistemas de Controle 4 X.1. Modelo em Espaço de Estados X.1.1. Definições Vetor Variável de Estado: Seja um sistema dinâmico com entrada u t R r e saída y(t) R m, em que t > 0 é um instante de tempo contínuo: u t Sistema x t y t O vetor variável de estado x t R n é tal que o seu conhecimento no instante t 0,x t 0, juntamente com o conhecimento da entrada u t em t [t 0, t], ҧ descreve completamente o comportamento dinâmico do sistema em qualquer instante t ҧ > t 0.

5 ҧ MPS-43: Sistemas de Controle 5 X.1. Modelo em Espaço de Estados Variáveis de Estado: São os componentes x 1, x 2,..., x n do vetor variável de estado: Estado: x x 1 x 2 x n T O estado de um sistema num instante tҧ qualquer é o valor do vetor variável de estado nesse instante, x t. Espaço de Estados: É o espaço Euclidiano R n, cujos elementos são possíveis estados do sistema.

6 MPS-43: Sistemas de Controle 6 X.1. Modelo em Espaço de Estados Modelo em Espaço de Estados: Não Linear e Variante no Tempo: É composto de uma equação de estado, que compreende n equações diferenciais de primeira ordem: xሶ t = f x t, u t, t, (1) e de uma equação de saída, formada por m equações algébricas: y t = g x t, u t, t, (2) onde x t R n, u t R r, y t R m, f: R n R r R R n e g: R n R r R R m.

7 MPS-43: Sistemas de Controle 7 X.1. Modelo em Espaço de Estados Linear e Variante no Tempo: Considerando que as funções f e g em (1)-(2) sejam lineares em x(t) e u(t), aquele modelo pode ser reescrito como: xሶ t = A t x t + B t u t, y t = C t x t + D t u t, (3) (4) em que A t R n n é a matriz de estado, B t R n r é a matriz de entrada, C t R m n é a matriz de saída, D t R m r é a matriz de transmissão direta.

8 MPS-43: Sistemas de Controle 8 X.1. Modelo em Espaço de Estados Linear e invariante no tempo: Considerando que as matrizes A t, B t, C t e D t em (3)-(4) sejam constantes, aquele modelo pode ser reescrito como: x ሶ = Ax + Bu, y = Cx + Du. (5) (6) OBS: A notação de tempo nas variáveis x, y e u foi omitida por simplicidade.

9 MPS-43: Sistemas de Controle 9 X.1. Modelo em Espaço de Estados As equações (5)-(6) podem ser reescritas componente a componente: xሶ 1 = xሶ n a 11 a 1n a n1 a nn x 1 x n + b 11 b 1r b n1 a nr u 1 u r xሶ A x B u y 1 y m = c 11 c 1n c m1 c mn x 1 x n + d 11 d 1r d n1 d nr u 1 u r y C x D u

10 ҧ MPS-43: Sistemas de Controle 10 X.1. Modelo em Espaço de Estados X.1.2. Linearização Seja o modelo em espaço de estados, não linear: xሶ t = f x t, u t, t, y t = g x t, u t, t. O correspondente modelo linearizado pelo método da série de Taylor, em torno da referência x t = x t, é dado por δx ሶ = x f x, ҧ തu δx + u f x, ҧ തu δu,... δy = x g x, ҧ തu δx + u g x, ҧ തu δu,

11 ҧ MPS-43: Sistemas de Controle 11 ҧ X.1. Modelo em Espaço de Estados onde δx x x, ҧ δy y തy, δu u തu, തy = g x, തu, t, തu é tal que 0 = f x, തu, t e as matrizes Jacobianas são dadas por: x f x, ҧ തu f 1 x 1 f n x 1 x, ҧ തu f 1 x n x, ҧ തu f n x n x, ҧ തu x, ҧ തu u f x, ҧ തu f 1 u 1 f n u 1 x, ҧ തu f 1 u r x, ҧ തu f n u r x, ҧ തu x, ҧ തu x g x, ҧ തu g 1 x 1 x, ҧ തu g 1 x n x, ҧ തu u g x, ҧ തu g 1 u 1 x, ҧ തu g 1 u r x, ҧ തu g m x 1 x, ҧ തu g m x n x, ҧ തu g m u 1 x, ҧ തu g m u r x, ҧ തu

12 MPS-43: Sistemas de Controle 12 X.1. Modelo em Espaço de Estados X.1.3. Exemplos de Modelagem Levitador Magnético: R, L Bobina Magnética i v Amplificador u Arduino Trem de Xangai y Sensor Óptico f m = k i2 y 2 mg Esfera de Aço y

13 MPS-43: Sistemas de Controle 13 X.1. Modelo em Espaço de Estados Satélite Rígido Movimento de Atitude: Satélite Z b CM Y b X b Z i CT Terra Y i X i

14 MPS-43: Sistemas de Controle 14 X.2. Solução de Equações de Estado LIT X.2.1. Equação Homogênea Seja a equação de estado homogênea (u = 0) de um sistema LIT: x ሶ = Ax, (7) onde x R n e A R n n. Enfoque Clássico: Suponha uma solução para (7) em forma de série infinita de potências de t: x t = b 0 + b 1 t + b 2 t b k t k + (8)

15 MPS-43: Sistemas de Controle 15 X.2. Solução de Equações de Estado LIT Substituindo (8) em (7), vem: b 1 + 2b 2 t + 3b 3 t 2 + 4b k t kb k t k 1 + = Ab 0 + Ab 1 t + Ab 2 t Ab k t k + (9) Igualando os coeficientes de mesma potência em t de ambos os membros de (9), obtém-se: b 1 = Ab 0 b 2 = 1 2 Ab 1 = 1 2 A2 b 0 b 3 = 1 3 Ab 2 = A3 b 0... (10) b k = 1 k! Ak b 0...

16 MPS-43: Sistemas de Controle 16 X.2. Solução de Equações de Estado LIT Adicionalmente, substituindo t = 0 em (8), obtém-se: b 0 = x 0. (11) Usando (10) e (11), pode-se reescrever a solução x(t) em (8) como: x t = x 0 + Ax 0 t + 1 2! A2 x 0 t k! Ak x 0 t k +, x t = I + At + 1 2! At k! At k + x 0, e At x t = e At x 0. (12)

17 MPS-43: Sistemas de Controle 17 X.2. Solução de Equações de Estado LIT Matriz de Transição de Estado: É definida por Φ t e At (13) e tem as seguintes propriedades: 1. Φ 0 = I 2. Φ 1 t = Φ t 3. Φ t 1 + t 2 = Φ t 1 Φ t 2 4. Φ t 1 Φ t 2 = Φ t 2 Φ t 1 5. Φ n t = Φ nt 6. Φ t 2 t 0 = Φ t 2 t 1 Φ t 1 t 0

18 MPS-43: Sistemas de Controle 18 X.2. Solução de Equações de Estado LIT Enfoque da Transformada de Laplace: Aplicando a TL em (7), tem-se: sx s x 0 = AX s, si A X s = x 0, X s = si A 1 x 0. Logo, a solução x(t) fica: x t = L 1 si A 1 x 0. (14)

19 MPS-43: Sistemas de Controle 19 X.2. Solução de Equações de Estado LIT De (12), (13) e (14), constata-se que a matriz de transição de estado é também dada por: Φ t = L 1 si A 1. (15)

20 MPS-43: Sistemas de Controle 20 X.2. Solução de Equações de Estado LIT X.2.2. Equação Não Homogênea Seja a equação de estado não homogênea de um sistema LIT: x ሶ = Ax + Bu, (16) onde x R n, u R r, A R n n e B R n r. Enfoque Clássico: De (16), xሶ t Ax t = Bu t. (17)

21 MPS-43: Sistemas de Controle 21 X.2. Solução de Equações de Estado LIT Multiplicando (17) à esquerda por e At, vem: e At xሶ t Ax t = e At Bu t. (18) Nota-se, no entanto, que d dt e At x t = e At xሶ t Ae At x t, que, por vez, corresponde ao primeiro termo de (18). Pode-se, então, reescrever (18) como d dt e At x t = e At Bu t. (19)

22 MPS-43: Sistemas de Controle 22 X.2. Solução de Equações de Estado LIT Integrando (19) de t 0 a t, obtém-se: e At x t e At 0x t 0 = න t t 0 e Aτ Bu τ dτ, ou x t = e A t t 0 x t 0 + න t t 0 e A t τ Bu τ dτ. (20)

23 MPS-43: Sistemas de Controle 23 X.2. Solução de Equações de Estado LIT Enfoque da Transformada de Laplace: Aplicando a TL em (16), vem: sx(s) x(0) = AX(s) + BU(s), (si A)X(s) = x(0) + BU(s). Multiplicando (21) à esquerda por si A 1, vem: X s = si A 1 x 0 + si A 1 BU s. Por fim, aplicando a TL inversa em (22), obtém-se: t x t = e At x 0 + න e A t τ Bu τ dτ. 0 (21) (22) (23)

24 MPS-43: Sistemas de Controle 24 X.3. Resultados Úteis da Álgebra de Matrizes X.3.1. Autovetores/Autovalores/Equação Característica Autovetores e Autovalores: Um autovetor v R n de uma matriz A R n n é um vetor não nulo que quando pré-multiplicado por A, resulta num vetor paralelo a v, i.e., Av = λv, (24) onde λ R é o autovalor de A correspondente a v.

25 MPS-43: Sistemas de Controle 25 X.3. Resultados Úteis da Álgebra de Matrizes Equação Característica: Da equação (24), vem λv Av = 0, λi A v = 0. Para v 0, a equação (25) se verifica se e somente se det λi A = 0. (25) (26) Essa última equação, que corresponde a um polinômio em λ de grau n, é chamada de equação característica de A.

26 MPS-43: Sistemas de Controle 26 X.3. Resultados Úteis da Álgebra de Matrizes X.3.2. Relação entre Modelo em Espaço de Estados e FT Seja um sistema LIT modelado pelo seguinte modelo em espaço de estados: x ሶ = Ax + Bu y = Cx + Du. Considerando condições iniciais nulas, x 0 = 0, e tomando TL de (27) e (28), obtêm-se: sx(s) = AX s + BU s Y s = CX s + DU s. (27) (28) (29) (30)

27 MPS-43: Sistemas de Controle 27 X.3. Resultados Úteis da Álgebra de Matrizes Isolando X s em (29) e substituindo-o em (30), obtemos: Y s = C si A 1 BU s + DU s, Y s = C si A 1 B + D U s, donde se identifica a função de transferência do sistema como sendo G s = C si A 1 B + D, ou ainda G s = CAdj si A B + det si A D det si A (31)

28 MPS-43: Sistemas de Controle 28 X.3. Resultados Úteis da Álgebra de Matrizes Por inspeção de (31), obtém-se a equação característica de G(s): det si A = 0, (32) cuja solução são os polos de G(s). Comparando-se (32) e (26), conclui-se que Os polos de um sistema LIT correspondem aos autovalores da matriz de estado A desse mesmo sistema.

29 MPS-43: Sistemas de Controle 29 X.3. Resultados Úteis da Álgebra de Matrizes X.3.3. Teorema de Cayley-Hamilton Teorema de Cayley-Hamilton: Estabece que uma matriz A R n n satisfaz a sua própria equação característica. Matematicamente, seja o polinômio caracterísitico de A: Δ λ det λi A = λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0. O teorema estabelece que Δ A A n + a n 1 A n a 1 A + a 0 I = 0. Prova: [Sec. 11.5, Ogata].

30 MPS-43: Sistemas de Controle 30 X.3. Resultados Úteis da Álgebra de Matrizes Teorema Sobre Polinômio de Matriz: Seja uma matriz A R n n e um polinômio qualquer dessa matriz, p A, de grau n + i, i Z + : p A = β n+i A n+i + β n+i 1 A n+i β 1 A + β 0 I. Usando o Teorema de Cayley-Hamilton, pode-se provar que o polinômio p A pode ser reescrito como p A = α n 1 A n 1 + α n 2 A n α 1 A + α 0 I. (33)

31 MPS-43: Sistemas de Controle 31 X.3. Resultados Úteis da Álgebra de Matrizes X.3.4. Diagonalização Seja A R n n uma matriz real em que a soma das multiplicidades geométricas de seus autovalores seja igual a n. Nesse caso, sabe-se que é possível reescrever A na forma: A = TΛT 1, (34) onde T v 1 v n, (Autovetores de A) Λ λ (Autovalores de A) 0 0 λ n Dizemos então que A é diagonalizável.

32 MPS-43: Sistemas de Controle 32 X.3. Resultados Úteis da Álgebra de Matrizes X.3.5. Cálculo de Exponencial Matricial Essa seção dedica-se ao cálculo da exponencial matricial: e At I + At + 1 2! At k! At k + (35) Método 1 (Transformada Inversa de Laplace): Da equação (15), sabe-se que a exponencial matricial e At pode ser calculada pela seguinte transformada inversa de Laplace: e At = L 1 si A 1. (36)

33 MPS-43: Sistemas de Controle 33 X.3. Resultados Úteis da Álgebra de Matrizes Método 2 (Diagonalização): Seja A R n n uma matriz real diagonalizável. Nesse caso, pode-se calcular a exponencial matricial por: e At = Te Λt T 1, (37) onde T v 1 v n, (Autovetores de A) Λ λ (Autovalores de A) 0 0 λ n

34 MPS-43: Sistemas de Controle 34 X.3. Resultados Úteis da Álgebra de Matrizes Método 3 (Interpolação de Sylvester): Seja A R n n uma matriz real com autovalores distintos λ 1, λ 2,..., λ n. Nesse caso, a exponencial matricial e At pode ser obtida por: e At = α n 1 t A n 1 + α n 2 t A n α 1 t A + α 0 t I. (38) Pode-se mostrar que, neste caso (autovalores distintos), e λit n 1 n 2 = α n 1 t λ i + αn 2 t λ i + + α1 t λ i + α 0 t, (39) para i = 1, 2,, n.

35 MPS-43: Sistemas de Controle 35 X.3. Resultados Úteis da Álgebra de Matrizes Portanto, pode-se calcular os coeficientes α i, para i = 1, 2,, n, através das n equações algébricas em (39) e, em seguida, calcular e At usando a equação (38). Este método pode ser estendido para o caso em que A contém autovalores com multiplicidades algébricas maior do que 1. Vide Seção 11.5 de (OGATA, 1993).

36 MPS-43: Sistemas de Controle 36 X.3. Resultados Úteis da Álgebra de Matrizes X.3.6. Mudança de Coordenadas Seja um sistema LIT modelado por: x ሶ = Ax + Bu y = Cx + Du. Considere a seguinte mudança de coordenadas do vetor variável de estado: x = Pz, (40) (41) (42) onde P R n n é a matriz de transformação não singular e z R n é o vetor variável de estado no novo sistema de coordenadas.

37 MPS-43: Sistemas de Controle 37 X.3. Resultados Úteis da Álgebra de Matrizes O modelo em espaço de estados no novo sistema de coordenadas é obtido substituindo (42) em (40)-(41): ou Pz ሶ = APz + Bu y = CPz + Du. z ሶ = P 1 APz + P 1 Bu y = CPz + Du. (43) (44) (45) (46) Essa operação é frequentemente chamada de transformação de similardade.

38 MPS-43: Sistemas de Controle 38 X.3. Resultados Úteis da Álgebra de Matrizes Invariância de Propriedades: A equação característica do sistema transformado é dada por: det λi P 1 AP = 0, det P 1 det λi A det P = 0. (47) Como P é não singular, det P 0 e det P 1 (47) implica em det λi A = Logo, a equação (48) Como as equações características de A e P 1 AP são iguais, pode-se afirmar que os seus autovalores e autovetores também são iguais.

39 MPS-43: Sistemas de Controle 39 X.3. Resultados Úteis da Álgebra de Matrizes Por outro lado, usando (31), a FT do sistema transformado pode ser escrita como: G z s = CP si P 1 AP 1 P 1 B + D, G z s = CP P 1 si A P 1 P 1 B + D, G z s = CPP 1 si A 1 PP 1 B + D, G z s = C si A 1 B + D = G s. (49)

40 MPS-43: Sistemas de Controle 40 X.4. Realizações no Espaço de Estados Definição: Seja um sistema SISO LIT modelado por: G s = sm + b m 1 s m b 1 s + b 0 s n + a n 1 s n a 1 s + a 0. (50) Uma realização (A, B, C, D) de G(s) consiste nas matrizes que parametrizam uma representação em espaço de estados que descreve as mesmas dinâmicas que G(s).

41 MPS-43: Sistemas de Controle 41 X.4. Realizações no Espaço de Estados Comentários: 1. Considera-se aqui que G(s) seja estritamente própria (m < n), o que implica em D = 0; 2. Há infinitas possibilidades de realização de uma mesma FT G(s) (pois a partir de uma, posso obter infinitas outras por transformação de similaridade; vide Seção X.3.6)

42 MPS-43: Sistemas de Controle 42 X.4. Realizações no Espaço de Estados X.4.1. Forma Canônica Controlável Seja a representação de G(s) em (50) no seguinte diagrama de blocos: U(s) 1 s n + a n 1 s n a 1 s + a 0 s m + b m 1 s m b 1 s + b 0 Do diagrama, obtém-se: Q(s) Q(s) U s = 1 s n + a n 1 s n a 1 s + a 0 que, no domínio do tempo, corresponde a Y(s) q n + a n 1 q n a 1 q ሶ + a 0 q = u. (51)

43 MPS-43: Sistemas de Controle 43 X.4. Realizações no Espaço de Estados Definindo as variáveis de estado x 1 q x 2 qሶ x n q n 1, obtêm-se de (51) as seguintes equações de estado: xሶ 1 = x 2 xሶ 2 = x 3 xሶ n 1 = x n xሶ n = a 0 x 1 a 1 x 2 a n 1 x n + u (52)

44 MPS-43: Sistemas de Controle 44 X.4. Realizações no Espaço de Estados Do diagrama anterior, obtém-se ainda: Y(s) Q s = sm + b m 1 s m b 1 s + b 0, que, no domínio do tempo, resulta y = q m + b m 1 q m b 1 q ሶ + b 0 q. (53) Usando as variáveis de estado x 1, x 2,..., x n, obtém-se de (53) a seguinte equação de saída: y = x m+1 + b m 1 x m + + b 1 x 2 + b 0 x 1. (54)

45 MPS-43: Sistemas de Controle 45 X.4. Realizações no Espaço de Estados Conclui-se que as equações (52) e (54) correspondem à realização (A, B, C, D) de G(s) em que (55) Essa realização é a chamada forma canônica controlável (FCC).

46 MPS-43: Sistemas de Controle 46 X.4. Realizações no Espaço de Estados X.4.2. Forma Canônica Observável Seja (A, B, C, D) a realização FCC de G(s). O modelo em espaço de estados (A T, C T, B T, D T ) consiste também numa realização de G(s). A essa última realização, dá-se o nome de forma canônica observável (FCO). Para verificar a afirmação acima, seja ҧ G(s) a função de transferência correspondente a (A T, C T, B T, D T ). Da Seção X.3.2, sabemos que Como ҧ G s é escalar, ҧ G s = ҧ G s = B T si A T 1 C T. ҧ G s T = C si A 1 B = G s

47 MPS-43: Sistemas de Controle 47 X.4. Realizações no Espaço de Estados Denote agora a realização FCO por (A, B, C, D). Nesse caso, de (55) e do slide anterior, conclui-se que: (56)

48 MPS-43: Sistemas de Controle 48 X.4. Realizações no Espaço de Estados X.4.3. Forma Canônica Diagonal Considerando que G s tenha polos distintos s 1, s 2,..., s n, sua decomposição em frações parciais fica G s = k 1 s s 1 + k 2 s s k n s s n. (57) Seja a representação de G s em (57) pelo seguinte diagrama de blocos:

49 MPS-43: Sistemas de Controle 49 X.4. Realizações no Espaço de Estados 1 X 1 (s) s s 1 k 1 U(s) 1 s s 2 X 2 (s) k 2 + Y(s) 1 X n (s) s s n k n Do diagrama, obtêm-se as variáveis de estado X 1 s U s s s 1, X 2 s U s s s 2,, X n s U s s s n,

50 MPS-43: Sistemas de Controle 50 X.4. Realizações no Espaço de Estados que, no domínio do tempo, corresponde a xሶ 1 = s 1 x 1 + u xሶ 2 = s 2 x 2 + u xሶ n = s n x n + u. Do diagrama anterior, obtém-se ainda a equação de saída (58) Y s = k 1 X 1 s + k 2 X 2 s + + k n X n s, que, no domínio do tempo, corresponde a y = k 1 x 1 + k 2 x k n x n. (59)

51 MPS-43: Sistemas de Controle 51 X.4. Realizações no Espaço de Estados As equações (58) e (59) correspondem à realização (A, B, C, D) de G(s), em que (60) Essa realização é a chamada forma canônica diagonal (FCD).

52 MPS-43: Sistemas de Controle 52 X.5. Controlabilidade Modelo do Sistema: Seja um sistema LIT modelado por: x ሶ = Ax + Bu y = Cx + Du, (61) onde x R n, u R r, y R m, A R n n, B R n r, C R m n, D R m r.

53 MPS-43: Sistemas de Controle 53 X.5. Controlabilidade Definição (Controlabilidade de um Ponto): O estado inicial x 0 = x 0 do sistema modelado por (61) é dito controlável se existe um sinal de entrada u t, t 0, t 1, limitado, que leva o estado do sistema para um ponto arbitrário x t 1 = x 1 num período de tempo finito t 1. x plano x 0 x 1 u t t 0, t 1

54 MPS-43: Sistemas de Controle 54 X.5. Controlabilidade Definição (Completamente Controlável): Se todos os estados iniciais possíveis x 0 R n do sistema modelado por (61) forem controláveis, então o sistema em questão é dito ser completamente controlável. Note que é razoável imaginar neste ponto que caso o sistema não seja completamente controlável, não será possível projetar um controlador para controlar todas as suas variáveis de estado de forma que o vetor variável de estado transite de um ponto arbitrário para outro ponto arbitrário do plano x.

55 MPS-43: Sistemas de Controle 55 X.5. Controlabilidade Teorema (Condição de Controlabilidade): Para que o sistema modelado por (61) seja completamente controlável, é necessário e suficiente que a matriz de controlabilidade C B AB A 2 B A n 1 B (62) tenha posto igual a n. Prova: p. 49 de [K. FURUTA; A. SANO; D. ATHERTON; State Variable Methods in Automatic Control. John Wiley & Sons, 1988.]

56 MPS-43: Sistemas de Controle 56 X.6. Observabilidade Seja um sistema LIT modelado por: x ሶ = Ax + Bu y = Cx + Du, (63) onde x R n, u R r, y R m, A R n n, B R n r, C R m n, D R m r.

57 MPS-43: Sistemas de Controle 57 X.6. Observabilidade Definição (Observabilidade de um Ponto): O estado inicial x 0 = x 0 do sistema modelado por (63) é dito observável se, conhecendo-se o sinal de saída y t, t 0, t 1 e o sinal de entrada u t, t 0, t 1, para t 1 finito, for possível determinar x 0. x 0? plano x t 1 u t, y t, t 0, t 1

58 MPS-43: Sistemas de Controle 58 X.6. Observabilidade Definição (Completamente Observável): Se todos os estados iniciais possíveis x 0 R n do sistema modelado por (63) forem observáveis, então o sistema em questão é dito ser completamente observável. Note que é razoável imaginar neste ponto que caso o sistema não seja completamente controlável, não será possível projetar um controlador para controlar todas as suas variáveis de estado de forma que o vetor variável de estado transite de um ponto arbitrário para outro ponto arbitrário do plano x.

59 MPS-43: Sistemas de Controle 59 X.6. Observabilidade Teorema (Condição de Observabilidade): Para que o sistema modelado por (63) seja completamente observável, é necessário e suficiente que a matriz de observabilidade O C CA CA n 1 (64) tenha posto igual a n. Prova: p. 51 de [K. FURUTA; A. SANO; D. ATHERTON; State Variable Methods in Automatic Control. John Wiley & Sons, 1988.]. Alternativamente, vide exercício resolvido A de (OGATA,1993).

60 MPS-43: Sistemas de Controle 60 Obrigado pela presença e atenção!