1 Auto vetores e autovalores

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1 Auto vetores e autovalores Os autovalores de uma matriz de uma matriz n n são os n números que resumem as propriedades essenciais daquela matriz. Como esses n números realmente caracterizam a matriz sendo estudada também são denominadas algumas vezes valores características ou valores próprios. Definição. Seja A uma matriz n n. Um autovalor de A é um número tal que, se for subtraído de cada entrada na diagonal de A, converte A numa matriz singular. Subtrair um escalar r de cada entrada diagonal de A é o mesmo que subtrair r vezes a matriz identidade I de A. Portanto, r é um autovalor de A se, e somente se, A ri é uma matriz singular. Exemplo.. A 3 3 Subtraindo de cada entrada diagonal A transformamos essa matriz em singular. A Teorema. As estradas de uma matriz diagonal D são autovalores de D. 3 e e 3 são autovalores de D. Teorema. Uma matriz quadrada A é singular se, e somente se, é um autovalor de A. B B ri ou B ri dado que r Definição. Matriz Singular. Uma matriz A é singular se, e somente se, deta. Nesse caso r é um autovalor de A, ou seja, A ri é uma matriz singular se, e somente se, deta ri Para A n n o lado esquerdo da equação acima é um polinômio de grau n na variável r, denominado polinômio característico de A. O número r é um autovalor de A se, e somente se, r é uma zero do polinômio característico de A. Seja A : dera ri det a n a a a r r a + a r + a a a a Portanto, uma matriz tem no máximo dois autovalores e uma matriz n n no máximo n autovalores.

2 Definição. Quando r é um autovalor de A e um vetor não nulo V tal que A ri.v. Então, denominamos V um autovetor de A associado ao autovalor r. Av riv Av rv Teorema. Seja A n n e r um escalar. Então, as seguintes afirmações são equivalentes. a. A subtração de r de cada elemento da diagonal de A transforma A em uma matriz Singular; b. A ri é uma matriz Singular; c. deta ri ; d. deta riv para algum vetor V não nulo; e. AV rv Exemplo. Vejamos a seguinte matriz: 3 A r 3 deta ri det r r. r 6 > + r.r 6 r + r 6 r + 3r As raízes do polinômio característico 3 e autovalores Vejamos os autovetores r ± ± 5 ± 5 3 A riv 3 3 A IV V V V 3V + 3V V V V V > V V A 3rIV

3 3 3 + V V V V + 3V V 3 V r 3 6 V + 3V 3 r 3,, 3 Definição. O conjunto unidimensional da equação linear a riv, incluindo V, é denominado autoespaço de A em relação a r. Exemplo. B 5 3 r detb ri det 5 r 3 r r5 r r 65 r 5 r r r 6 5 r r r + r 6 5 rr 3r 4 r 4r + r + r 4r Os autovalores de B são: 5, 4 e. 5 r r 4 r + Calculamos o espaço nulo de B 5I Cuja solução é V V 3 e V livre 4 B 5IV 3 3 V V V 3 4V + V 3V 3V 3 3

4 V V V 3 V auto vetor para r 5 Para r B IV V V V 3 V + V 3 6V Solução: V e V V 3, Para r 4, 3 3V + 3V 3 Em alguns casos é necessário utilizar eliminação gaussiana para solucionar o sistema linear A riv Teorema. Os autovalores de uma matriz triangular são as suas entradas diagonais. Triangular superior a a a r a A -> deta ri a a r a ra r Isso ocorre se, e somente se r Teorema. Seja A uma matriz invertível. Se A riv então A r IV, isto é, se A é invertível r é seu autovalor se, e somente se, r é um autovalor de A. Demonstração. A riv AV rv A AV A rv IV A rv V A rv V r A V V A r A r IV 4

5 Exemplo. Equações lineares a diferenças a. Y t+ KY t Y t+ KY t+ Y t+3 KY t+ Recursivamente: Y t+3 K.K.K.Y t K 3 Y t b. Y t+ + ry t Y t+ + ry t+ Y t+3 + ry t+ Recursivamente: Y t+i + r i Y t Exemplo. Modelo de Leslie b b 4 d,5 sistema acoplado X n+ X n + 4Y n Y n+ X n + Y n -> Z n+ X n+ Y n+ a c b d X n Y n AZ n obs.: se b c estas equações estão desacopladas. Usando o método de mudança de coordenadas: X 6 X + 3 Y Y 6 X + 3 Y Cuja transformação inversa X 4X Y Y X + Y X 6 3 Y 6 3 X 4 X Y Y 5

6 As duas matrizes dos coeficientes são inversas uma da outra. X n+ 6 X n+ + 3 Y n+ 6 X n + 4Y n + 3 X n Y n+ 6 X n+ + 3 Y n+ 6 X n + 4Y n + 3 X n X n+ 3 X n + 3 Y n 3 4X n Y n + 3 X n + Y n X n Y n+ 6 X n 3 Y n 6 4X n Y n 3 X n + Y n Y n Está facilmente desacoplado X n+ X n > X n n C Y n+ Y n > Y n n C Então: X n 4X n Y n n C n C X n Y n Y n X n + Y n n C + n C 4. n C n C n C n C n 4 + C n C As constantes C e C são determinadas por condições iniciais exógenas X e Y. Pois, dadas as quantidades inicias X e Y com o nº teremos: X 4C C C C Y C + C 4. Sistemas Bidimensionais Abstratos Z n+ AZ n Vamos reproduzir o exemplo anterior, mas utilizaremos notação matricial abstrata. Escreva P e P para X Y 6

7 as matrizes de mudança de coordenadas: Z P Z Z P Z As variáveis originais são escritas como z e as transformadas como Z. Z n+ P z n+ P Az n P Az n P AP Z n P AP Z n Sejam V e V as duas colunas da matriz P de tamanho r D, agora a equação P AP D é equivalente a equação: r AP P D Para P Invertível. Escreva a equação como: r AV V V V r Teorema. Seja A uma matriz k k. Sejam r,...,r k autovalores de A e V,V,...,V k os autovetores associados. Forme a matriz: P V V...V k Cujas colunas são esses k autovetores. Se P é invertível então, r P r AP r n Reciprocamente, se P AP é uma matriz diagonal D, então as colunas de P são autovetores de A e todas entradas da diagonal D são autovalores de A. Teorema. Seja A uma matriz k k com h autovalores distintos r,...,r h. Sejam V,...,V h os autovalores. Então V,...,V h são linearmente independentes, ou seja, nenhum desses vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos demais. Teorema. Seja A uma matriz k k com k autovalores reais e distintos r,...,r k V,...,V k. Então a solução geral do sistema de equações a diferenças z n+ Az n é e autovetores associados z n C r n V C k r n k V k Teorema. Seja A uma matriz k k. Suponha que exista uma matriz não singular P tal que: 7

8 r P r AP r k P é a matriz dos autovetores. Uma matriz diagonal, então: r n A n r n P P rk n A solução desse sistema de equações a diferenças z n+ Az n com vetor inicial z é r n Z n r n P P z rk n Teorema. Se a matriz A de tamanho k k tem k autovetores reais distintos, então todas as soluções do sistema linear geral de equações a diferenças z n+ Az n tendem a zero se, e somente se, todos os autovalores de A têm valor absoluto menor do que... Propriedades de autovalores Do ponto de vista prático, os autovalores de uma matriz A de tamanho k k são simplesmente os zeros do polinômio característico de A, o polinômio de grau K dado por: pr deta ri De fato, há 3 possibilidades para as raízes de pr..pr tem K raízes reais distintas;.pr tem algumas raízes repetidas, ou 3.pr tem algumas raízes complexas;. Traço como soma de autovalores Definição. O traço de uma matriz quadrada é a soma das suas entradas diagonais tra a + a + a a kk Teorema. Seja A k k com autovalores r,...,r k. Então, r + r r k tra, e r.r...r k deta 8

9 Demonstração.. A a c b a r b p A r det c d r r a + dr + ad bc d p A r Br B r +r r + Br r p A r Br rr r Duas formas de dizermos o mesmo Coeficiente r : B Coeficiente de r : a + d Br + r Termo constante: ad bc Br r Portanto: β ;tra a + d r + r e deta ad bc r r Exemplo. Para matrizes markovianas a soma da coluna é sempre, logo ele é um autovalor. A,3,6,7,4 3 deta ,3 r r,3 r + r,7 r + r r,7r r,3,7r r,7r,3 r +,7 ±,7 4.,3. r,7 ±,69 r,7 ±,3 r,3 9

10 r Se r r,3 Se r,3 r.3 Autovalores repetidos Definição: Uma matriz A que tem um autovalor de multiplicidade m >, mas não possui m autovalores independentes associados a esse autovalor, é denominada matriz não diagonalizável ou defectiva. Teorema. Seja A uma matriz com dois autovalores iguais. Então, A é diagonalizável se, e somente se, A já é diagonal. Demonstração. Se A é diagonalizável pela mudança de variáveis P, então as entradas na diagonal de P AP são os autovalores de A. Seja r o único autovalor de A, Então, P r AP deve ser a matriz r r I : P AP r I ou equivalentemente, A P r IP r P IP ri Definição: Seja r um autovalor da matriz A. Um vetor não-nulo v tal que A r Iv mas A r I m v para algum inteiro m > é denominado um autovetor generalizado de A associado a r. Exemplo: v A 4 r 3 e 3 o autovetor generalizado v é uma solução de A 3Iv v ou v v Tome, por exemplo, v,v e forme P v v checamos que: P AP Teorema. Seja A uma matriz com dois autovalores iguais r r. Então, a ou A tem dois autovetores independentes associados a r,e neste caso, A é a matriz diagonal r I. b ou A tem somente um autovetor independente, digamos v tal que A r Iv v e, se P v v então P r AP r.

11 .4 Resolvendo equações a diferenças não diagonalizáveis Vamos solucionar um sistema de equações a diferenças z n+ Az n quando A não é diagonalizável. Z n+ X n+ Y n+ r r X n Y n X n+ rx n + Y n Y n+ ry n Esse sistema está acoplado, porém minimamente. Podemos usar a segunda equação e dizer que: Inserimos essa equação na primeira: Y n c r n X n+ rx n + c r n 34 Agora temos uma equação a diferenças linear homogênea e escalar para resolver. Vamos iterar a equação 34 a partir de n para descobrirmos a solução geral: X C X rx + c n X rx + c r n X rrx + c + c r X r c + rc + c r X r c + rc X 3 rx + c r n X 3 r 3 c + 3r c X 4 rx 3 + c r 3 n 3 Em geral: X 4 r 4 c + 4r 3 c X n r n c + nc r n 35 Para ver que 35 é a solução geral de 34, substitua-a em 34:

12 X n+ rr n c + nc r n + c r n X n+ r n+ c + nc r n + c r n X n+ c r n+ + n + c r n Então a solução geral de 33 é: X n Y n c r n + nc r n c r n Finalmente usamos a mudança de coordenadas z P Z para escrever a solução geral do nosso sistema original z n+ Az n : c r n + nc r n Z n P Z n v v c r n Z n c r n + nc r n v + c r n v Teorema. Seja A uma matriz com um autovalor múltiplo r e somente um autovetor independente v. Seja v um autovetor generalizado associado a v e r. Então, a solução geral do sistema de equações a diferenças z n+ Az n é: z n c r n + nc r n v + c r n v Teorema. Seja A uma matriz k k com entradas reais. Se r α + iβ é um autovalor de A, também seu complexo conjugado r α iβ é um autovalor. Se u + iv é um autovetor para α iβ então u iv é um autovetor para α iβ. Se k é ímpar, então A deve possuir pelo menos um autovalor real. Seja A 9 pr r r + cujas raízes são r + 3i e 3i. Um autovetor para r + 3i é uma solução w de 3i A + 3iIw 9 3i w w Usando a primeira linha dessa matriz, concluímos que um autovetor w é uma solução da equação w 3i 3i é:, que escrevemos como 3iw + w + i. Pelo teorema 3.3 um autovetor para o autovalor 3 w i 3 3i Formamos uma matriz P de mudança de coordenadas cujas colunas são estes dois autovetores: P 3i 3i

13 P P AP 6 i 6 i α + 3i α 3i Teorema. Seja A uma matriz real com autovalores complexos α ± iβ com autovetores complexos associados u ± iv. Escreva os autovalores α ± iβ em coordenadas polares como r cosθ + isenθ,onde r α + β e cosθ,senθ Então a solução geral da equação a diferenças z n+ Az n é: α r, β r z n r n c cosnθ c sennθ u + c cosnθ + c sennθ v No exemplo 3.7, calculamos que os autovalores de A são ± 3i com autovetores associados 9 ± i 3 Em coordenadas polares, + 3i 3 + i cosθ + isenθ onde θ arcocos 7,56 ou,5 radianos. A solução geral de: x n+ x n + y n y n+ 9x n + y n x n y n n c cosnθ c senθ c cosnθ + c senθ n c cosnθ c sennθ 3c cosnθ 3c sennθ 3.5 Processos de Markov Definição: Um processo estocástico é uma regra que dá a probabilidade com que o sistema ou um indivíduo deste sistema estará no estado i no período n + sabendo as probabilidades com que esteve nos vários estados em períodos anteriores. Definição: Um Processo Markov é um processo estocástico se a probabilidade com que o sistema está no estado i no período n + depende somente do estado em que os sistema esteve no período n; Para processos de Markov somente o passado imediato interessa. a probabilidade x i n de ocorrer o estado i no n-ésimo período de tempo ou, alternativamente, a fração da população em questão que está no estado i no n-ésimo período de tempo e, as probabilidades de transição m ij, ou seja, as probabilidades com que o processo estará no estado i no tempo n + se estiver no estado j no tempo n. É natural agrupar as probabilidades de transição numa matriz, que denominamos matriz de transição, ou matriz estocástica, ou ainda matriz de Markov: 3

14 M m... m k..... m k m kk Uma matriz de Markov é qualquer matriz m ij de entradas não negativas cujas colunas tem soma i m ij iguais a. Estamos considerando que as probabilidades m ij estão fixas e são independentes de n. Para descrever essa hipótese dizemos que o processo é homogêneo no tempo ou que as probabilidades de transição são estacionárias. A dinâmica de Markov pode ser descrita do seguinte modo. Suponha que x j n denota a fração de membros de uma população de tamanho N que está no estado j no período de tempo n. Então, o número total de membros da população no estado j no período n é x j nn. Por exemplo, m ij x j nn desses estarão no estado i no período n +. O número total x i n + N de membros da população no estado i n + é a soma sobre j dos membros da população que mudaram de j para i: m i n + N k m ij x j nn em notação matricial, depois de dividir por N x n + m... m k x n x k n + m k m. 44 kk x k n Sistema de Markov. j M Exemplo. Cada indivíduo da população está empregado ou desempregado. Seja x n a fração da população que estuda e que está empregada no fim do período de tempo n e x n denota o total de desempregados. Suponha que uma pessoa empregada possuí 9% de chances de estar empregada no próximo período e, portanto, % de chance de estar desempregada no próximo período. Um indivíduo desempregado possuí 4% de probabilidade de se empregar e 6% de chances de se manter desempregado. A dinâmica desse problema é a seguinte: x n +,9x n +,4x n x n +,x n +,6x n x n + x n +,9,4,,6 x n x n r a soma das colunas. O traço é,5 então o outro auto valor é,5. A riv,,4,,4 α β α β 4 4

15 ,4,4,, α β α β Pelo teorema 3.6 a solução geral desse sistema é: x n x n c 4. + c.5 n como n e lim n,5n então a solução de longo prazo da equação acima tende a: 4 w c como o vetor de componentes deve somar, tome c como a recíproca da soma dos componentes de w, isto é, 5. Podemos concluir que w tende a,8, quando n e nossas pressuposições levam a um nível de desemprego de % nessa comunidade. Definição. Matriz regular de Markov Seja M uma matriz de Markov, isto é, uma matriz não negativa cuja soma das suas entradas é igual a. Então M é chamada de matriz regular de Markov se M r possui somente entradas positivas para algum inteiro r. Se r, isto é, se cada entrada de M é positiva, M é chamada de matriz positiva. Teorema. Seja M uma matriz regular de Markov, então, a é um autovalor de multiplicidade M; b Qualquer outro valor de M satisfaz r ; c O autovalor possui um autovetor w com componentes estritamente positivos; d Se escrevermos v por w dividido pela soma das suas componentes, então v é um vetor de probabilidade e cada solução X nde X n + M X ntende a v com n..6 Matrizes Simétricas Teorema. Seja A uma matriz simétrica k k então, a Todas as k raízes da equação característica DetA ri são números reais; b Os autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais; c Se A possui múltiplos autovalores, então existe uma matriz não-singular P cujas colunas w,..., w n são autovetores de A tal que i w,..., w n são mutuamente ortogonais ii P P T r... iii P AP P T r.... AP r k Definição. Uma matriz P que satisfaça a condição P P T ou antelativamenteequivalentemente P T P I é chamada de matriz ortogonal. Vetores Ortonormais são vetores que são ortogonais e possuem comprimento igual a..7 Formas Quadráticas definidas Teorema. Seja A uma matriz simétrica. Então, a A é positiva definida se,e somente se, todos os autovalores de A são maiores que zero >: 5

16 b A é negativa definida se todos os autovalores de A são menores que zero <; c A é positiva semidefinida se todos os autovalores de A são maiores ou iguais a zero d A é negativa semidefinida se todos os autovalores de A são menores ou iguais a zero e A é indefinida se A possui um autovalor positivo e outro negativo. Demonstração. Seja x um vetor arbitrário não zero em R k e seja Y P x P T x. Então, Y é não zero e x T Ax y T P T AP y y T r... r r k 55 r y + + r k yk onde pelo menos um dos yi é positivo. Se todos os r is são positivos, então xt Ax > e A é positiva definida. Se todos os r is são então x T Ax e A é positiva semidefinida. Se r > e r <, por exemplo, seja e,, T e e,,,, T. Seja x P e e x P e. Então, x T Ax e T P T AP e r > x T Ax e T P T AP e r < e A é indefinida. Reciprocamente se A é indefinida, então deve levar um e j negativo e um r i positivo em 55.Ou seja, A tem um autovalor positivo e outro negativo. Teorema. Seja A uma matriz simétrica. Então as seguintes condições são equivalentes: a A é positiva definida; b Existe uma matriz não singular B tal que A B T B c Existe uma matriz não singular Q tal que Q T AQ I Demonstração. Como A é uma matriz simétrica podemos escrever r... P T r.... AP ou A P r k r... r r k onde r,,r k são os autovalores de A e P v,, v k é uma matriz independente de autovetores de A. Se A é positiva definida, então r,,r k são todos >. Para a b r... r.... B Então teremos que: rk 6

17 B T B r... r rk T r... r rk P T A Parab a Por outro lado, se A B T B para uma matriz não singular B, então para qualquer x não nulo de R x, Como B é não singular então B x Para a c x T Ax x T B T B B x > Suponha que A é positiva definida, então os autovalores de A são positivos. Seja Então, Q T AQ I. Para c a Q v,, v k P r rk r rk Note que se a condição vale, seja x um vetor arbitrário não nulo e então y P x: x T Ax Qy T AQy y T Q T AQy Então A é positiva definida. y T Iy y T y y > 7