Álgebra Linear /2 Turma EM1 (unificada)

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1 Álgebra Linear /2 Turma EM1 (unificada) Planejamento preliminar (última revisão: 3/4/2013) Os exercícios correspondentes a cada aula serão discutidos na aula seguinte e não valem nota Este planejamento (inclusive o cronograma) pode ser alterado nas próximas semanas As datas das provas são apenas previsões, confira sempre a data correta em Aula 1 (2 de abril) Introdução geral, espaços vetoriais, R n, base canônica, expressão de un vetor de R n como combinação linear da base canônica (1) Seja d um inteiro natural Verdade ou falso (justificar ou apresentar contraexemplo) O conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a d é um espaço vetorial? (2) Mesma pergunta com o conjunto dos polinômios de grau exatamente igual a d (3) Mesma pergunta com o conjunto dos polinômios de grau qualquer (4) Mesma pergunta com o conjunto dos polinômios de grau 7 na variável t, que se anulam para t = 0 e para t = 5 Aula 2 (4 de abril) Aplicações Lineares Composição L(R n, R m ) Produto matricial Aplicação do T0 (1) Seja (E, +, ) um espaço vetorial Seja E o conjunto das aplicações lineares de (E, +, ) em (R, +, ) Mostre que (E, +, ) é um espaço vetorial (2) Mostre que, se uma aplicação linear A L(E, E) tem inversas à esquerda e à direita, então essas inversas são iguais Deduza que, se A tem inversa à esquerda e à direita, então a inversa é única (3) Encontre um exemplo de A L(R 2, R 1 ) com duas inversas diferentes à direita e nenhuma inversa à esquerda (4) Seja (E, +, ) um espaço vetorial Mostre que o conjunto das aplicações lineares inversíveis de E em E não é um espaço vetorial 8 a 22 de abril: Estarei de férias O momento atípico se deve a alterações de calendário acadêmico fora de meu controle e a compromissos internacionais previamente assumidos O teste 1 será aplicado (ver abaixo) Durante esse período, recomendo a leitura de: Elon Lages Lima, Coordenadas no Plano Coleção do Professor de Matemática, IMPA, Rio de Janeiro, 1992 (Há uma versão atualizada com solução dos exercícios) Esse texto contém material do segundo grau que é pre-requisito para este curso Quem tiver facilidade com esse material pode ler Coordenadas no Espaço, do mesmo autor 11 de abril: Aplicação do T1 (G-220, entre 9:10 e 9:40) 23 de abril: Feriado: dia de São Jorge Aula 3 (25 de abril) Produto interno e norma associada Normas em geral Teorema de Cauchy-Buniakovskii-Schwartz Ângulos e normas (1) Seja u um vetor diferente de zero Mostre que v pertence à reta {λu : λ R} se e somente se u, v = u v 1

2 2 (2) Sejam A e B pontos diferentes do plano Ache a equação dos pontos equidistantes a A e B O lugar geométrico desses pontos é chamado de mediatriz do segmento [A, B] Deduzir que a mediatriz de um segmento é sempre uma reta (3) Seja u um vetor diferente de zero em R n Ache a equação do hiperplano de vetores ortogonais a u (4) A transposta de uma matriz A de tamanho m n é a matriz A T de tamanho n m definida por: (A T ) ij = A ji Mostre que se, R k é o produto interno canônico, então: Au, v R m = u, A T v R n Deduza que (AB) T = B T A T Aula 4 (30 de abril) Subespaços vetoriais Núcleo e imagem Aplicação do T (1) Exiba o núcleo a a imagem de (2) Exiba o núcleo a a imagem de (3) Mostre que o núcleo de uma matriz A é o espaço dos vetores ortogonais a todas as linhas de A (4) Qual é a relação entre ker(ba) e ker(a)? Entre ker(a T A) e ker A? Aula 5 (2 de maio) Dimensão Bases (1) Mostre que as colunas de uma matriz A são linearmente independentes se e somente se ker(a) = {0} (2) Ache uma base do núcleo de A = (3) Seja A = P LUP Como você poderia produzir uma base da imagem de A? (4) Seja W um subespaço de R n Mostre que qualquer cadeia de inclusões de subespaços V 0 V 1 V r 1 V r = W é tal que r n Aula 6 (7 de maio) Teorema do posto Forma escada (1) Achar a forma escada da matriz (2) Mostre que um sistema de equações Ax = b (com A não necessariamente quadrada) tem soluçao se e somente se o posto de A é igual ao posto da A 11 A in b 1 matriz ampliada  = A m1 A mn b m

3 3 (3) Use forma escada da matriz ampliada para achar a solução geral de x = (4) Mesma pergunta, para x = Aula 7 (9 de maio) Mudança de coordenadas Aplicação do T3 [ ] [ ] [ ] [ ] (1) Qual é a transformação linear que leva em e em? (2) Na base [ canônica ] de R 2, a transformação linear ([ T[ é representada pela matriz Qual é a matriz de T na base,? 1 3 2] 2]) (3) Uma transformação A : R 2 R 2 é [ representada ] [ ] pela matriz identidade na 1 3 base canônica Escreva A na base (, ) 3 1 (4) Agora consideramos uma aplicação linear A : R 2 R 3, dada nas bases canônicas respectivas por: 1 2 A = [ ] [ ] 1 1 Considere agora o espaço R 2 munido da base α = (, ) e o espaço R munido da base β = ( 3, [ 1, 2, 1 ] 1, 0 Escreva a matriz associada a 1 0) A nas bases α e β Aula 8 (14 de maio) Sistemas de equações e fatoração LU (1) Qual é o conjunto de soluções do sistema abaixo? x = (2) Qual é o conjunto de soluções do sistema abaixo? x = Interprete geometricamente (3) Use a formulação matricial para encontrar uma condição necessária e suficiente para duas retas a i x + b i y + c i = 0 no plano serem paralelas

4 4 (4) Seja A = LU uma matriz simétrica e inversível Mostre que U = DL T, onde D é uma matriz diagonal 15 de maio 17:00 19:00: PROVA 1 Aula 9 (16 de maio) Matrizes de permutação Relação com permutações Admitiremos o lema da paridade das permutações Definição de grupo (1) Mostrar que existem n! matrizes de permutação n n (2) Seja G o conjunto das matrizes da forma l l l n Mostre que o produto de dois elementos de G está em G (3) Mostre que para todo A G, existe B G tal que BA = AB = I (4) Seja P uma matriz de permutação fixando o primeiro elemento, mostre que para todo A G, P AP 1 G Aula 10 (21 de maio) Fatoração PLU e PLUP (1) Ache uma fatoração P LU de A = (2) Usando a fatoração P LU, ache o conjunto das soluções de Ax = b, onde A = 3 7 1, e b = (3) Seja A = P LUP Qual é a fatoração P LUP de A T? (Assuma U inversível) [ ] (4) Se A = P LUP com U =, qual é a solução geral de Ax = b? Aula 11 (23 de maio) Determinante Motivação, exemplos, unicidade (1) Calcule o determinante de (2) Calcule o determinante de 0 n n n n

5 5 (3) Sejam u, v R 3 Definimos w = u v como o vetor que satisfaz, para todo p R 3, a equação: u 1 v 1 p 1 det u 2 v 2 p 2 = p, w u 3 v 3 p 3 Calcule as coordenadas de w em função das de u e v (4) Mostre que u v é ortogonal a u e a v Aula 12 (28 de maio) Determinante do produto Volume e área Aplicação do T4 (1) Seja A = P LU Como é que você calcularia o determinante de A? (2) Seja A uma matriz com coeficientes inteiros, inversível e com inversa a coeficientes inteiros Mostre que det(a) = ±1 ([ ]) a c (3) Sejam a e b inteiros Mostre que existem c e d inteiros tais que det = b d 1, se e somente se a e b são relativamente primos (ie, mdc(a, b) = 1) (4) Seja A uma matriz com coeficientes reais, de módulo menor ou igual a H Mostre que det A ( nh) n Aula 13 (4 de junho) Comparação da regra de cramer, PLU e escalonamento Aula 14 (6 de junho) Matrizes representadas por blocos Aula 15 (11 de junho) Números complexos e o Teorema Fundamental da Álgebra Aplicação do T5 12 de junho 17:00 19:00: PROVA 2 Aula 16 (13 de junho) Autovalores e autovetores (1) Ache os autovalores e uma base de autovetores para a matriz [ ] 1 2 (2) Para quais valores de t a matriz possui um autovalor com multiplicidade dois? [ ] cos(θ) sen(θ) t 1 (3) Ache os autovalores e autovetores complexos da matriz A = sen(θ) cos(θ) (4) Mostre que para todo λ C, existe uma matriz real 2 2 com autovalores λ e λ Aula 17 (18 de junho) Teorema: se uma matriz n n admite n autovalores reais (resp complexos), então ela é diagonalizável sobre os reais (resp complexos) (1) Produza uma matriz que não possa ser diagonalizada sobre C

6 6 (2) Seja p(λ) = λ 2 + p d 1 λ d p 0 A matriz C p = 1 p 0 p 1 p d 1 p d é chamada de matriz companheira de p Mostre que os autovalores de C p são exatamente as raizes de p (3) Assuma que as raizes de p são diferentes 2 a 2 Produza uma base de autovetores de C p (4) Sejam A e B duas matrizes n n, cada uma com autovalores diferentes dois a dois Assuma também que AB = BA Mostre que todo autovetor de A é autovetor de B Aula 18 (20 de junho) Equações diferenciais ordinárias (1) Resolva o circuito RC (sem inductância), com condição inicial q(0) = q 0 (2) Consideramos agora que o circuito RLC acima está está submetido a um potencial externo dado por u(t) (Por exemplo, podemos acoplar uma antena!) A equação diferencial agora é: (1) q(t) + RL 1 q(t) + 1 q(t) = u(t) LC e chamamos a equação (2) q(t) + RL 1 q(t) + 1 LC q(t) = 0 de equação homogênea associada Mostre que o conjunto das soluções de (1) é da forma q 0 (t) + S onde q 0 (t) é uma solução particular de (1) e S é o espaço das soluções da equação homogênea associada (2)

7 7 (3) Considere o problema de valor inicial: { ẋ(t) = λx(t) + u(t) x(0) = 0 onde x(t) e u(t) são funções de R em C, e λ C Mostre que o operador que associa a solução x(t) à entrada u(t) é um operador linear (4) Ainda para o mesmo problema de valor inicial: Mostre que a solução x(t), se escreve como t x(t) = e λt e λs u(s) ds 0 Aula 19 (25 de junho) Movimentos rígidos: definição e caracterização Aplicação do T6 (1) Mostre que todas as matrizes ortogonais 2 2 são da forma [ ] [ ] cos(θ) +sen(θ) cos(θ) sen(θ) ou sen(θ) cos(θ) sen(θ) cos(θ) (2) Seja C = {( 1, 1); ( 1, +1); (+1, +1); (+1, 1)} Ache todos os movimentos rígidos que levam todos os pontos de C em pontos de C (3) Escreva as matrizes 3 3 representando uma rotação de ângulo π/3 no eixo do vetor e 2 (4) Seja Q uma rotação, seguida por uma translação de v Escreva esse movimento rígido como uma translação seguida de uma rotação Aula 20 (27 de junho) O grupo ortogonal (1) Escreva a matriz correspondente à simetria ortogonal de R 3 que leva um vetor u arbitrário no vetor e 1 (Aqui e nos próximos exercícios, assuma que u e e 1 não são colineares) (2) Seja u 0 R 3 Escreva a matriz de rotação de ângulo π/6 em torno do vetor u (3) Escreva a matriz 4 4 representando a rotação do exercício anterior, seguido T da translação pelo vetor (4) Mostre que se Q O(n), então det(q) = 1 Deduza que o conjunto O(n) tem pelo menos dois componentes distintos (rotações e simetrias) Aula 21 (2 de julho) O processo de Gram-Schmidt (1) Calcule (pelo método de sua escolha) a decomposição QR da matriz A = (2) Considere a seguinte recorrência É dada uma matriz A 1 simétrica de tamanho n n Indutivamente, A i = Q i R i é a sua decomposição QR (obtida pelo método de Gram-Schmidt) Então fazemos A i+1 = R i Q i Mostre que as A i são todas simétricas

8 8 (3) Nas hipóteses do exercício anterior, mostre que os autovalores de A 1 e de A i são os mesmos (4) Ainda nas hipóteses do exercício anterior, se C = lim i A i existe A 1 é simétrica, mostre que C é diagonal Assuma os autovalores de A diferentes 2 a 2 Aula 22 (4 de julho) Matrizes simétricas e o Teorema Espectral (1) Mostre que se S é positiva definida, então existe uma matriz R simétrica positiva definida, conhecida com raíz quadrada de S, tal que S = R 2 Ela é única? (2) Seja f(x, y) = Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 F Qual é o lugar geométrico da curva f(x, [ y) ] = 0? Existem diversas possibilidades em função da matriz simétrica A B B C (3) Considere agora a cônica em R n, de equação x T Sx+v T x f = 0 A matriz S é simétrica Assuma que nenhum dos seus autovalores se anule Quais são as possibilidades para o lugar geométrico dessa cônica? (4) Escreva todas as matrizes n n que são simétricas e ortogonais 12 de julho 17:00 19:00: PROVA 3 19 de julho 17:00 19:00: PROVA FINAL 24 de julho 17:00 19:00: PROVA DE SEGUNDA CHAMADA