Unidade 22 - Teorema espectral para operadores simétricos, reconhecimento de cônicas. A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa

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1 MA33 - Introdução à Álgebra Linear Unidade 22 - Teorema espectral para operadores simétricos, reconhecimento de cônicas A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa PROFMAT - SBM 10 de agosto de 2013

2 Teorema espectral para operadores simétricos Vimos na unidade anterior que se T : V V é um operador diagonalizável, então existe uma base de V formada por autovetores de T. Nesta unidade, veremos que se V é um espaço com produto interno e se T : V V é um operador simétrico, então existe uma base ortonormal de V formada por autovetores de T. Em particular, todo operador simétrico é diagonalizável. Este resultado é conhecido como Teorema Espectral e é um dos resultados mais importantes da Álgebra Linear. Apresentaremos duas versões do Teorema Espectral: a versão para operadores lineares simétricos e sua versão matricial. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 2/10

3 Teorema espectral para operadores simétricos Teorema Espectral: Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Se T : V V é um operador simétrico, então existe uma base ortonormal β de V tal que [T β β é diagonal. Aqui, apresentaremos alguns fatos que são usados para obter uma demonstração do Teorema Espectral. Todo operador linear T : V V possui um subespaço invariante F V, isto é T (F ) F, de dimensão 1 ou 2. Prova: Como dim(v, V ) = n 2, onde n = dim V, segue que os operadores I V, A, A 2,..., A n2 são LD. Logo, existem constantes α 0, α 1, α 2,..., α n 2 tais que α 0 I V + α 1 A + α 2 A α n 2A n2 = 0. Se α n 2 0, podemos supor α n 2 = 1. Agora, considere o polinômio PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 3/10

4 Teorema espectral para operadores simétricos p(x) = α 0 + α 1 x + α 2 x α n 2x n2 e sua decomposição p(x) = p 1 (x) p 2 (x) p k (x), onde cada p i é um polinômio mônico irredutível de grau 1 ou 2. Assim, p 1 (A) p 2 (A) p k (A) = 0 implicando que existe i tal que p i (A) não é invertível, donde obtemos o resultado desejado. Seja T : V V um operador linear simétrico. Se o subespaço F V é invariante por T, isto é T (F ) F, seu complemento ortogonal também é invariante por T. Prova: Exercício ao leitor. Utilizando os fatos apresentados, juntamente com o Princípio de Indução (aplicado sobre a dimensão do espaço vetorial), obtém-se uma demonstração do Teorema Espectral. Versão Matricial: Se A M(n) é simétrica, então existe uma matriz ortogonal P M(n) tal que P 1 AP (= P t AP) é diagonal. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 4/10

5 Mostraremos como, por meio do Teorema Espectral, é possível fazer o reconhecimento de cônicas. Ressaltamos que nosso objetivo não é o de introduzir cônicas. Consideremos a equação geral do segundo grau nas duas variáveis x e : ax 2 + bx + c 2 + dx + e + f = 0, onde a, b, c, d, e e f são números reais dados. Mostra-se que a equação dada representa uma cônica ou uma reta ou duas retas ou um ponto ou nenhum lugar geométrico. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 5/10

6 Exemplo: Vejamos que lugar geométrico em R 2 a equação 4x x = 0 representa. Note que a equação dada é equivalente à equação 4(x 2 2x) + 9( 2 4) = 4. Completando os quadrados, obtemos 4(x 1) 2 + 9( 2) 2 = 36, ou seja, (x 1) 2 ( 2)2 + = que é a equação reduzida de uma elipse de centro (1, 2). PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 6/10

7 Observe que no exemplo visto o termo x da equação geral, chamado termo misto da equação, não aparece. Neste caso, a técnica usualmente utilizada é a técnica de completar quadrados. Porém, em equações em que o termo misto aparece, precisamos de uma álgebra mais avançada para reduzirmos a equação dada. Para isto, consideremos a equação geral escrita na forma matricial abaixo: Sendo A = [ x [ a b 2 b [ a b 2 b 2 c 2 c [ x + [ d e [ x + [f = [0. uma matriz simétrica, pelo Teorema Espectral, existe uma base ortonormal β de R 2 formada por autovetores de T A. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 7/10

8 Assim, se k 1 e k 2 são autovalores de T A, existem vetores v 1 e v 2 associados a k 1 e k 2, respectivamente, tais que β = {v 1, v 2 } é uma base ortonormal de R 2. Desta forma, a matriz P = [v1 t v 2 t diagonaliza A ortogonalmente, isto é: [ k1 0 D = = P 1 AP 0 k 2 e P 1 = P t. Portanto, A = PDP t. Substituindo na equação geral, obtemos ( [ x ( [ ) P)D P t x + [ d e [ x + [f = [0. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 8/10

9 Escrevendo P t [ x [ x = [ x D [ x [ x, temos que + [ d e [ x P Se v 1 = (p, q) e v 2 = (m, n), obtemos [ x = P + [f = [0. k 1 x 2 + k (dp + eq)x + (dm + en) + [f = [0.. Daí, Como a equação obtida não apresenta o termo misto, podemos completar quadrados e assim determinar o lugar geométrico em R 2 dado pela equação geral. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 9/10

10 Exemplo: Vamos determinar que lugar geométrico a equação 5x 2 + 4x = 0 representa. Neste caso, temos que a = 5, b = 4, c = 5, d = e = 0 e f = 12. Com um cálculo simples obtemos k 1 = 3 e k 2 = 7, logo a equação dada é equivalente à equação que representa uma elipse. 3x = 12, Observação: A álgebra utilizada, para reduzirmos a equação geral de uma cônica, pode ser usada para simplificarmos a equação geral de uma superfície quádrica. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 10/10