Nota: Turma: MA 327 Álgebra Linear. Terceira Prova. Boa Prova! Primeiro Semestre de T o t a l

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1 Turma: Nota: MA 327 Álgebra Linear Primeiro Semestre de 26 Terceira Prova Nome: RA: Questões Pontos Questão 1 Questão 2 Questão 3 Questão 4 Questão 5 T o t a l Boa Prova!

2 Questão Pontos) Seja U um subespaço de P 3 IR) tendo como base β { x x 2 +x 3, 1+x+x 2 }. Considere a transformação linear T : U P 2 IR) dada por: T px)) p x) + x + 1)p). 1 1 Considere que [T ] β γ 2 1, onde γ é uma base para P 2 IR). Pede se: a) Determine [px)] β sabendo que [T px))] γ 3. b) Se γ { x 1, p 1 x), p 2 x) }, determine o polinômio qx) p 1 x) p 2 x). Questão 2. Considere o espaço vetorial real C 1 [, 1]), isto é, Verifique se cada uma das aplicações a) C 1 [, 1]) { f C 1 [, 1]) / f1) }. f x)gx)dx b) 2. Pontos) f x)g x)dx define um produto interno no espaço vetorial C 1 [, 1]). Justifique sua resposta. Questão Pontos) Sejam V um espaço vetorial real munido do produto interno, e 2 a norma Euclidiana. Pede se: a) Mostre que se θ é o ângulo entre os elementos u, v V, não nulos, então u + v 2 2 u v u 2 v 2 cosθ). b) Mostre que se β { q 1,, q n } é um conjunto ortonormal em V, então β é um conjunto linearmente independente em V. Questão 4. Considere o espaço vetorial real P 2 IR) com o produto interno p, q x 2 px)qx)dx ; p, q P 2 IR). 2. Pontos) Determine uma base para o complemento ortogonal do subespaço S [1 + x] em P 2 IR) com relação ao produto interno, definido acima. Questão 5. Considere o espaço vetorial real P 2 IR) com o produto interno 2. Pontos) p, q px)qx)dx ; p, q P 2 IR). Determine a melhor aproximação do polinômio qx) 1 x 2 no subespaço P 1 IR).

3 G A B A R I T O Questão 1. Chamando [px)] β [ ] a. b 2. Pontos) Sabemos que [T px))] γ [T ] β γ [px)] β. Assim, obtemos o seguinte sistema linear 1 1 [ ] 2 1 a b a + b 1 2a + b 3 a + 2b que tem uma única solução a 2 e b. Logo, [px)] β [ ] 2. { a + b 1 b 1 Chamando β { q 1 x), q 2 }, onde q 1 x) x x 2 + x 3 e q 2 x) 1 + x + x 2. Conhecemos a matriz [T ] β γ, onde γ { x 1, p 1 x), p 2 x) }. Assim, temos que T q 1 x)) x 1) + 2p 1 x) + p 2 x) T q 2 x)) x 1) + p 1 x) + 2p 2 x). 1) Tomando T px)) p x) + x + 1)p), vamos calcular T q 1 x)) 1 2x + 3x 2 T q 2 x)) 1 + 2x + x + 1) 3x ) Substituindo 2) em 1), obtemos um sistema linear nas incógnitas p 1 x) 2p 1 x) + p 2 x) 3x 2 3x + 2 p 1 x) + 2p 2 x) 2x + 3 e p 2 x) Fazendo a primeira equação menos a segunda equação, obtemos o que completa a resolução da questão. p 1 x) p 2 x) 3x 2 5x 1,

4 Questão Pontos) a) Note que a aplicação, definida por: não satisfaz a propriedade de simetria. De fato, f x)gx)dx ; f, g C 1 [, 1]) f x)gx)dx g x)fx)dx g, f. Por exemplo, tomando as funções fx) 1 x e gx) 1 x 2, temos que x 2 1 )dx 2 3 Portanto, f, g g, f. e g, f Além disso, podemos verificar facilmente que a aplicação de positividade. De fato, f, f f x)fx)dx 1 2 2x 2 2x )dx 1 3, não satisfaz a propriedade f 2 x)) dx 1 2 f 2 1) f 2 ) ) 1 2 f 2 ), onde f1). Logo, a aplicação, não define um produto interno no espaço vetorial C[, 1 1]). b) Podemos verificar facilmente que a aplicação, definida por: f x)g x)dx ; f, g C 1 [, 1]) satisfaz as propriedades de simetria, homogeneidade e distributividade. De fato, λf, g f x)g x)dx λf) x)g x)dx g x)f x)dx g, f ; f, g C 1 [, 1]). λf x)g x)dx λ para todas funções f, g C 1 [, 1]) e λ IR. f x)g x)dx λ f, g f + g, h f + g) x)h x)dx f x)h x)dx + g x)h x)dx f, h + g, h ; f, g C 1 [, 1]).

5 Vamos mostrar que a aplicação, satisfaz a propriedade de positividade. De fato, f, f pois o integrando é uma função contínua positiva. Agora, supomos que f, f f x) ) 2 dx, f x) ) 2 dx. Como f é uma função contínua, temos que f x) para todo x [, 1]. Logo, f é uma função constante em [, 1], entretanto, f1). Assim, a única função constante no espaço C[, 1 1]) é a função identicamente nula f ), isto é, fx) para todo x [, 1]. Portanto, a aplicação, define um produto interno no espaço vetorial C[, 1 1]). Questão Pontos) a) Considerando que V é um espaço vetorial real, temos que u + v 2 2 u + v, u + v u, u + 2 u, v + v, v. Agora utilizando o fato que θ é o ângulo entre os elementos u e v, não nulos, temos que cosθ) Portanto, obtemos a relação u, v u 2 v 2 u, v u 2 v 2 cosθ). u + v 2 2 u v u 2 v 2 cosθ) que é denominada Lei do Paralelogramo. b) Tomando a combinação linear nula dos elementos do conjunto β c 1 q c i q i + + c n q n V, e fazendo o produto interno de ambos os membros com um elemento q j c 1 q 1, q j + + c i q i, q j + + c n q n, q j. Usando o fato que β é um conjunto ortonormal, isto é, q i, q j para i j obtemos q i, q j 1 para i j c j para j 1,, n. Portanto, mostramos que β é um conjunto linearmente independente em V. β temos que

6 Questão Pontos) Chamando px) 1 + x, temos que o subespaço S [px)] P 2 IR). O subespaço S é definido por: S { q P 2 IR) / r, q ; r S }. Tomando um elemento genérico qx) a + bx + cx 2 S, sabemos que p, q. Assim, temos que p, q x x)a + bx + cx 2 )dx x 2 + x 3 )a + bx + cx 2 )dx ax 2 + bx 3 + cx 4 + ax 3 + bx 4 + cx 5 )dx ax 2 + cx 4 + bx 4 )dx Calculando a integral, resulta a seguinte equação 2 3 a c b Resolvendo a equação acima para a incógnita c, temos que c 5 3 a b. Portanto, todo elemento qx) S é escrito como: qx) a + bx + 53 ) a b x x2 ) a + x x 2 ) b para a, b IR. Desse modo, uma base para o subespaço S é formada pelos elementos completando a resolução da questão. q 1 x) x2 e q 2 x) x x 2,

7 Questão Pontos) A melhor aproximação do elemento qx) 1 x 2 no subespaço P 1 IR) P 2 IR) é dada pela projeção ortogonal do elemento qx) sobre o subespaço P 1 IR). Inicialmente, vamos obter uma base ortogonal β { q 1 x), q 2 x) } para o subespaço P 1 IR) a partir da base canônica β { p 1 x) 1, p 2 x) x }, através do Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt. Desse modo, escolhemos q 1 x) p 1 x) 1. Agora, vamos construir o elemento q 2 x) da seguinte forma: q 2 x) p 2 x) α 12 q 1 x) ortogonal ao subespaço gerado pelo elemento q 1 x). Assim, temos que α 12 p 2, q 1 p 2, q Logo, o elemento q 2 x) x 1 2, completando a base ortogonal β { q 1 x), q 2 x) }. Finalmente, vamos determinar a projeção ortogonal, qx), do elemento qx) 1 x 2 subespaço P 1 IR) que é dada por: no qx) q, q 1 q 1, q 1 q 1x) + q, q 2 q 2, q 2 q 2x) onde q 1, q 1 dx 1 e q 2, q 2 x 1 ) 2 dx q, q 1 q, q 2 1 x 2 )dx x 2 ) x 1 ) dx Portanto, temos que qx) 2 3 x 1 ) x, o que completa a resolução da questão.