Unidade 1 - O que é Álgebra linear? A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa. 9 de agosto de 2013

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1 MA33 - Introdução à Álgebra Linear Unidade 1 - O que é Álgebra linear? A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa PROFMAT - SBM 9 de agosto de 2013

2 O que é Álgebra linear? Atualmente, a álgebra linear tornou-se bastante útil na resolução de problemas de aproximações, interpolações, reconhecimento de quádricas e outros. Conceitos básicos de Álgebra Linear são normalmente ensinados em praticamente todos os cursos de graduação nas áreas de Ciências Exatas e um aprofundamento deles é essencial para os cursos de Matemática e Física. Por outro lado, o conhecimento de fatos e resultados básicos da álgebra linear auxiliam o professor, que atua no ensino médio, numa melhor compreensão e transmissão de alguns conteúdos abordados, tais como: resolução de sistemas de equações lineares e reconhecimento de cônicas. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 2/14

3 Corpos Para o estudo dos resultados envolvidos em Álgebra Linear, faz-se necessário relembrar o conceito de corpo. Estrutura algébricas que inclui, além dos números reais, o conjunto dos números complexos. Um conjunto K será chamado de corpo se for munido de uma operação de adição + e uma operação de multiplicação, verificando as condições a seguir: A1. A adição é associativa: (a + b) + c = a + (b + c), quaisquer a, b, c K; A2. A adição é comutativa: a + b = b + a, quaisquer a, b K; A3. A adição possui elemento neutro: existe 0 K tal que a+0 = a, qualquer a K; A4. A adição possui simétricos: para todo a K, existe a K tal que a + ( a) = 0; PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 3/14

4 Corpos M1. A multiplicação é associativa: (a b) c = a (b c), quaisquer a, b, c K; M2. A multiplicação é comutativa: a b = b a, quaisquer a, b K; M3. A multiplicação possui elemento neutro: existe 1 K {0} tal que a 1 = a, qualquer a K; A4. A multiplicação possui inversos: para todo a K {0}, existe a 1 K tal que a a 1 = 1; AM. A multiplicação é distributiva com relação à adição: para quaisquer a, b, c K vale a (b + c) = a b + a c. São corpos os conjuntos Q, R e C, com as suas respectivas adições e multiplicações. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 4/14

5 Espaços vetoriais A seguir definiremos espaços vetoriais e apresentaremos alguns exemplos que auxiliaram para o entendimento do conceito. Definição: Um conjunto não vazio V é um espaço vetorial sobre um corpo K se em seus elementos, denominados vetores, estiverem definidas as seguintes duas operações: (A) A cada par u, v de vetores de V corresponde um vetor u+v V, chamado de soma de u e v, de modo que: A1. Propriedade associativa: (u+v)+w = u+(v+w), u, v, w V ; A2. Propriedade comutativa: u + v = v + u, u, v V ; A3. Vetor nulo: existe 0 V tal que v + 0 = v, v V ; A4. Simétrico: para todo v V, existe v V tal que v+( v) = 0; PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 5/14

6 Espaços vetoriais (M) A cada par α K e v V, corresponde um vetor α v V, denominado produto escalar de α por v de modo que: M1. Propriedade associativa: (αβ) v = α(β v), α, β K e v V ; M2. 1 v = v, v V onde 1 denota o elemento neutro multiplicativo de K; D1. α (u + v) = α u + α v, α K e u, v V ; D2. (α + β) v = α v + β v, α, β K e v V. A seguir, apresentamos alguns exemplos de espaços vetoriais. Entretanto, deixamos a cargo do leitor a verificação das propriedades A1 A4, M1 M2 e D1 D2. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 6/14

7 Espaços vetoriais Todo corpo é um espaço vetorial sobre si mesmo, vendo suas operações internas como a soma de vetores e a multiplicação por escalar; O corpo R é um espaço vetorial sobre Q, vendo as operações internas de R como a soma de vetores e a multiplicação por escalar; Sendo K um corpo, o conjunto K n = K K }{{} {(a 1,..., a n ) : a i K} tem uma estrutura de espaço vetorial, sobre K, bastante natural com as operações: (a 1,..., a n ) + (b 1,..., b n ) = (a 1 + b 1,..., a n + b n ); α (a 1,..., a n ) = (αa 1,..., αa n ). n = PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 7/14

8 Espaços vetoriais O conjunto K[x] dos polinômios com coeficientes em um corpo K forma um espaço vetorial sobre K. Para cada n N, os conjuntos K[x] n = {p(x) K[x] : grau(p(x)) n} {0} também são espaços vetoriais sobre K. Aqui estamos considerando tais conjuntos munidos das operações usuais de soma de funções e multiplicação de funções por escalares. O conjunto M(m, n) das matrizes com m-linhas e n-colunas com coeficientes em K é um espaço vetorial, sobre K, com as operações de soma de matrizes e multiplicação por escalar. Na próxima unidade, voltaremos a estudar este exemplo de forma mais detalhada. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 8/14

9 Sistemas de Equações Lineares Em matemática pura, a teoria de sistemas lineares é um ramo da álgebra linear. Também na matemática aplicada, podemos encontrar vários usos dos sistemas lineares. Exemplos são a física, a economia, a engenharia, a biologia, a geografia, a navegação, a aviação, a cartografia, a demografia, a astronomia. Seja n um natural. Chama-se equação linear a n incógnitas toda equação do tipo a 1 x 1 +a 2 x 2 + +a n x n = b, em que a 1, a 2,..., a n, b são constantes reais e x 1, x 2,..., x n são denominadas de incógnitas. Chamamos cada a i de coeficiente de x i e b de termo independente da equação. Sejam m e n naturais. Chama-se sistema linear a m equações e n incógnitas todo sistema com m equações lineares, todas às mesmas n incógnitas. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 9/14

10 Sistemas de Equações Lineares Denotaremos um sistema linear a m equações e n incógnitas como se segue: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m O subconjunto S = {(c 1, c 2,..., c n ) R n : a i1 c 1 +a i2 c 2 + +a in c n = b i, 1 i m} de R n é chamado de conjunto solução do sistema acima. É precisamente este conjunto que queremos determinar ou descrever o mais explicitamente possível. Desde a antiguidade, em diversas áreas do conhecimento, muitos problemas são modelados matematicamente por sistemas de equações lineares. Por exemplo: PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 10/14

11 Sistemas de Equações Lineares Um par de tênis, duas bermudas e três camisetas custam juntos R$ 100, 00. Dois pares de tênis, cinco bermudas e 8 camisetas custam juntos R$ 235, 00. Quanto custam juntos um par de tênis, uma bermuda e uma camiseta? Este problema pode ser modelado utilizado um sistema de equações lineares (Exercício ao leitor). Qual o conjunto solução do sistema encontrado? Você consegue responder ao problema sem conhecer o conjunto solução? Para resolver um sistema linear, o modificaremos gradativamente, por meio de uma sequência de transformações elementares, em um sistema mais simples de resolver, onde por transformação elementar de um sistema entendemos uma das seguintes transformações: PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 11/14

12 Sistemas de Equações Lineares Trocar a posição relativa de duas equações do sistema; Trocar uma equação pela soma membro a membro da própria equação com um múltiplo de outra; Trocar uma equação dada por um de seus múltiplos (i.e., a equação obtida multiplicando ambos os membros da equação dada por um número real não nulo). Diremos que dois sistemas lineares são sistemas equivalentes, se pudermos obter um sistema do outro a partir de uma sequência finita de transformações elementares. É imediato verificar que: Sistemas de equações lineares equivalentes possuem mesmo conjunto solução. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 12/14

13 Sistemas de Equações Lineares Note que o que há de essencial em um sistema de equações lineares são os coeficientes das equações que o formam, além dos números que compõem os segundos membros das equações. Consideremos os vetores (a i1, a i2,..., a in, b i ) de R n+1 que representam os coeficientes das equações do sistema acrescidos dos segundos membros e os organizemos como linhas de uma tabela, chamada de matriz ampliada do sistema, como segue: a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b a m1 a m2 a mn b m Dentre os sistemas de equações lineares, ocupam lugar de destaque os sistemas homogêneos, ou seja, aqueles sistemas tais que b 1 = = b n = 0. Esses sistemas possuem peculiaridades não compartilhadas pelos sistemas mais gerais. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 13/14

14 Sistemas de Equações Lineares Por exemplo, o vetor (0, 0,..., 0) pertence ao conjunto de soluções do sistema. Além disso, se os vetores u = (c 1, c 2,..., c n ) e v = (d 1, d 2,..., d n ) são soluções do sistema, e se α R, então os vetores u + v = (c 1 + d 1, c 2 + d 2,..., c n + d n ) e α u = (αc 1, αc 2,..., αc n ) também são soluções do sistema. Assim, resulta que o espaço das soluções do sistema é um espaço vetorial sobre R. Deixamos a cargo do leitor a verificação deste fato. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 14/14