Espaços Vetoriais. Prof. Márcio Nascimento.

Transcrição

1 Espaços Vetoriais Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Linear de junho de / 12

2 Sumário 1 Introdução 2 2 / 12

3 Sumário 1 Introdução 2 3 / 12

4 Depois que a teoria matricial se estabeleceu no final do século XIX, percebeu-se que muitos entes matemáticos que eram considerados bastante diferentes de matrizes, eram de fato muito semelhantes. 4 / 12

5 Depois que a teoria matricial se estabeleceu no final do século XIX, percebeu-se que muitos entes matemáticos que eram considerados bastante diferentes de matrizes, eram de fato muito semelhantes. Por exemplo, objetos tais como os pontos do plano R 2, os pontos no espaço R 3, polinômios, funções contínuas e funções diferenciáveis (para citar apenas algumas) foram reconhecidos por satisfazer as mesmas propriedades aditivas e propriedades dadas na multiplicação por escalar como no caso das matrizes. 4 / 12

6 Depois que a teoria matricial se estabeleceu no final do século XIX, percebeu-se que muitos entes matemáticos que eram considerados bastante diferentes de matrizes, eram de fato muito semelhantes. Por exemplo, objetos tais como os pontos do plano R 2, os pontos no espaço R 3, polinômios, funções contínuas e funções diferenciáveis (para citar apenas algumas) foram reconhecidos por satisfazer as mesmas propriedades aditivas e propriedades dadas na multiplicação por escalar como no caso das matrizes. Ao invés de estudar cada tópico separadamente, observou-se que é mais eficiente e produtivo estudar vários casos ao mesmo tempo, de maneira generalizada. Isto levou à definição axiomática de um espaço vetorial. 4 / 12

7 Sumário 1 Introdução 2 5 / 12

8 Um espaço vetorial E sobre R é um conjunto não vazio no qual estão definidas duas operações chamadas ADIÇÃO (+ : E E E) e MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR ( : R E E) satisfazendo as seguintes propriedades (ou axiomas) para quaisquer u, v, w E e α, β R: (A1) u + v E (A2) (u + v) + w = u + (v + w) (A3) u + v = v + u (A4) 0 E ; u + 0 = u (A5) Para cada u E existe u E tal que u + ( u) = 0 (M1) α.u E (M2) (α.β).u = α.(β.u) (M3) α.(u + v) = α.u + α.v (M4) (α + β).u = α.u + β.u (M5) Existe α 0 R tal que α 0.u = u. A saber, α 0 = 1. 6 / 12

9 Exemplo E = R 2 é um espaço vetorial, se considerarmos a soma usual de pares ordenados e a multiplicação de par ordenado por escalar. 7 / 12

10 Exemplo E = R n é um espaço vetorial, se considerarmos a soma usual de vetores em R n e a multiplicação de n uplas por escalar. 8 / 12

11 Exemplo O conjunto de matrizes E = R m n é um espaço vetorial, se considerarmos a soma usual de matrizes e a multiplicação de matriz por escalar. 9 / 12

12 Exemplo Seja X um conjunto não vazio e considere o conjunto de todas as funções f : X R. Denotando tal conjunto por F(X ; R) e definindo (f + g)(x) = f (x) + g(x) temos um espaço vetorial. (α.f )(x) = α.f (x) 10 / 12

13 Regras Operacionais Num espaço vetorial E, são consequências dos axiomas: 11 / 12

14 Regras Operacionais Num espaço vetorial E, são consequências dos axiomas: Lei do Cancelamento: Se w + u = w + v então u = v 11 / 12

15 Regras Operacionais Num espaço vetorial E, são consequências dos axiomas: Lei do Cancelamento: Se w + u = w + v então u = v Dados 0 R e v E tem-se 0.v = / 12

16 Regras Operacionais Num espaço vetorial E, são consequências dos axiomas: Lei do Cancelamento: Se w + u = w + v então u = v Dados 0 R e v E tem-se 0.v = 0. Dados α R e 0 E tem-se α. 0 = 0 11 / 12

17 Regras Operacionais Num espaço vetorial E, são consequências dos axiomas: Lei do Cancelamento: Se w + u = w + v então u = v Dados 0 R e v E tem-se 0.v = 0. Dados α R e 0 E tem-se α. 0 = 0 Se α 0 e v 0 então α / 12

18 Regras Operacionais Num espaço vetorial E, são consequências dos axiomas: Lei do Cancelamento: Se w + u = w + v então u = v Dados 0 R e v E tem-se 0.v = 0. Dados α R e 0 E tem-se α. 0 = 0 Se α 0 e v 0 então α. 0 0 De fato, suponha por absurdo que α.v = 0. Temos: v = 1.v = ( 1 α.α).v = 1 α.(α.v) = 1 α. 0 = 0 Contradição 11 / 12

19 Regras Operacionais Num espaço vetorial E, são consequências dos axiomas: Lei do Cancelamento: Se w + u = w + v então u = v Dados 0 R e v E tem-se 0.v = 0. Dados α R e 0 E tem-se α. 0 = 0 Se α 0 e v 0 então α. 0 0 De fato, suponha por absurdo que α.v = 0. Temos: v = 1.v = ( 1 α.α).v = 1 α.(α.v) = 1 α. 0 = 0 Contradição ( 1).v = v 11 / 12

20 Exercícios Mostre que num espaço vetorial E, o vetor nulo 0 é único. 12 / 12

21 Exercícios Mostre que num espaço vetorial E, o vetor nulo 0 é único. Mostre que num espaço vetorial E, cada elemento u possui um único inverso aditivo u. 12 / 12

22 Exercícios Mostre que num espaço vetorial E, o vetor nulo 0 é único. Mostre que num espaço vetorial E, cada elemento u possui um único inverso aditivo u. Seja n um número inteiro positivo. Mostre que n.v = v + v v }{{} n vezes para qualquer v no espaço vetorial E. 12 / 12