Matrizes - Soma e Produto por Escalar

Transcrição

1 Prof. Márcio Nascimento UVA-CCET Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial de dezembro de 2015

2 Sumário 1 Representação de um conjunto de Matrizes 2 Operações Soma de Matrizes Produto por escalar 3 Matrizes e Imagens Digitais

3 Sumário 1 Representação de um conjunto de Matrizes 2 Operações Soma de Matrizes Produto por escalar 3 Matrizes e Imagens Digitais

4 Matriz Uma matriz nada mais é do que um conjunto de números reais (ou complexos) dispostos em linhas e colunas Por exemplo, [ ] é uma matriz formada por números reais com duas linhas e três colunas. Representaremos o conjunto de TODAS as matrizes (com elementos reais) com duas linhas e três colunas por R 2 3.

5 EXEMPLOS A = R [ ] (2i) (4 2i) (7i) (5) B = (0) ( 3 + 7i) (12i) (5 C 2 4 2i) A = C

6 GENERALIZANDO R n m - conjunto das matrizes de ordem n m com entradas reais; C n m - conjunto das matrizes de ordem n m com entradas complexas.

7 NOTAÇÃO a 11 a a 1m a 21 a a 2m A =... Rn m (ou C n m ) a n1 a n2... a nm a rs - elemento da LINHA r e COLUNA s; Por exemplo: a 14 - elemento da LINHA 1 e COLUNA 4; a 79 - elemento da LINHA 7 e COLUNA 9; a 81,109 - elemento da LINHA 81 e COLUNA 109; A = [a rs ] n m : r {1, 2,..., n} e s {1, 2,..., m}

8 EXEMPLO Esboçar a matriz A = [a rs ] R 4 3 tal que a rs = r 2 s. a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 41 a 42 a 43 (1 2 1) (1 2 2) (1 2 3) A = (2 2 1) (2 2 2) (2 2 3) (3 2 1) (3 2 2) (3 2 3) (4 2 1) (4 2 2) (4 2 3) A =

9 Importante Uma vez que todo número real também é um número complexo, podemos sempre nos referir a um conjunto de matrizes usando a notação C n m

10 Sumário 1 Representação de um conjunto de Matrizes 2 Operações Soma de Matrizes Produto por escalar 3 Matrizes e Imagens Digitais

11 Considere um conjunto Ω não vazio. Podemos obter uma estrutura algébrica ao definirmos uma operação ( ) entre os elementos de Ω; Os elementos de Ω, sob a influência da operação, possuem algumas propriedades; Se consideramos um conjunto de matrizes, então a Álgebra Matricial consiste da operação entre matrizes e suas propriedades.

12 EXEMPLO Considere o conjunto não vazio Ω = {matriculados em Álgebra Matricial no semestre } Operação: x y =mais bonito entre x e y Propriedade: x y = y x

13 IGUALDADE ENTRE MATRIZES Antes de definirmos as operações, vamos estabelecer que duas matrizes são IGUAIS quando possuem a mesma ordem e os elementos correspondentes (posições) são iguais. 3 9 Exemplo: 2 = [ ] (2 4i) Exemplo: [ (2 4i) (1 + 2i) ] (1 + 2i)

14 Soma de Matrizes Soma de Matrizes Considere duas matrizes A, B de mesma ordem n m. A soma A + B é a matriz também de ordem n m obtida pela soma das entradas de A, com as entradas de B, respeitando-se as posições. [ ] [ ] Exemplo: A =, B = [ ] (3 + 7) (2 + 0) (1 + 2) A + B = (4 + ( 5)) ( 1 + ( 4)) (5 + 2) [ ] A + B = 1 5 7

15 Soma de Matrizes Soma de Matrizes Considerando as matrizes [ ] A =, B = o que se pode dizer sobre a soma A + B? Não está definida, pois A tem ordem 2 3 e B tem ordem 3 3.

16 Soma de Matrizes Soma de Matrizes Usando a notação matricial: Se A = [a rs ] n m, B = [b rs ] n m, então A + B = [(a rs + b rs )] n m

17 Soma de Matrizes Soma de Matrizes Propriedades da Soma Sejam A = [a rs ] n m, B = [b rs ] n m e C = [c rs ] n m com entradas reais ou complexas. São válidas as seguintes propriedades: Associatividade: Comutatividade: A + (B + C) = (A + B) + C A + B = B + A Existência de Elemento Neutro: Existe uma matriz X 0 de ordem n m tal que A + X 0 = A qualquer que seja a matriz A de ordem n m. Existência de Inverso Aditivo: Para cada matriz A de ordem n m, existe uma matriz A tal que A + A = X 0.

18 Soma de Matrizes Soma de Matrizes EXEMPLO Qual o elemento neutro, com relação a operação SOMA, no conjunto de matrizes C 2 2? [ ] 0 0 = 0 = 0 0 Qual o inverso aditivo da matriz A = [ (3 + 2i) C 1 2? = A = [ ( 3 2i) (2 i) ] ( 2 + i) ] em

19 Soma de Matrizes Subtração Dadas duas matrizes A = [a rs ] e B = [b rs ], ambas de mesma ordem, definimos a subtração da seguinte forma: A B = A + ( B) Ou seja, A B = [a rs ] + [ b rs ] = [(a rs + ( b rs ))] = [(a rs b rs )] Isto é, a subtração de duas matrizes se dá elemento a elemento.

20 Soma de Matrizes Subtração EXEMPLO Considere as matrizes A = 4 5 6, B = A B = B A = Veja que, em geral, a subtração é NÃO COMUTATIVA.

21 Produto por escalar Produto por escalar O quadro abaixo mostra o preço de 1kg de duas marcas de arroz em quatro estabelecimentos diferentes de uma mesma cidade. A E 1 E 2 E 3 E 4 A 1 2, 20 2, 20 2, 10 2, 00 A 2 2, 30 2, 20 2, 20 2, 10 Os quatro estabelecimentos resolveram dar um desconto de 10% nos preços de todas as suas mercadorias. Como fica o novo quadro com os preços de arroz? B E 1 E 2 E 3 E 4 A 1 1, 98 1, 98 1, 89 1, 80 A 2 2, 07 1, 98 1, 98 1, 89

22 Produto por escalar Produto por escalar Vejamos as duas tabelas A B E 1 E 2 E 3 E 4 A 1 2, 20 2, 20 2, 10 2, 00 A 2 2, 30 2, 20 2, 20 2, 10 E 1 E 2 E 3 E 4 A 1 1, 98 1, 98 1, 89 1, 80 A 2 2, 07 1, 98 1, 98 1, 89 Podemos [ denotar cada quadro acima ] usando matrizes: 2, 20 2, 20 2, 10 2, 00 A = 2, 30 2, 20 2, 20 2, 10 [ ] 1, 98 1, 98 1, 89 1, 80 B = 2, 07 1, 98 1, 98 1, 89

23 Produto por escalar Produto por escalar Qual a relação entre as entradas correspondentes das matrizes A e B? [ ] 2, 20 2, 20 2, 10 2, 00 A = 2, 30 2, 20 2, 20 2, 10 [ ] 1, 98 1, 98 1, 89 1, 80 B = 2, 07 1, 98 1, 98 1, 89 a rs /b rs é sempre igual? Se foi dado um desconto de 10%, então o novo preço (matriz B) corresponde a 0,9 do preço antigo (matriz A), isto é: b rs = 0, 9.a rs para todas as entradas. Escreveremos B = 0, 9.A

24 Produto por escalar Produto por escalar Generalizando Seja A uma matriz de ordem n m e α um escalar (número real ou complexo). O produto do escalar α pela matriz A é definido por: α.a = [α.a rs ] a 11 a a 1m a 21 a a 2m α.... = a n1 a n2... a nm (α.a 11 ) (α.a 12 )... (α.a 1m ) (α.a 21 ) (α.a 22 )... (α.a 2m )... (α.a n1 ) (α.a n2 )... (α.a nm )

25 Produto por escalar Produto por escalar Propriedades Sejam A, B matrizes de mesma ordem e α, β escalares. α.(β.a) = (α.β).a α.(a + B) = α.a + α.b (α + β).a = α.a + β.a Existe um escalar x 0 tal que x 0.A = A para qualquer matriz A.

26 Produto por escalar Propriedades Encontremos o escalar x 0 tal que x 0.A = A para qualquer matriz A. Vamos resolver a equação x.a = A. x.a = A = x.[a rs ] = [a rs ] = [(x.a rs )] = [a rs ] = x.a rs = a rs para todo r {1,..., n}, s {1,..., n} = x = 1

27 Sumário 1 Representação de um conjunto de Matrizes 2 Operações Soma de Matrizes Produto por escalar 3 Matrizes e Imagens Digitais

28 Imagens em P & B: Matrizes com entradas 0 ou 1.

29

30

31 Representac a o de um conjunto de Matrizes Operac o es Matrizes e Imagens Digitais Imagens coloridas: tre s matrizes (R, G, B) com entradas entre 0 e 255. Prof. Ma rcio Nascimento UVA-CCET Curso de Licenciatura em Matema tica Disciplina: A lgebra Matricial

32 Cada uma das matrizes R, G, B guarda a intensidade da cor para cada pixel.

33 Alterar o brilho de uma fotografia, significa modificar a intensidade das cores, isto é, multiplicar uma (ou duas, ou três) das matrizes R,G,B por escalar(es).

34 Representac a o de um conjunto de Matrizes Operac o es r11 r21... R = [rij ] = r1920,1 G = [gij ] , 1.R, 1.G, 1.B Prof. Ma rcio Nascimento Matrizes e Imagens Digitais r12 r r1,1080 r2, r1920,2... r1920,1080 B = [bij ] α.r α.r, βg, γb UVA-CCET Curso de Licenciatura em Matema tica Disciplina: A lgebra Matricial