Material Teórico - Módulo Matrizes e Sistemas Lineares. Operações com Matrizes. Terceiro Ano do Ensino Médio

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1 Material Teórico - Módulo Matrizes e Sistemas Lineares Operações com Matrizes Terceiro Ano do Ensino Médio Autor: Prof Fabrício Siqueira Benevides Revisor: Prof Antonio Caminha M Neto

2 1 Operações com matrizes Neste módulo vamos definir algumas operações básicas com matrizes 11 Adição de matrizes Sejam A e B duas matrizes Para que seja possível somálas, é necessário que ambas tenham exatamente as mesmas dimensões Suponha, então, que A [a i,j ] m n e B [b i,j ] m n sejam do mesmo tipo (ambas m n) Chama-se de soma de A com B a matriz C A+B, também m por n, onde C [c i,j ] m n é tal que c i,j a i,j + b i,j para todos os índices i e j Assim, a soma de matrizes é calculada da seguinte forma: a 1,1 a 1,n b 1,1 b 1,n a,1 a,n + b,1 b,n a m,1 a m,n b m,1 b m,n a 1,1 + b 1,1 a 1,n + b 1,n a,1 + b,1 a,n + b,n a m,1 + b m,1 a m,n + b m,n Vejamos alguns exemplos numéricos Exemplo Exemplo O teorema seguinte é consequência das propriedades da adição entre números reais (ou complexos) Deixamos a sua demonstração como exercício O leitor interessado pode encontrá-la também em [1] Teorema 3 A soma de matrizes de números reais (ou complexos) goza das seguintes propriedades: (a) Associatividade: (A + B) + C A + (B + C), para quaisquer A, B e C de mesmo tipo (b) Comutatividade: A + B B + A, para quaisquer A e B de mesmo tipo (c) Elemento neutro aditivo: dados m, n N, a matriz nula N de dimensões m n é tal que A+N N+A A, para toda matriz A de dimensões m n (d) Inverso aditivo: Para toda matriz A, existe uma única matriz A tal que A + A é a matriz nula de mesmo tipo que A Observação 4 O (único) inverso aditivo da matriz A será, doravante, denotado por A e chamado de matriz oposta de A Ele é obtido invertendo-se o sinal de cada uma das entradas de A Assim, se A [a i,j ], temos que A [ a i,j ] 1 Produto de número por matriz O produto de um número por uma matriz também é conhecido como produto por escalar Dado um número k e uma matriz A, digamos m por n, o produto de k por A é a matriz B k A (ou simplesmente ka) onde B [b i,j ] m n é tal que b i,j k a i,j, para todos os índices i e j Assim, k A é uma matriz, também m por n, na qual cada entrada é obtida multiplicando-se a entrada correspondente de A por k Ainda de outra forma, o produto por escalar é calculado do seguinte modo: a 1,1 a 1,n k a 1,1 k a 1,n a,1 a,n k k a,1 k a,n a m,1 a m,n k a m,1 k a m,n Exemplo 5 Temos que: 3 π 3 π ( 1) 6 π Problema 6 Considere as matrizes: A [a i,j ] 3 tal que a i,j i + j para todos i e j, e B [b i,j ] 3 tal que b i,j ij Encontre a matriz A + B Solução 1 Seja C A + B e vamos denotar C [c i,j ] m n Usando as definições de produto por escalar e de soma de matrizes, temos que c i,j a i,j + b i,j, para todos os índices i e j Sendo assim, de forma que C c i,j (i + j ) + ij (i + j), (1 + 1) (1 + ) (1 + 3) ( + 1) ( + ) ( + 3) matematica@obmeporgbr

3 Solução Como as matrizes do enunciado são pequenas, podemos calcular uma a uma todas as entradas de cada uma delas: 1 A , e Por fim, B, B A + B Observação 7 É evidente que a primeira solução do Problema 6 é bem mais elegante do que a segunda A primeira solução nos mostra uma grande vantagem de se operar com matrizes: pensamos em matrizes como uma entidade abstrata única, tratando seus termos de forma genérica, sem a necessidade de calcular cada um deles individualmente (exceto na hora de exibir o resultado final) Nem toda matriz possui uma expressão tão simples para seu termo geral Ainda assim, a ideia de ver a matriz como uma entidade única é essencial 13 Produto matricial Estudaremos aqui o produto de duas matrizes, também conhecido como produto matricial Ao contrário da soma de matrizes, o produto não está necessariamente definido para matrizes de mesmas dimensões e não é feito entrada a entrada Ele é definido de uma maneira bastante peculiar que, quando vista pela primeira vez, pode não parecer natural Por isso, vamos começar discutindo um exemplo prático para motivar a definição de tal produto Exemplo 8 Uma confeitaria produz três tipos de bolos, vendidos em duas lojas A matriz A abaixo possui uma linha para cada loja, uma coluna para cada tipo de bolo e indica quantos bolos de cada tipo foram vendidos por cada loja em uma dada semana [ Bolo 1 Bolo Bolo 3] Loja A A Loja B 3 4 Temos também uma matriz B, onde cada linha corresponde a um dos bolos, cada coluna corresponde a um ingrediente do bolo e as entradas indicam as quantidades de cada ingrediente necessário para fabricar cada bolo Farinha Açucar Leite Manteiga Ovos Bolo g 00 g 500 ml 150 g 4 Bolo 400 g 100 g 300 ml 50 g 5 B Bolo g 150 g 600 ml 0 g 6 Qual a quantidade de ingredientes que cada loja precisou para produzir os bolos desta semana? Solução Queremos montar uma matriz C onde cada linha corresponde a uma loja e cada coluna corresponde a um ingrediente, a qual indique as quantidades de cada ingrediente usado por cada loja Para tanto, defina [ Farinha Açucar Leite Manteiga Ovos] Loja 1 c 1,1 c 1, c 1,3 c 1,4 c 1,5 C Loja c,1 c, c,3 c,4 c,5 Dessa forma, c 1,1 indica a quantidade de farinha usada pela Loja 1 Essa loja produziu 5 bolos do tipo 1, gastando 500 g de farinha em cada um, ou seja, 500 g de farinha; produziu 4 bolos do tipo, gastando 400 g de farinha em cada um, ou seja, 1600 g; e produziu 3 bolos do tipo 3, gastando 300 g de farinha em cada um, ou seja, 900 g Então, ao todo, a Loja 1 gastou gramas de farinha, de sorte que c 1, g Em resumo, para calcular c 1,1 tomamos os elementos da primeira linha de A, os multiplicamos um a um pelos elementos da primeira coluna de B e, em seguida, somamos os resultados: c 1, Vejamos outro exemplo Como calcular c,3, a entrada da segunda linha e terceira coluna de C? A linha corresponde à Loja e a coluna 3 corresponde ao ingrediente leite Vamos, então, olhar para a linha correspondente à Loja na matriz A, que indica os números de bolos de cada tipo produzidos por ela: (3,, 4); e para a coluna do leite na matriz B, que indica a quantidade de leite em cada tipo bolo: (500, 300, 600) Portanto, calculamos c,3 como abaixo: c, , isto é, c, ml Se calcularmos cada uma das demais entradas de C da mesma forma, obtemos a seguinte matriz: [ Farinha Açucar Leite Manteiga Ovos] Loja g 1850 g 5500 ml 1750 g 58 C Loja 3500 g 1400 g 4500 ml 950 g 46 matematica@obmeporgbr

4 A operação realizada no Exemplo 8 para obter C é justamente o que chamamos de produto matricial da matriz A pela matriz B Escreve-se C A B ou A B De modo geral, para que seja possível calcular o produto A B, é necessário que os tipos de A e B sejam compatíveis, no seguinte sentido: o número de colunas de A precisa ser igual ao número de linhas de B (observe que esse foi o caso no exemplo anterior, quando A era uma matriz 3 e B uma matriz 3 5) Suponha, pois, que A é do tipo m n, com entradas a i,j, e B é do tipo n p, com entradas b i,j O resultado do produto será uma matriz C [c i,j ] do tipo m p, de sorte que o produto matricial assume a forma: C m p A m n B n p Por fim, para todos os índices i e j de C, o valor de c i,j é obtido tomando-se os elementos de linha i de A e os da coluna j de B, multiplicando-os termo a termo e somandose os resultados (Veja a Figura 1 1 ) Em símbolos, para 1 i m e 1 j p, temos que: c i,j a i,1 b 1,j + a i, b,j + + a i,n b n,j n a i,k b k,j k1 O diagrama da Figura 1 é conhecido como esquema de Falk Para calcular C A B, escrevemos as matrizes A, B e C num quadro da seguinte forma: A Escrevemos as entradas de A e B normalmente e, em seguida, calculamos as entradas de C uma a uma Exemplo 9 Sejam A e B Como A é e B é 3, podemos realizar o produto matricial de A por B, obtendo a matriz C A B, a qual será 3 Montamos o quadro abaixo onde cada elemento de C (em vermelho) é obtido multiplicando-se, termo a termo, a linha e a coluna correspondentes a ele e, depois, somandose tais produtos: B C Sendo assim, C Adaptada de Alain Matthes Código original disponível em a i1 b 1j a ik b kj a 11 a 1k a 1n a i1 a ik a in a m1 a mk a mp A : m linhas, n colunas a in b nj B : n linhas, p colunas b 11 b 1j b 1p b k1 b kj b kp b n1 b nj b np c 11 c 1j c 1p c i1 c ij c ip c m1 c mk c mp C A B : m linhas, p colunas Figura 1: multiplicação de matrizes Com certa prática, podemos executar o mesmo método sem a necessidade de reescrever as matrizes A e B no quadro Exemplo 10 Sejam A e B Encontre o valor de A B Solução Como A A 3 e B B 3, o resultado é uma matriz 3 3, conforme calculado abaixo: ( 1) ( 1)( 5) ( 1) ( 5) ( 5) Ao contrário da adição, o produto entre duas matrizes não é comutativo (mas satisfaz as demais propriedades análogas às do Teorema 3) Para justificar a não comutatividade, note primeiramente que, mesmo quando A e B são compatíveis para realizar o produto A B, elas podem não ser compatíveis para B A Por exemplo, o produto A m n B n p é válido para todos m, n e p, mas quando p m não há 3 matematica@obmeporgbr

5 como realizar o produto B n p A m n Além disso, ainda que p m, o produto A m n B n m resulta em uma matriz m m, enquanto que o produto B n m A m n resulta em uma matriz n n Assim, basta que m n para que tais produtos sejam diferentes, como ilustra o próximo exemplo [ x Exemplo 11 Seja A e B y] [ z w ] 1 Temos que [ x A B y] Por outro lado, B A [ z [ z w ] xz xw 1 yz yw w ] 1 [ x y ] [ zx + wy ] 1 1 Por fim, mesmo no caso em que m n p, ou seja, todas as matrizes envolvidas são n n, o exemplo a seguir mostra que ainda é possível que os produtos A B e B A sejam diferentes Exemplo 1 Seja A e B 0 3 Podemos observar que: A B Por outro lado, B A Exemplo 13 Se A é uma matriz quadrada de ordem n e I n é a matriz identidade de ordem n, então I n A A I n A Solução Exercício! Dicas para o Professor Recomendamos que este material seja apresentado em dois encontros de 50 minutos O material da seção Multiplicação de matrizes é um tópico fundamental e bastante sensível dentro da teoria de matrizes É necessário fazer vários exemplos no quadro até que os alunos se acostumem com o método Para mostrar como calcular C A B, recomendamos começar usando o quadro do esquema de Falk, fazer outros exemplos (arbitrários) além dos que estão neste material, e depois seguir o mesmo método, porém omitindo as matrizes A e B do quadro Sugestões de Leitura Complementar 1 G Iezzi Os Fundamentos da Matemática Elementar, Volume 4: Matrizes Atual Editora, Rio de Janeiro, matematica@obmeporgbr