Esquações Lineares e Matrizes

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1 18 de março de 2012

2 Equações Lineares e Esquema da Assunto 1 Sistema Lineares 2 3 Produto escalar e Multiplicação de 4 Transformações Matriciais 5 Soluções de Sistemas de Equações Lineares 6 Inversa de uma matriz

3 Definição Uma equação linear é uma equação do tipo a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b (1) que expressa b em função de várias variáveis x 1, x 2, x 3,..., x n e das constantes conhecidas a 1, a 2,..., a n. Várias aplicações são modeladas por uma ou mais equações lineares e, o objetivo é encontrar possíveis valores para x 1, x 2,..., x n chamadas de incógnitas que satisfazem a equação (1).

4 Definição - solução Uma solução de uma equação linear (1) é uma sequência n de números s 1, s 2,..., s n que tem como propriedade satisfazer a expressão (1) quando x 1 = s 1, x 2 = s 2,..., x n = s n são sustituídas nessa expressão.

5 Definição - solução Uma solução de uma equação linear (1) é uma sequência n de números s 1, s 2,..., s n que tem como propriedade satisfazer a expressão (1) quando x 1 = s 1, x 2 = s 2,..., x n = s n são sustituídas nessa expressão. Podem existir três situações numa equação linear em termos de resolução da mesma: solução única, infinitas soluções ou não ter solução.

6 Definição Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas (x 1, x 2,..., x n é um conjunto de equações representado, convenientemente, na forma a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 2 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m

7 Os dois índices i e j significam, respectivamente, que estamos lidando com a i-ésima equação associado com a j-ésima variável. Desta forma a i-ésima equação é a i1 x 1 + a i2 x a in x n = b i

8 Os dois índices i e j significam, respectivamente, que estamos lidando com a i-ésima equação associado com a j-ésima variável. Desta forma a i-ésima equação é a i1 x 1 + a i2 x a in x n = b i Uma solução de um sistema linear é uma sequência de n s 1, s 2,, s n que satisfazem cada equação do sistema quando as variáveis assumem seus valores respectivamente.

9 Para encontrar a solução de sistema linear, devemos utilizar uma técnica denominada método de eliminação. Esta técnica permite eliminar gradativamente as incógnitas de um sistema até transformá-lo num sistema equivalente ao sistema original.

10 Para encontrar a solução de sistema linear, devemos utilizar uma técnica denominada método de eliminação. Esta técnica permite eliminar gradativamente as incógnitas de um sistema até transformá-lo num sistema equivalente ao sistema original. Assim como numa equação, uma sistema linear pode ter solução ou não, bem como infinitas(ou finitas) soluções. E a técnica do método de eliminação nos permite identificar cada situação desta.

11 Para encontrar a solução de sistema linear, devemos utilizar uma técnica denominada método de eliminação. Esta técnica permite eliminar gradativamente as incógnitas de um sistema até transformá-lo num sistema equivalente ao sistema original. Assim como numa equação, uma sistema linear pode ter solução ou não, bem como infinitas(ou finitas) soluções. E a técnica do método de eliminação nos permite identificar cada situação desta. Um sitema pode ter quantidades diferentes de equações em relação as incógnitas, ou seja, m < n, m > n, ou o caso clássico m = n.

12 O método de eliminação consiste em realizar repetidamente as seguintes operações: 1 Trocar de posição as duas equações. 2 Multiplicar uma equação por uma constante diferente de zero. 3 Adicionar um múltiplo de uma equação à outra.

13 Exemplo -1 Considere o sistema linear x + 2y + 3z = 6 2x 3y + 2z = 14 3x + y z = 2 Encontre a solução deste sistema utilizando o método de eliminação.

14 Exemplo - 2 Considere o sistema linear { x + 2y 3z = 4 2x + y 3z = 4 Encontre a solução deste sistema utilizando o método de eliminação.

15 Exemplo - 3 Uma refinaria produz combustível com alto e baixo teores de enxofre. Cada tonelada de combustível com baixo teor de enxofre precisa de 5 minutos no setor de mistura e 4 minutos no setor de refino; cada tonelada de combustível com alto teor de enxofre precisa de 4 minutos no setor de mistura e 2 no setor de refino. Se o setor de mistura está disponível por 3 horas e o setor de refino por 2 horas, quantas toneladas de cada tipo de combustível devem ser produzidas para que os setores não fiquem ociosos?

16 Definição Uma matriz A m n é um arranjo retangular de mn números reais (ou complexos) distribuídos em m linhas horizontais e n colunas verticais. A = a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n.... a i1 a i2 a ij a in.... a m1 a m2 a mj a mn

17 Simbologia e dimensão A dimensão ou ordem de uma matriz é dada pelo número de linhas(m) e colunas(n) que esta possui. Geralmente, representamos a ordem de uma matriz na forma m n

18 Simbologia e dimensão A dimensão ou ordem de uma matriz é dada pelo número de linhas(m) e colunas(n) que esta possui. Geralmente, representamos a ordem de uma matriz na forma m n Uma matriz n 1 ou 1 n são chamadas de matrizes coluna ou linha, respectivamente. A matriz coluna, em especial, é chamada de vetor de dimensão n ou simplesmente vetores. a = a 1 a 2. a n b = [ ] b 1 b 2 b n

19 especiais Matriz diagonal Uma matriz quadrada A = [a ij ] em que todas as entradas fora da diagonal principal é zero, isto é, a ij = 0 para i j, é chamada matriz diagonal A =

20 especiais Matriz diagonal Uma matriz quadrada A = [a ij ] em que todas as entradas fora da diagonal principal é zero, isto é, a ij = 0 para i j, é chamada matriz diagonal A = Exemplo de aplicação Mecanismos de busca para encontrar informaçõese acessar a Internet utilizam matrizes para rastrear as localizações da informação, tipo de informação em uma localização, palavras-chaves e sites da Web que se interligam.

21 Matriz Escalar Uma matriz diagonal em que todos os termos da diagonal principal são iguais, ou seja, a ij = c para i = j e a ij = 0 para i j, é chamada matriz escalar. I = Matriz Identidade

22 Operações matriciais Adição de Se A = [a ij ] e B = [b ij ] são matrizes m n, então a soma de A e B é a matriz C = [c ij ], m n, definida por c ij = a ij + b ij (1 i m, 1 j n).

23 Operações matriciais Adição de Se A = [a ij ] e B = [b ij ] são matrizes m n, então a soma de A e B é a matriz C = [c ij ], m n, definida por c ij = a ij + b ij (1 i m, 1 j n). A = [ ] B = [ ]

24 Operações matriciais Adição de Se A = [a ij ] e B = [b ij ] são matrizes m n, então a soma de A e B é a matriz C = [c ij ], m n, definida por c ij = a ij + b ij (1 i m, 1 j n). A = [ ] B = [ ] A + B = [ ( 4) ] = [ ]

25 Observações importantes A soma matricial só é permitida com matrizes de mesma dimensão. E o resultado, consequentemente, possui a mesma dimensão das matrizes somadas.

26 Observações importantes A soma matricial só é permitida com matrizes de mesma dimensão. E o resultado, consequentemente, possui a mesma dimensão das matrizes somadas. A adição matricial satisfaz as propriedades: A + (B + C) = (A + B) + C Associatividade A + B = B + A Comutatividade

27 Multiplicação por um escalar Se A = [a ij ] é uma matriz m n e k é um número real, então a multiplicação por um escalar de A por k, ka, é a matriz B = [b ij ], m n, onde b ij = ka ij (1 i m, 1 j n)

28 Multiplicação por um escalar Se A = [a ij ] é uma matriz m n e k é um número real, então a multiplicação por um escalar de A por k, ka, é a matriz B = [b ij ], m n, onde b ij = ka ij (1 i m, 1 j n) Pode-se definir a diferença de A e B fazendo A + ( 1)B

29 Transposta de uma matriz Se A = [a ij ] é uma matriz m n, então a matriz n m, A T = [aij T ], onde a T ij = a ji (1 i n, 1 j m) é chamada de matriz transposta de A.

30 Exemplos das operações matriciais Adição - Produção Um fabricante de uma determinado produto produz três modelos A, B e C. Cada modelo é produzido parcialmente na fábrica F 1 e finalizado na fábrica F 2. O custo total de cada produto é composto pelo custo de produção e pelo custo de transporte. Portanto, o custo de cada fábrica, em dólares, pode ser descrito pelas matrizes F 1 e F 2, 3 2:

31 Fábrica 1 - F 1 Custo de Produção Custo de transporte Modelo A Modelo B Modelo C 70 20

32 Fábrica 1 - F 1 Custo de Produção Custo de transporte Modelo A Modelo B Modelo C Fábrica 2 - F 2 Custo de Produção Custo de transporte Modelo A Modelo B Modelo C

33 A matriz F 1 + F 2 fornece o total de custos de produção e transporte de cada produto. Por exemplo, o total dos custos de produção e transporte de um produto do modelo B é de $100 e $130 dólares, respectivamente.

34 A matriz F 1 + F 2 fornece o total de custos de produção e transporte de cada produto. Por exemplo, o total dos custos de produção e transporte de um produto do modelo B é de $100 e $130 dólares, respectivamente. Produto por um escalar - Produção Suponha que a fábrica F 1, por se localizar num local diferente, anuncia que houve um aumento de 20% nos seus custos, com isso seus novos valores de produção e transporte são

35 A matriz F 1 + F 2 fornece o total de custos de produção e transporte de cada produto. Por exemplo, o total dos custos de produção e transporte de um produto do modelo B é de $100 e $130 dólares, respectivamente. Produto por um escalar - Produção Suponha que a fábrica F 1, por se localizar num local diferente, anuncia que houve um aumento de 20% nos seus custos, com isso seus novos valores de produção e transporte são F 1 = = 38,

36 Fábrica 1 - F 1 Custo de Produção Custo de transporte Modelo A 38,4 48 Modelo B Modelo C 84 24

37 Produto Escalar e Multiplicação matricial Produto Escalar - definição O produto escalar ou produto interno dos vetores de dimensão n a e b é a soma dos produtos dos elementos correspondentes. Logo, se a 1 b 1 a = a 2 e b = b 2.a n.b n

38 Produto Escalar e Multiplicação matricial Produto Escalar - definição O produto escalar ou produto interno dos vetores de dimensão n a e b é a soma dos produtos dos elementos correspondentes. Logo, se a 1 b 1 a = a 2 e b = b 2.a n.b n então a b = a 1 b 1 + a 2 b a n b n = n a i b i i=1

39 Multiplicação matricial Definição Se A = [a ij ] é uma matriz m p e B = [b ij ] é uma matriz p n, então o produto de A e B, representado por AB, é a matriz m n C = [c ij ], definida por c ij = a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a ip b pj = p a ip b pj (1 i m, 1 j n) k=1

40 Multiplicação matricial Definição Se A = [a ij ] é uma matriz m p e B = [b ij ] é uma matriz p n, então o produto de A e B, representado por AB, é a matriz m n C = [c ij ], definida por c ij = a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a ip b pj = Observações importantes p a ip b pj (1 i m, 1 j n) k=1 Nem sempre AB = BA, isso acontece quando n m. Mesmo quando BA é definida, AB e BA podem ter tamanhos diferentes. Se AB e BA são do mesmo tamanho, elas podem ser diferentes.

41 Exemplo -Produto matricial Ecologia/Poluição Um fabricante produz dois tipos de produtos, P e Q, em cada uma das duas fábricas, X e Y. Ao fabricar estes produtos, os poluentes dióxido de enxofre, óxido nítrico e material particulado são produzidos. As quantidades de poluentes produzidas são dadas (em quilogramas) pela tabela seguinte:

42 Exemplo -Produto matricial Ecologia/Poluição Um fabricante produz dois tipos de produtos, P e Q, em cada uma das duas fábricas, X e Y. Ao fabricar estes produtos, os poluentes dióxido de enxofre, óxido nítrico e material particulado são produzidos. As quantidades de poluentes produzidas são dadas (em quilogramas) pela tabela seguinte: Tabela 1 Poluentes Dióxido S 2 Óxido Nítrico Mat. part Produto P Produto Q

43 Leis estaduais e federais exigem que estes poluentes sejam removidos. O custo diário da remoção de cada quilograma de poluente é dado (em dólares) pela tabela seguinte:

44 Leis estaduais e federais exigem que estes poluentes sejam removidos. O custo diário da remoção de cada quilograma de poluente é dado (em dólares) pela tabela seguinte: Tabela 2 Custo Fábrica X Fábrica Y Dióxido S Óxido nítrico 7 9 Mat. part 15 10

45 Leis estaduais e federais exigem que estes poluentes sejam removidos. O custo diário da remoção de cada quilograma de poluente é dado (em dólares) pela tabela seguinte: Tabela 2 Custo Fábrica X Fábrica Y Dióxido S Óxido nítrico 7 9 Mat. part Qual o significado dos elementos de AB?