NOTAS DE AULA DE MAT 137 -PRIMEIRA SEMANA Profa. Margareth Turmas 2 e 7. Atleta 1 7, ,4. Atleta Atleta 3 9 7,5 8,5 7,9

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1 NOTAS DE AULA DE MAT 137 -PRIMEIRA SEMANA Profa Margareth Turmas e 7 01 Motivação Num torneio de triatlon as competições: nado, corrida e ciclismo foram pontuadas com pesos x, y e z, respectivamente A tabela abaixo apresenta a pontuação dos quatro primeiros colocados em cada categoria e sua respectiva classificação final Nado Corrida Ciclismo Classificação Geral Atleta 1 7, ,4 Atleta Atleta 3 9 7,5 8,5 7,9 Atleta 4 7, ,8 O terceiro atleta alegou que se as classificações dos 1, e 4 atletas estivessem corretas, então sua classifiação estaria incorreta Sabendo que a classificação geral foi obtida pela média ponderada da pontuação de cada uma das competições e supondo que o terceiro atleta está correto determine: (a) o peso de cada competição; (b) a classificação do terceiro candidato 0 Matrizes Definição 01 Sejam m e n números inteiros positivos Uma matriz real de ordem m n (m por n) é uma sequência de mn números reais dispostos em m linhas e n colunas, formando uma tabela retangular: a 11 a 1 a 1n a 1 a a n a m1 a m a mn A i-ésima linha dessa matriz é [ ai1 a i a in para i {1,, m} e a j-ésima coluna é a 1j a j a mj 1

2 para j {1,, n} Abreviadamente, esta matriz pode ser expressar por [a ij m n ou apenas [a ij quando não houver confusão quanto à variação dos índices Observamos que é usual usar parênteses ao invés de colchetes na notação de uma matriz Assim, a 11 a 1 a 1n a 1 a a n ou (a ij) m n a m1 a m a mn Cada número que compõe uma matriz é chamado elemento ou termo da matriz Dada a matriz [a ij, o símbolo a ij representa o elemento que ocupa a i-ésima linha e j-ésima coluna dessa matriz e é chamado termo geral ou (i, j)-ésimo elemento da matriz Ele representa indistintamente todos os seus elementos Cada matriz costuma ser representada por uma letra maiúscula do nosso alfabeto Se uma matriz tem m linhas e n colunas dizemos que ela é de ordem m n Quando m = n, dizemos, simplesmente, que ele de ordem n Exemplo 01 Se [ A = [ 1 5, B =, C = [ , então a matriz A é de ordem 3 com a 11 = 1, a 1 = 9, a 13 = 6, a 1 = 1, a = 0 e a 3 = 5 A matriz B é e a matriz C é 1 4 Definição 0 Duas matrizes A = [a ij m n e B = [b ij m n são iguais quando a ij = b ij, para i = 1,, m e j = 1,, n Observação 01 Ressaltamos que, apesar de nos restringirmos ao estudo das matrizes reais, os elementos de uma matriz poderiam ser números complexos ou mesmo funções Exemplo 0 Determine a matriz quadrada A = [a ij 4 4 cujos elementos são dados por i 3j se i < j a ij = i + j se i = j 3i + 4j se i > j Solução Temos que: a 11 = = 3, a 1 = 1 3 = 4, a 13 = 1 33 = 7, a 14 = 1 34 = 10, a 1 = =, a = + = 8, a 3 = 33 = 5, a 4 = 34 = 8, a 31 = = 5, a 3 = = 1, a 33 = = 15, a 34 = 3 34 = 6, a 41 = = 8, a 4 = = 4, a 43 = = 0, a 44 = = 4

3 Assim, A = Vamos introduzir agora alguns tipos particulares de matrizes 01 Tipos Especiais de Matrizes 1 Matriz Quadrada é uma matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas Usamos a notação [a ij n para uma matriz quadrada de ordem n Os elementos a 11, a,, a nn formam a diagonal principal da matriz e os termos a ij tais que i+j = n+1 formam a diagonal secundária Matriz diagonal é uma matriz quadrada A = [a ij n cujos elementos fora da diagonal principal são todos iguais a zero, isto é, a ij = 0 se i j, para i, j = 1,, n Exemplificando: 1 A = = diag{1,, 3, 1} 1 3 Matriz escalar é uma matriz diagonal A = [a ij n cujos elementos da diagonal principal são todos iguais, isto é, a ii = c, i i n, e a ij = 0 se i j, para i, j = 1,, n Exemplificando: A = A matriz escalar de ordem n em que os elementos da diagonal principal são iguais a um é chamada matriz identidade [ ou matriz unidade e é representada pela notação I n 1 0 Exemplificando, I = é a matriz identidade de ordem Matriz triangular superior é uma matriz quadrada [a ij n em que os elementos abaixo da diagonal principal são todos nulos, isto é, a ij = 0 se i > j Exemplificando: , , 5 Matriz triangular inferior é uma matriz quadrada [a ij n em que os elementos acima da diagonal principal são todos nulos, isto é, a ij = 0 se i < j Exemplificando: , 3

4 6 Matriz nula ou matriz zero é uma matriz O = [o ij m n cujos elementos são todos nulos, isto é, o ij = 0, para i = 1,, m e j = 1,, n As matrizes O 3 = são exemplos de matrizes nulas [, O 3 4 = Matriz linha é uma matriz constituída de uma única linha Exemplos: [ 1 3, [ Matriz coluna é uma matriz constituída de uma única coluna Exemplos: 1 1, Matriz simétrica é uma matriz quadrada [a ij n cujos elementos simétricos em relação à diagonal principal são iguais, isto é, a ij = a ji, para todo i, j {1,, n} Exemplificando: , 10 Matriz anti-simétrica é uma matriz quadrada [a ij n cujos elementos verificam a relação a ij = a ji, para todo i, j {1,, n} Neste caso, observe que a ii = 0, para todo i {1,, n} Exemplificando: , 0 Operações com Matrizes Podemos realizar, sob certas condições, as seguintes operações com matrizes: Adição de Matrizes A soma de duas matrizes A = [a ij m n e B = [b ij m n é definida como sendo a matriz C = [c ij m n obtida somando-se os elementos correspondentes de A e B, isto é, c ij = a ij + b ij, para i = 1,, m e j = 1,, n Escrevemos C = A + B 4

5 Exemplo 03 Se A = e B = A + B = então Observação 0 Só podemos somar matrizes de mesma ordem Multiplicação de matrizes O produto das matrizes A = [a ij m n e B = [b ij n p é a matriz C = [c ij m p definida por c ij = a i1 b 1j + a i b j + + a in b nj n c ij = a ik b kj k=1 ( lê-se somatório de a ik b kj com k variando de 1 até n), para i = 1,, m e j = 1,, p Portanto, o (i, j)-ésimo elemento da matriz C, denotado por c ij, é o produto da i-ésima linha de A com a j-ésima coluna de B Escrevemos C = AB Observação 03 Só podemos efetuar o produto AB de duas matrizes se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B Exemplo 04 Se A é uma matriz 3 e B é uma matriz 3 5, então AB é uma matriz 5 Note que o produto BA não está definido, pois o número de colunas da primeira matriz é diferente do número de linhas da segunda matriz Exemplo 05 A multiplicação de matrizes não é, [ em geral, comutativa [ Vamos exibir um 1 1 exemplo para justificar essa afirmação Sendo A = e B =, então AB BA De fato, tem-se Exemplo 06 Se A = [ 1 AB = 1 3 [ 1 BA = 0 1 [ 1 1 e B = [ [ [ [ = [ = ,, então AB = O embora A O e B O Exemplo 07 (Custo de Produção) Um fabricante de móveis faz cadeiras e mesas, cada uma das quais passa por um processo de montagem e outro de acabamento O tempo necessário para esses processos é dado (em horas) pela matriz A = [ 3 Montagem Acabamento 4 Cadeira Mesa 5

6 O fabricante tem uma fábrica em Belo Horizonte e outra em Ubá As taxas por hora para cada um dos processos são dadas (em dólares) pela matriz [ BH 9 B = 10 Ubá 10 1 Montagem Acabamento Qual o significado dos elementos do produto matricial AB? Solução Temos que [ AB = 3 4 [ = [ = [ Assim, (AB) 11 = 38 dólares é o custo da produção de uma cadeira na fábrica de Belo Horizonte; (AB) 1 = 44 dólares é o custo da produção de uma cadeira na fábrica de Ubá; (AB) 1 = 67 dólares é o custo da produção de uma mesa na fábrica de Belo Horizonte; (AB) = 78 dólares é o custo da produção de uma mesa na fábrica de Ubá Exercício 01 Determinar os elementos (AB) 1 e (BA) 3, sendo A = e B = Solução O elemento (AB) 1 é o produto da primeira linha da matriz A pela segunda coluna de B e o elemento (BA) 3 é o produto da segunda linha da matriz B pela terceira coluna de A: (AB) 1 = ( 4) + ( 1) + 31 = = 16, (BA) 3 = 3( 1) + ( 4) = 3 Multiplicação por escalar A multiplicação de uma matriz A = [a ij m n por um escalar (número real) r é definida como sendo a matriz B = [b ij m n obtida multiplicando cada elemento da matriz B pelo escalar r, isto é, b ij = ra ij, para i = 1,, m e j = 1,, n Escrevemos B = ra Usamos a notação ( 1)A = A e esta matriz é chamada matriz simétrica ou oposta da matriz A A diferença entre duas matrizes de mesmo tamanho A e B é definida por A B = A + ( B), ou seja, é a soma da matriz A com a simétrica da matriz B Transposta de uma matriz A transposta de uma matriz A = [a ij m n é definida como sendo a matriz B = [b ji n m obtida trocando-se a posição relativa das linhas e colunas de A, isto é, b ji = a ij, para i = 1,, m e j = 1,, n Escrevemos B = A T ou B = A t 6

7 Exemplo 08 Se A = Não é difícil mostrar o seguinte resultado então AT = Proposição 01 A matriz A = [a ij n é simétrica se, e só se, A = A T A matriz A é antisimétrica se, e só se, A = A T Exemplo 09 Sejam A = e B = Como A = A T e B = B T segue que A e B são matrizes simétrica e anti-simétrica, respectivamente Definição 03 Denotamos por M m n (IR) o conjunto constituído de todas as matrizes reais de ordem m n Quando m = n é usual usarmos a notação M n (IR) Propriedades Sejam A, B e C matrizes de ordens apropriadas e r e s escalares São válidas as seguintes propriedades: 1 Comutatividade da adição: A + B = B + A; Associatividade da adição: A + (B + C) = (A + B) + C; 3 Existência do elemento neutro da adição: A + O = A; 4 Existência do elemento simétrico ou oposto da adição: A + ( A) = O; 5 Associatividade da multiplicação: A(BC) = (AB)C; 6 Distributividade: A(B + C) = AB + AC e (A + B)C = AC + BC; 7 r(sa) = (rs)a; 8 (r + s)a = ra + sa; 9 r(a + B) = ra + sb; 10 (A T ) T = A; 11 (A + B) T = A T + B T ; 1 (AB) T = B T A T ; 13 (ra) T = ra T ; 7

8 14 AI n = I m A = A, para toda matriz A m n Definição 04 (Potênciação de matrizes) Sejam A uma matriz quadrada e n um inteiro positivo Denotamos Convenção: A 0 = I n A 1 = A A = A A A 3 = A A A n = A A n 1 = } AA {{ A} n vezes Exercício 0 O produto de um escalar por uma matriz simétrica resulta numa matriz simética? Justifique sua resposta Solução Sejam α IR e A seja uma matriz simétrica, ou seja, A = A T Usando as propriedades das operações com matrizes obtemos (αa) T = αa T = αa Pela proposição 01 concluímos que a a matriz αa é simétrica Exercício 03 A soma de duas matrizes anti-simétricas de mesma ordem é uma matriz anti-simétrica? Justifique sua resposta Justifique sua resposta Solução Suponha que A e B sejam matrizes anti-simétricas, ou seja, A = A T e B = B T Usando as propriedades das operações com matrizes obtemos (A + B) T = A T + B T = ( 1)A + ( 1)B = ( 1)(A + B) = (A + B) Pela proposição 01 concluímos que a a matriz A + B é anti-simétrica Exercício 04 O produto de duas matrizes anti-simétricas de mesma ordem é uma matriz anti-simétrica? Solução Não Suponha que A e B sejam matrizes anti-simétricas, ou seja, A = A T e B = B T Então (AB) T = B T A T = ( B)( A) = BA e, em geral, BA AB Dando um exemplo: =

9 Exercício 05 Seja A uma matriz quadrada Mostre que (a) 1 ( ) A + A T é simétrica (b) 1 ( ) A A T é anti-simétrica Solução Pelas propriedades de operações com matrizes temos que [ 1 ( ) T A + A T = 1 (A + AT ) T = 1 (AT + (A T ) T ) = 1 (AT + A) e [ 1 ( ) T A A T = 1 (A + AT ) = 1 (A AT ) T = 1 (AT (A T ) T ) = 1 (AT A) = 1 (A AT ) Segue pela proposição 01 que a matriz do item (a) é simétrica e a do item (b) é anti-simétrica Exercício 06 Toda matriz quadrada pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica com uma anti-simétrica Solução Se A é uma matriz de ordem n, usando operações com matrizes temos ( 1 A = 1A = + 1 ) A = 1 A + 1 A, (1) ( 1 O = 0A T = 1 ) A T = 1 AT 1 AT () Portanto, usando () em (1) obtemos ( 1 A = A + 1 ) ( 1 A + O = A + 1 ) A + ( 1 = A + 1 ) ( 1 AT + A 1 ) AT = 1 ( ) A + A T + 1 ( ) A A T A conclusão segue pelo exercício anterior 03 Lista de Exercícios 1 Se A é a matriz 4 3 definida pela lei a ij = ( 1 AT 1 ) AT { i + j se i j i j se i > j, calcule a matriz A e AT Sendo A = [a ij a matriz com a ij = j i, calcule AA T { ( sin π 3 Se A é a matriz definida pela lei a ij = i), se i = j cos(πj), se i j, calcule a matriz A 9

10 1, se i < j 4 Seja a matriz A = [a ij, de ordem 3, tal que a ij =, se i = j 1, se i > j Calcule A 5 Resolva o sistema { X + Y = A + B X Y = A B [ [ 3 1 sendo A = e B = 5 [ [ [ Sejam A =, B = e C = Se A e B M n n (IR) e se AB = BA, prove que: (a) (A B) = A AB + B ; (b) (A B)(A + B) = A B ; (c) (A B)(A + AB + B ) = A 3 B 3 8 Determinar todas as matrizes que comutam com a matriz Calcular 5 ( A 1 3 B) + C [ Se A e B M n n (IR) são tais que AB = 0 (matriz nula), pode-se concluir que BA também é a matriz nula? Prove ou contra-exemplifique 1 10 Se A = 1 e B =, calcule o valor de x para que Y = A T B seja a matriz nula x 1 Para este valor de x calcule B T A, AB T [ cos α sin α 11 Para um número real α consideremos a matriz T α = sin α cos α (a) Mostre que T α T β = T α+β (b) Calcular T α 1 Uma matrizquadrada A talque A = A é chamada matriz idempotente Mostre que a 1 1 matriz A = é uma matriz nilpotente Calcule A 3, A 4,, A n Dada uma matriz quadrada A, se existir um número inteiro p > 0, tal que A p = 0, diz-se que A é uma matriz nihilpotente Mostre que A = é uma matriz nilpotente [ x 14 Calcule o valor de x, para que o produto da matriz A = pela matriz B = [ seja uma matriz simétrica

11 15 Mostre que a soma de duas matrizes triangulares superior (inferior)de mesma ordem é uma matriz triangular superior (inferior) 16 Mostre que a produto escalar de um matriz triangular superior (inferior) por um número real é uma matriz triangular superior (inferior) 11