Álgebra Linear I - Aula 14. Roteiro

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1 Álgebra Linear I - Aula 14 1 Matrizes 2 Forma matricial de uma transformação linear 3 Composição de transformações lineares e produto de matrizes 4 Determinante do produto de matrizes Roteiro 1 Matrizes Uma matriz n m onde n representa o número de linhas e m o número de colunas M é definida como segue: a 1,1 a 1,2 a 1,m a 2,1 a 2,2 a 2,m A = a n,1 a n,2 a n,m Dizemos que a j,1, a j,2, a j,m é a j-ésima linha de A e que a 1,j, a 2,j, a n,j é a j-ésima coluna de A Quando n = m, dizemos que a matriz é quadrada Dadas duas matrizes A e B das mesmas dimensões n m, a 1,1 a 1,2 a 1,m b 1,1 b 1,2 b 1,m a 2,1 a 2,2 a 2,m A =, B = b 2,1 b 2,2 b 2,m, a n,1 a n,2 a n,m b n,1 b n,2 b n,m definimos a soma e a substração de matrizes S = A + B e D = A B, como segue, a 1,1 + b 1,1 a 1,2 + b 1,2 a 1,m + b 1,m a 2,1 + b 2,1 a 2,2 + b 2,2 a 2,m + b 2,m S =, a n,1 + b n,1 a n,2 + b n,2 a n,m + b n,m 1

2 e a 1,1 b 1,1 a 1,2 b 1,2 a 1,m b 1,m a 2,1 b 2,1 a 2,2 b 2,2 a 2,m b 2,m D =, a n,1 b n,1 a n,2 b n,2 a n,m b n,m isto é, S e D são matrizes das mesmas dimenões n m que A e B, onde os coefientes s i,j e d i,j das matrizes soma S e substração D são: s i,j = a i,j + b i,j, d i,j = a i,j b i,j A multiplicação da matriz A pelo escalar λ é a matriz E, n m, cujos coeficientes são e i,j = λa i,j Finalmente, dadas matrizes A, n m, e B, r k, o produto P = A B está definido quando r = m e é uma matriz n k, o coeficiente p i,j da matriz produto é dado por p i,j = a i,1 b 1,j + a i,2 b 2,j + + a i,m b m,j Mais tarde veremos como o produto de duas matrizes aparece de forma natural: a regra de multiplicação ficará clara quando estudemos a composição de transformações lineares V pode interpretar os coeficientes da matriz produto como segue Escreva a 1,1 a 1,2 a 1,m a 2,1 a 2,2 a 2,m A = = a n,1 a n,2 a n,m onde cada l i é um vetor linha de R m da forma l i = a i,1, a i,2,, a i,m l 1 l 2 l n, Analogamente, escreva b 1,1 b 1,2 b 1,k b 2,1 b 2,2 b 2,k B = b m,1 b m,2 b m,k = c 1 c 2 c k 2

3 cada c j é um vetor coluna de R m da forma b 1,j b 2,j c j = b m,j Então, p i,j é obtido como o produto escalar dos vetores l i e c j, p i,j = l i c j Observe que o produto A B de duas matrizes pode estar definido e o produto B A pode não esta-lo Por exemplo, se a matriz A é 3 2 e B é 2 1 Neste caso A B é uma matriz 3 1 e não é possível fazer o produto B A Também pode acontecer que os dois produtos estejam definidos e os resultados dos produtos serem matrizes de dimensões diferentes Por exemplo, se A é 3 2 e B é 2 3, temos que A B está definido e é uma matriz 3 3, e A B também está definido e é uma matriz 2 2 Portanto, o produto de matrizes não é em geral comutativo: mesmo quando as matrizes A B e B A têm as mesmas dimensões Um exemplo desta situação é Temos e A = A B = B A = , B = = = Portanto, os dois produtos estão definidos, porém A B B A

4 2 Forma matricial de uma transformação linear Lembramos que se T e L são transformações lineares de R 3 em R 3 e de R 2 em R 2 são da forma: T : R 3 R 3, Tx, y, z = a 1 x + a 2 y + a 3 z, b 1 x + b 2 y + b 3 z, c 1 x + c 2 y + c 3 z, L: R 2 R 2, Lx, y = a 1 x + a 2 y, b 1 x + b 2 y Observe que T1, 0, 0 = a 1, b 1, c 1, T0, 1, 0 = a 2, b 2, c 2, T0, 0, 1 = a 3, b 3, c 3, L1, 0 = a 1, b 1, L0, 1 = a 2, b 2 As transformações lineares T e L têm as seguintes representações matriciais representando os vetores na sua forma coluna: x a 1 a 2 a 3 x [T] y = b 1 b 2 b 3 y x a1 a, [L] = 2 x y b z c 1 c 2 c 3 z 1 b 2 y Isto significa que se escrevemos um vetor v na forma coluna [v] e fazemos o produto das matrizes [T] [v] obtemos como resultado o vetor Tv na forma coluna: seja v = x, y, z, então e [T] x y z = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 [v] = x y z x y z = a 1 x + a 2 y + a 3 z b 1 x + b 2 y + b 3 z c 1 x + c 2 y + c 3 z Pelos comentários já feitos temos a seguinte interpretação das colunas da matriz [T] 4

5 A primeira coluna é a imagem de T1, 0, 0, a segunda coluna é a imagem de T0, 1, 0, a última coluna é a imagem de T0, 0, 1 Comentários análogos podem ser feitos para a matriz [L] Exemplos 1 As transformações lineares identidade e nula têm como matrizes associadas as matrizes identidade diagonal igual a 1 e todos os outros coeficientes nulos e a matriz nula todos os coeficientes são zero As matrizes das transformaçõeso lineares de cisalhamento horizontal Hx, y = x, αx + y e vertical V x, y = x + αy, y são α [H] = e [V ] = α Lembrando que a projeção ortogonal no vetor unitário a, b, c de R 3 é da forma Px, y, z = a 2 x + aby + acz, abx + b 2 y + bcz, acx + bcy + c 2 z temos [P] = a 2 ab ac ab b 2 bc ac bc c 2 Lembrando a fórmula das reflexões R e S em R 2 em torno dos eixos X e Y e T em torno da origem Rx, y = x, y, Sx, y = x, y, Tx, y = x, y, veja a última aula temos 1 0 [R] = 0 1, [S] = , [T] = 0 1 5

6 Lembrando a expressão da rotação de ângulo θ no sentido anti-horário R θ x, y = cosθ x senθ y, cosθ y + senθ x, temos cosθ senθ [R θ ] = senθ cos θ Consideremos agora a de projeção T na reta ax + by = 0 segundo a direção do vetor v = c, d Pelos resultados da aula anterior, ax + by ax + by Tx, y = x c, y ac + bd ac + bd d Portanto, [T] = 1 ac ac + bd ad ac + bd bc ac + bd 1 bd ac + bd Exemplo 1 Determine a matriz da transformação linear onde v = 1, 1, 1 T : R 3 R 3, Tu = u v, Resposta: Para isto determinaremos a forma geral de T Observe que i j k Tx, y, z = x, y, z 1, 1, 1 = x y z = y z, z x, x y 1 Portanto, T1, 0, 0 = 0, 1, 1, T0, 1, 0 = 1, 0, 1, T0, 0, 1 = 1, 1, 0 Finalmente, obtemos [T] =

7 Exemplo 2 Determinar a matriz da transformação linear onde v = 1, 1, 1 e w = 1, 2, 3 T : R 3 R 3, Tu = u v w, Resposta: Calcularemos as imagens dos vetores i, j e k Temos Portanto, T1, 0, 0 = 1, 0, 0 1, 1,, 2,3 = 1, 2, 3, T0, 1, 0 = 0, 1, 0 1, 1,, 2,3 = 1, 2, 3, T0, 0, 1 = 0, 0, 1 1, 1,, 2,3 = 1, 2, 3 [T] = Analogamente, dada uma matriz [T] temos uma transformação linear T associada a dita matriz Dada a matriz a 1 a 2 a 3 [T] = b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 sua transformação linear associada é Tx, y, z = a 1 x + a 2 y + a 3 z, b 1 x + b 2 y + b 3 z, c 1 x + c 2 y + c 3 z Ou de outra forma, escrevendo os vetores em froma coluna, x a 1 a 2 a 3 x [T] y = b 1 b 2 b 3 y z c 1 c 2 c 3 z 3 Composição de transformações lineares Produto de matrizes Considere duas transformações lineares T e L, T : R m R k, L: R n R l 7

8 Se l é igual a m temos que dado um vetor u de R n sua imagem Lu está em R l = R m, que é o domínio de T, portanto podemos aplicar T a Lu, obtendo TLu Neste caso podemos definir a composição T L como T Lu = TLu Analogamente, se k é igual a n, dado qualquer vetor v de R m sua imagem Tv está em R k = R n, que é o domínio de L, portanto podemos aplicar L a Tv, obtendo LTv Neste caso podemos definir a composição L T Dadas duas transformações lineares a composição T L é uma nova transformação linear: T : R m R k, L: R n R m, T L: R n R k, T Lu + v = TLu + v = TLu + Lv = TLu + TLv = T Lu + T Lv, T Lσu = TLσu = TσLu = σtlu = σt Lu Observação 1 Como no caso do produto de matrizes, a composição de transformações lineares não é comutativa Em alguns casos a composição T L pode estar definida e não esta-lo a composição L T Mesmo quando as duas composições estão definidas pode acontecer que T L L T Por exemplo, considere os cisalhamentos Tx, y = x + α y, y, e Lx, y = x, β x + y Então L Tx, y = Lx + α y, y = x + α y, y + β α y + β x, e T Lx, y = Tx, β x + y = x + α y + α β x, y + βx, que obviamente são em geral diferentes Dê v mesmo outros exemplos 8

9 A seguir calcularemos a matriz associada à composição de duas transformações lineares Por simplicidade, faremos os cálculos em R 2, os cálculos em R 3 são idênticos Sejam T e L transformações lineares cujas matrizes são a1 a [T] = 2 b 1 b 2, [L] = c1 c 2 d 1 d 2 Para determinar a matriz de L T é suficiente calcular L T1, 0 e L T0, 1, que serão as colunas da nova matriz Obtendo a nova matriz: L T1, 0 = La 1, b 1 = a 1 L1, 0 + b 1 L0, 1 = = a 1 c 1, d 1 + b 1 c 2, d 2 = = a 1 c 1 + b 1 c 2, a 1 d 1 + b 1 d 2 L T 0, 1 = La 2, b 2 = a 2 L1, 0 + b 2 L0, 1 = = a 2 c 1, d 1 + b 2 c 2, d 2 = = a 2 c 1 + b 2 c 2, a 2 d 1 + b 2 d 2 [L T] = c1 a 1 + c 2 b 1 c 1 a 2 + c 2 b 2 d 1 a 1 + d 2 b 1 d 1 a 2 + d 2 b 2 Finalmente, observamos que os cálculos feitos para calcular o produto de duas matrizes fornece a seguinte regra geral Considere os vetores c = c 1, c 2 e d = d 1, d 2 que determinam as linhas de [L], e os vetores u = a 1, b 1 e v = a 2, b 2 que determinam as colunas de [T] Temos a seguinte expressão: [L][T] = c u c v d u d v 4 Determinante do produto de duas matrizes Considere as matrizes triangulares a b [A] 0 c e d e [B] 0 f Denote por det[m] o determinante de uma matriz quadrada mesmo número de linhas que de colunas Observe que det[a] = ac det[b] = d f 9

10 Observe que e que [AB] = [A][B] = ad ae + bf 0 cf det[ab] = ad cf = det[a] det[b] Neste caso temos que o determinante da matriz produto é o produto dos determinantes De fato, sempre, o produto de duas matrizes é o produto dos determinantes das duas matrizes Uma justificativa é a seguinte: reduzindo à forma escalonada, o determinante não muda, assim a afirmação decorre da afirmação sobre o produto de matrizes triangulares 10