R é o conjunto dos reais; f : A B, significa que f é definida no conjunto A (domínio - domain) e assume valores em B (contradomínio range).

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1 f : A B, significa que f é definida no conjunto A (domínio - domain) e assume valores em B (contradomínio range). R é o conjunto dos reais; R n é o conjunto dos vetores n-dimensionais reais; Os vetores em R n são colunas ao menos que seja estabelecido o contrário; Para qualquer x R n, x é o vetor transposto de x, isto é o vetor linha n-dimensional; O produto interno (inner product) de dois vetores x, y R n n é definido por: ' x y = xi yi i= Quaisquer dois vetores x, y R n satisfazendo x y = 0 são ditos ortogonais. Módulo de um vetor: v = v'.v Se w é um vetor do R n, então as notações w > 0 e w 0 indicam que todas as coordenadas de w são positivas ou nãonegativas, respectivamente. A notação w v ou w < v, etc. são interpretadas da mesma forma.

2 Seja V = {v, v,..., v n } um conjunto de vetores com a mesma dimensão. Uma Combinação Linear (CL) dos vetores em V é qualquer vetor v da forma: v = c v + c v c n v n onde c, c,..., c n são escalares arbitrários. Um conjunto V de n vetores m- dimensionais é linearmente independente se a única CL de vetores em V que iguala a zero é a combinação trivial, isto é, se c = c =... = c n = 0. Um conjunto V de n vetores m- dimensionais é linearmente dependente se existe uma CL de vetores não trivial em V que iguala a zero. y A v = (, ) = AB v = (, ) = AC C B v v x y v A v v = (, ) v = (, 0) x (i) Dois vetores LD (ii) Dois vetores LI Para qualquer matriz A, a notação a ij indica o elemento da linha i e coluna j. Para duas matrizes A e B de dimensões compatíveis (AB) = B A Se A é uma matriz quadrada diremos que A é simétrica se A = A. Uma matriz A é diagonal se a ij = 0 sempre que i j. Ela é uma triangular inferior se a ij = 0 para i < j. Ela é triangular superior se sua transposta for triangular inferior. I representa a matriz identidade e det(a) representa o determinante de A.

3 Definição Dada uma matriz mxm A, a matriz mxm B é sua inversa se e somente se: = AB = BA = I. Associado a qualquer matriz quadrada A existe um número denominado de determinante de A (abreviado por det(a) ou A ). Assim se A = [a ] é x matriz, então o determinante de A é a = a. a Para uma matriz x A = a O determinante é dado por: deta = a a a a a a Antes de calcular o determinante de matrizes de ordem mais alta é necessário definir o conceito de menor de uma matriz. Se A é uma matriz de ordem mxn então para quaisquer dois valores i, j m, o M ij menor de A é a submatriz obtida de A eliminando-se a linha i e a coluna j. Seja A uma matriz mxm com m > então o determinante de A é dado por: A = (-) i+ a i M i + (-) i+ a i M i (-) i+m a im M im Essa fórmula é denominada de expansão do det(a) pelos co-fatores da linha i. Calcular o determinante pela expansão dos cofatores da seguinte matriz:

4 O determinante é: = ( ) ( ).. + ( ) = ( 8) (6 ) + ( ) = + 9 = 0 = 8 O determinante de uma matriz mxm A, apresenta as seguintes propriedades: 0. O determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta, isto é: det(a) = det(a ); 0. Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então o determinante desta matriz será zero; 0. Se uma matriz é triangular (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal; 0. Multiplicando uma fila (linha ou coluna) de uma matriz A por um escalar λ, o determinante da nova matriz é λdet(a); 0. Se permutarmos duas linhas ou colunas de uma matriz A então o determinante da nova matriz é det(a); 06. Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det(a) = 0; 07. Se A e B são matrizes quadradas da mesma ordem, então det(ab) = det(a).det(b); 08. Se A é inversível, então det(a ) = det(a), de onde resulta que se A é inversível então det(a) 0; Um sistema linear pode ser representado matricialmente como: AX = B, onde: A é a matriz dos coeficientes das variáveis; B é a matriz dos termos independentes; X é a matriz das variáveis.

5 A solução matricial de um sistema é dada por: AX = B A - AX = A - B IX = A - B X = A - B A solução de um sistema pelo método de Cramér é dada por: x i = i /, Onde é o determinante da matriz dos coeficientes das variáveis. i é a matriz obtida a partir das matriz dos coeficientes das variáveis, substituindo a coluna i pela coluna dos termos independentes. BERTSEKAS, Dimitri P. Nonlinear Programming. Belmont (MA): Athena Scientific, 99. WISTON, Wayne L. Operations Research: Applications and Algorithms. ed. Belmont (CA): Duxbury Press, 99.