(1, 6) é também uma solução da equação, pois = 15, isto é, 15 = 15. ( 23,

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1 Sistemas de equações lineares generalidades e notação matricial Definição Designa-se por equação linear sobre R a uma expressão do tipo com a 1, a 2,... a n, b R. a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b (1) x 1, x 2,... x n são as incógnitas da equação; a 1, a 2,... a n são, respectivamente, os coeficientes de x 1, x 2,... x n e b é o segundo membro ou termo independente da equação. Observação: Se b = 0, a equação a 1 x 1 + a 2 x a n x n = 0 diz-se homogénea. Se a 1 k 1 + a 2 k a n k n = b é uma proposição verdadeira (isto é, se a igualdade obtida substituíndo x 1 por k 1, x 2 por k 2,..., x n por k n é verdadeira), diz-se que x 1 = k 1, x 2 = k 2,..., x n = k n é uma solução da equação (1). Quando não há ambiguidade sobre a posição das incógnitas, pode representar-se a solução da equação pelo n-úplo (k 1, k 2,... k n ). Diz-se também que esse conjunto de valores satisfaz ou verifica a equação. 3 x + 2 y = 15 é uma equação linear. incógnitas: x, y termo independente: 15 Se, nesta equação, se fizer x = 5 e y = 0, obtém-se = 15, isto é, 15 = 15, o que é uma proposição verdadeira. Diz-se então que (5, 0) é uma solução da equação. (1, 6) é também uma solução da equação, pois = 15, isto é, 15 = 15. ( 23, 3 ) também verifica a equação

2 Definição Um sistema de equações lineares é uma colecção finita de equações lineares (todas nas mesmas incógnitas) consideradas em conjunto. Um sistema genérico com m equações e n incógnitas a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 (2) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m pode escrever-se na forma AX = b forma matricial onde A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n......, X = x 1 x 2. e b = b 1 b 2. a m1 a m2... a mn x n b m A é a matriz do sistema (matriz simples ou matriz dos coeficientes), X é a matriz-coluna das incógnitas e b é a matriz-coluna dos segundos membros ou dos termos independentes. { 3 x +2 y = 15 x y = 4 é um sistema de equações lineares. incógnitas: x, y termos independentes: 15 e 4 { 3 x +2 y = 15 x y = 4 forma matricial [ ] [ ] [ ] 3 2 x 15 = 1 1 y 4 } {{ } } {{ } } {{ } A X b ( 23, 3 ) é uma solução do sistema, porque é solução das duas equações que o formam; (5, 0) 5 5 não é solução do sistema, pois não é solução da segunda equação (se, nesta equação, se fizer x = 5 e y = 0, obtém-se 5 0 = 4, isto é, 5 = 4, o que é uma proposição falsa). 15

3 (k 1, k 2,... k n ) é uma solução ou solução particular do sistema (2) se for solução de cada uma das suas m equações. O conjunto de todas as soluções particulares designa-se por solução geral. k 1 k 2 Uma solução também se pode apresentar na forma de uma matriz-coluna. n 1 Resolver um sistema de equações lineares é determinar todas as suas soluções ou provar que não existe nenhuma. Um sistema de equações lineares classifica-se em função do número das suas soluções: ˆ Sistema impossível sistema que não tem solução, isto é, não existe nenhum n-úplo de números reais que satisfaça todas as equações do sistema. ˆ Sistema possível sistema que tem, pelo menos, uma solução. Se houver apenas um n-úplo de números reais que satisfaz todas as equações do sistema, este designa-se por possível determinado; se houver mais do que uma solução para o sistema, este designa-se por possível indeterminado. Esquematicamente, tem-se: impossível (não tem solução) sistema determinado (uma só solução) possível (tem solução) indeterminado (mais do que uma solução) k n Dois sistemas com o mesmo número de incógnitas dizem-se equivalentes se tiverem exactamente as mesmas soluções. Observação: Um sistema em que os segundos membros das equações são todos iguais a 0 diz-se homogéneo. Note-se que um sistema homogéneo é sempre possível, pois possui sempre, pelo menos, a chamada solução nula ou solução trivial: (0, 0,... 0) 16

4 Operações elementares sobre matrizes Consideremos o sistema de 3 equações e 3 incógnitas 2 x + y z = 1 3 x +2 y + z = 3 Podemos efectuar três tipos de operações sobre as linhas deste sistema, de modo a obtermos um sistema equivalente: 1. Trocar, entre si, duas linhas do sistema 2 x + y z = 1 3 x +2 y + z = 3 L 1 L 2 2 x + y z = 1 3 x +2 y + z = 3 Simbolicamente: L i L j 2. Multiplicar uma linha por um escalar (um número real) diferente de zero 2 x + y z = 1 3 x +2 y + z = 3 L 3 2 L 3 2 x + y z = 1 6 x +4 y +2 z = 6 Simbolicamente: L i α L i, α 0 3. Adicionar a uma linha outra linha multiplicada por um escalar e substituí-la pelo resultado 2 x + y z = 1 3 x +2 y + z = 3 L 3 L 3 3 L 2 2 x + y z = 1 5 y 5 z = 15 Simbolicamente: L i L i α L j 17

5 Tal como acontece para os sistemas, podem efectuar-se alguns tipos de operações operações elementares sobre as filas (linhas ou colunas) de uma matriz: 1. Trocar, entre si, duas filas paralelas da matriz Exemplos: L 1 L Simbolicamente: L i L j C 2 C Simbolicamente: C i C j 2. Multiplicar uma linha por um escalar (um número real) diferente de zero L L Simbolicamente: L i α L i, α 0 18

6 3. Adicionar a uma linha outra linha multiplicada por um escalar e substituí-la pelo resultado L 3 L 3 3 L Simbolicamente: L i L i α L j Definição Uma matriz diz-se matriz em escada de linhas (ou matriz escalonada por linhas) se as entradas que estão por baixo do primeiro elemento não nulo de cada linha e por baixo dos anteriores da mesma linha forem todas nulas e não existirem linhas totalmente nulas seguidas de linhas não nulas. Exemplos do aspecto de uma matriz em escada de linhas: 0 0 0, , Os elementos representados genericamente por são não nulos designados por elementos redutores ou pivots; abaixo do traçado os elementos são nulos; acima são quaisquer. Exemplos:

7 Demonstra-se o seguinte resultado fundamental: Teorema Toda a matriz não nula do tipo m n pode ser transformada numa matriz em escada de linhas através de operações elementares sobre as linhas. Definição Designa-se por condensação de uma matriz o processo de a transformar numa matriz em escada de linhas. Método de condensação de uma matriz [A] matriz condensada (matriz em escada de linhas) condensação (vertical) [C] usando operações elementares 20

8 Método de eliminação de Gauss Trata-se de um processo simples para resolver sistemas de equações lineares, que consiste em aplicar operações elementares à matriz ampliada do sistema, de uma maneira organizada e sistemática, de modo a obter-se no final um sistema equivalente ao primeiro, mas mais fácil de resolver (e que proporciona um estudo mais simples). Definição Dado um sistema de equações lineares na forma matricial AX = b, com x 1 b 1 x 2 A = [a ij ], X = i=1, 2,..., m. e b = b 2. j=1, 2,..., n designa-se por matriz ampliada (ou matriz aumentada ou completa) do sistema a matriz a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b 2 [A b] = a m1 a m2... a mn b m. { 2 x1 + x 2 3 x 3 = 4 x 1 4 x 2 + x 3 = 7 matriz ampliada: [A b] = x n b m m (n+1) forma matricial [ ] } {{ } A [ x 1 x 2 x 3 } {{ } X ] [ = 2 4 ] 4 7 } {{ } b 21

9 Demonstra-se o seguinte resultado: Teorema (Método de eliminação de Gauss) Consideremos um sistema de m equações (lineares) a n incógnitas (S) AX = b Seja [A b] a matriz ampliada do sistema. Condensando a matriz ampliada [A b], obtemos uma nova matriz [C d], que é a matriz ampliada do sistema (S ) CY = d Então os sistemas (S) e (S ) são equivalentes (isto é, têm a(s) mesma(s) solução(ões)). Assim, tem-se: Resolver AX = b : Método de eliminação de Gauss [A b] } {{ } matriz ampliada é uma matriz condensada (matriz em escada de linhas) condensação (vertical) [C d] } {{ } matriz ampliada de um sistema (condensado) C Y = d equivalente ao sistema inicial A X = b, mas mais fácil de resolver resolver pelo método de substituição Notas: ˆ Um sistema condensado é um sistema em que a matriz ampliada é uma matriz condensada. ˆ No sistema condensado CY = d, representou-se a matriz das incógnitas por Y e não por X porque, no processo de condensação, pode ter havido troca de colunas, o que implica troca de posição entre as incógnitas. 22

10 Característica de uma matriz Como já vimos anteriormente, para se condensar uma matriz não existe uma única sequência de operações elementares. Mas, repare-se, o número de linhas com, pelo menos, um elemento diferente de zero (linhas não nulas) da matriz condensada é sempre o mesmo. Para uma matriz qualquer, tem-se o seguinte Teorema O número de linhas não nulas de uma matriz condensada não depende da sequência de operações elementares utilizada na condensação da matriz. Definição Chama-se característica da matriz A ao número de linhas não nulas de uma matriz condensada que, por operações elementares, se obtém de A. Representa-se por r(a) ou car(a) ou c(a). do inglês rank Observação: Se A é do tipo m n, então tem-se c(a) min{m, n}. A 4 3 c(a) 3 = min{4, 3} Exemplos (reparar que as matrizes já estão totalmente condensadas): A = B = C = c(a) = 0 c(b) = 1 c(c) = 2 4. D = c(d) = 3

11 Característica e classificação de sistemas de equações lineares A característica de matrizes é muito útil na resolução de alguns problemas, nomeadamente na classificação de sistemas de equações lineares, quanto à solução. Trata-se de relacionar a característica da matriz dos coeficientes (ou matriz simples) do sistema e a característica da matriz ampliada do sistema. Teorema (de Rouché) Para que um sistema de equações lineares seja possível é necessário e suficiente que a característica da sua matriz simples seja igual à característica da sua matriz ampliada. Observação: Se as características forem diferentes, então o sistema é impossível. Este teorema permite elaborar o seguinte Diagrama de classificação: Sistema AX = b A matriz simples (ou matriz dos coeficientes) do sistema [A b] matriz ampliada (ou matriz aumentada ou completa) do sistema c(a) c([a b]) Sistema Impossível c(a) = c([a b]) Sistema Possível pelo teorema de Rouché c(a) = nº de incógnitas Sistema Possível Determinado c(a) < nº de incógnitas Sistema Possível Indeterminado grau de indeterminação } {{ } corresponde ao nº de incógnitas livres, isto é, a poder tomar qualquer valor (em R) = nº de incógnitas - c(a) 24

12 Observações: ˆ O número de incógnitas de um sistema AX = b é igual ao número de colunas da matriz A (portanto, no que respeita à matriz ampliada [A b], exceptua-se a coluna b dos termos independentes, ou seja, a última coluna desta matriz) ˆ Para qualquer sistema AX = b, tem-se c(a) c([a b]). De facto, é impossível acontecer que c(a) > c([a b]), pois o número de linhas de A é igual ao número de linhas de [A b] e cada linha não nula de A é também uma linha não nula de [A b]. A diferença poderá estar apenas em alguma linha que seja nula para A e que seja não nula para [A b]. 25

13 Método de eliminação de Gauss-Jordan Depois de aplicar o método de eliminação de Gauss à matriz ampliada do sistema, pode continuar-se o processo, dividindo as linhas por números convenientes, de modo a que os pivots sejam 1 e anular os elementos que estão acima deles com operações do tipo L k L k α L i, com L i a linha do pivot e k < i. Terminado este processo, obtém-se uma matriz identidade como submatriz da matriz dos coeficientes do sistema, e conhecemos de imediato o valor das incógnitas. Este método de resolução de um sistema denomina-se método de eliminação de Gauss- Jordan. resol- 2 x + y +2 z = 0 Pelo método de eliminação de Gauss-Jordan, o sistema 3 x y + z = 1 5 x + y +2 z = 3 ve-se do seguinte modo: x y z y z C 2 C 3 C 1 C 2 x y x z y z L 2 1 L 3 2 L 3 1 L 3 3 x L 2 L 2 + L 1 L 3 L 3 L 1 y x z L 2 L L 3 L 1 L 1 2 L 3 y z x y z x L 1 L 1 2 L y = 2 O sistema inicial é portanto equivalente ao sistema z = 2, que, como se observa, x = 1 permite conhecer de imediato o valor das incógnitas na solução. Trata-se, neste caso, de um sistema possível determinado. 26