Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica

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1 Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 1-Matrizes Departamento de Matemática FCT/UNL Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 1 / 67

2 Programa 1 Matrizes 2 Sistemas de Equações Lineares 3 Determinantes 4 Espaços Vectoriais 5 Aplicações Lineares 6 Valores e Vectores Próprios 7 Produto Interno, Produto Externo e Produto Misto 8 Geometria Anaĺıtica Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 2 / 67

3 0 Informações Apresentação Regente de ALGA dos cursos MIEEC+MIEF+MIEMc: Manuel Messias Horário de dúvidas: -Quarta-feira das 15h às 16h 30m; -Sexta-feira das 15h às 16h 30m Gabinete 55 do 3 o Piso do Edifício 7, Extensão telefónica mrj@fctunlpt Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 3 / 67

4 0 Informações Apresentação Professores dos turnos práticos: -Filipe Ramos: P25; -Isabel Cabral: P34, P37; -Joana Matos: P24, P32, P33, P36; -Maria Cecília Perdigão Silva: P35; -Maria Helena Santos: P28; -Maria Isabel Gomes: P27; -Philippe Laurent Didier: P26 Professora Responsável de ALGA: Maria Cecília Perdigão Silva Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 4 / 67

5 0 Informações Avaliação Contínua Testes de ALGA Para que um aluno possa efectuar qualquer uma das provas (testes ou exames) terá de inscrever-se no CLIP no local e datas referidas para esse efeito No dia da prova o aluno terá de trazer consigo: a) Cartão de Cidadão ou Bilhete de Identidade; b) Caderno de prova (com o cabeçalho não preenchido) DATAS 1 o Teste - dia , Sexta-feira, 17:00 2 o Teste - dia , Quarta-feira, 14:30 3 o Teste - dia , Sexta-feira, 17:00 Todos os testes têm a duração de 1 hora Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 5 / 67

6 0 Informações Avaliação Contínua Sejam T 1, T 2 e T 3 as classificações obtidas no 1 o, 2 o e 3 o testes, respectivamente, os quais serão classificados de 0 a 20 até às décimas Um aluno só poderá ficar aprovado na disciplina por avaliação contínua se T 3 7 e 0, 3 T 1 + 0, 35 T 2 + 0, 35 T 3 9, 5 Neste caso a classificação final será dada por esta média arredondada às unidades, excepto se esta média for superior ou igual a 17,5, caso em que o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 17 ou realizar uma prova complementar para defesa de nota Frequência Número máximo de faltas às práticas 3 Livro recomendado ALGEBRA LINEAR (4 a Edição), Isabel Cabral, Cecília Perdigão, Carlos Saiago, Escolar Editora 2014 Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 6 / 67

7 1 Matrizes Motivação Um pouco de História Jiu zhang suan-shu ( Nove capítulos da arte matemática ) foi um dos mais importantes manuscritos matemáticos chineses A obra é constituída por uma mistura de conhecimentos de diferentes autores Foi reescrita e comentada por Liu Hui (250 anos ac), um dos mais proeminentes matemáticos chineses da Antiguidade, considerado o Euclides Chinês Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 7 / 67

8 1 Matrizes Motivação Um pouco de História No manuscrito podemos encontrar um surpreendente algoritmo para a resolução do que hoje designamos por sistemas de equações lineares ilustrado através do seguinte problema prático: 3 feixes de cereal de uma colheita de boa qualidade, 2 feixes de cereal de uma colheita de média qualidade e 1 feixe de cereal de uma colheita de má qualidade são vendidos por 39 dou 2 feixes de cereal de uma colheita de boa qualidade, 3 feixes de cereal de uma colheita de qualidade média e 1 feixe de cereal de uma colheita de má qualidade são vendidos por 34 dou 1 feixe de cereal de uma colheita de boa qualidade, 2 feixes de cereal de uma colheita de qualidade média e 3 feixes de cereal de uma colheita de má qualidade são vendidos por 26 dou Qual o preço do feixe para cada uma das qualidades? Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 8 / 67

9 1 Matrizes Motivação Um pouco de História Segundo o método chinês o problema deve ser representado pelo seguinte quadro numérico e o procedimento é o seguinte: Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 9 / 67

17 1 Matrizes Motivação Um pouco de História Pela primeira coluna concluímos que o preço do feixe de má qualidade é 99 = 2, 75 dou e depois, por substituição, concluímos que o preço feixe de 36 qualidade média é 4, 25 dou e o preço feixe de boa qualidade é 9, 25 dou Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 17 / 67

18 1 Matrizes Motivação Um pouco de História Utilizando a notação actual o problema pode ser expresso pelo seguinte sistema de equações lineares nas incógnitas x, y e z, sobre R, em que x, y e z representam, respectivamente, os preços dos feixes de baixa, média e alta qualidade: 3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26 A este sistema corresponde a matriz Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 18 / 67

19 1 Matrizes Motivação Um pouco de História Através do algoritmo do manuscrito obtivemos o seguinte sistema de equações lineares nas incógnitas x, y e z, sobre R: 3x + 2y + z = 39 5y + z = 24 36z = 99 A este sistema corresponde a matriz Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 19 / 67

20 1 Matrizes Motivação Um pouco de História O matemático inglês Arthur Cayley ( ) foi o primeiro a estudar matrizes Quando era estudante conheceu James Joseph Sylvester ( ), também um ícone da álgebra britânica, de quem se tornou amigo Nessa época Cayley escreveu um artigo usando o termo Matriz (termo este que já teria sido usado por Sylvester cinco anos antes) Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 20 / 67

21 1 Matrizes Algumas definições e exemplos 11 Algumas definições e exemplos R - conjunto dos números reais C - conjunto dos números complexos K - conjunto dos escalares K = R ou K = C n, m N A : {1,, m} {1,, n} K (i, j) A(i, j) = a ij Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 21 / 67

22 1 Matrizes Algumas definições e exemplos 11 Algumas definições e exemplos A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a 21 - elemento de A situado na linha 2 e na coluna 1 linha i de A = (a i1, a i2,, a in ) coluna j de A = (a 1j, a 2j,, a mj ) M m n (K) - conjunto das matrizes m n sobre K Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 22 / 67

23 1 Matrizes Algumas definições e exemplos 11 Algumas definições e exemplos Definição Dizemos que as matrizes A, B M m n (K) são iguais, e escrevemos A = B, se a ij = b ij para i = 1,, m j = 1,, n Caso contrário escrevemos A B A, B M m n (K) i = 1,, m, j = 1,, n a ij, b ij - elementos homólogos Só podem ser iguais matrizes com igual número de linhas, igual número de colunas e com elementos homólogos iguais Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 23 / 67

24 1 Matrizes Algumas definições e exemplos 11 Algumas definições e exemplos Definição Seja A M m n (K) A diz-se uma matriz coluna se n = 1 A diz-se uma matriz linha se m = 1 A diz-se uma matriz quadrada se m = n Neste caso diz-se que A é quadrada de ordem n ou, simplesmente, que A é uma matriz de ordem n Exemplo A = 1 0 π, B = [ e 2 5π ], C = [ 2 ] e D = Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 24 / 67

25 1 Matrizes Algumas definições e exemplos 11 Algumas definições e exemplos Seja A uma matriz quadrada de ordem n: A= a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn a 11, a 22,, a nn - elementos diagonais de A (a 11, a 22,, a nn ) - diagonal principal de A a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n 0 0 a nn - triangular superior ( a ij = 0 para i > j) Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 25 / 67

26 1 Matrizes Algumas definições e exemplos 11 Algumas definições e exemplos a a 21 a 22 0 a n1 a n2 a nn a a a nn α α α I n = triangular inferior ( a ij = 0 para i < j) - diagonal ( a ij = 0 para i j) - escalar (diagonal com a ii = α, i = 1,, n) - matriz identidade Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 26 / 67

27 1 Matrizes Algumas definições e exemplos 11 Algumas definições e exemplos Exemplo A = Definição [, B = π ] [ ], C = e π 0 e I 0 e π 3 = Designamos por matriz nula de M m n (K) e representamos por 0 m n ou simplesmente por 0 se não houver ambiguidade a matriz de M m n (K) 0 m n = Dada A M m n (K), representamos por A a matriz de M m n (K) tal que: A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 27 / 67

28 1 Matrizes Operações com matrizes 12 Operações com matrizes - Adição de matrizes Definição Sejam A, B M m n (K) Chamamos matriz soma da matriz A com a matriz B, e denotamos por A + B à matriz de M m n (K) cuja entrada (i, j) é a ij + b ij isto é (A + B) ij = a ij + b ij i = 1,, m j = 1,, n A + B = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn + b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n b m1 b m2 b mn = = a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n a m1 + b m1 a m2 + b m2 a mn + b mn Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 28 / 67

29 1 Matrizes Operações com matrizes 12 Operações com matrizes - Propriedades da Adição de matrizes Proposição Tem-se: 1 A,B Mm n (K) A + B = B + A (comutativa) 2 A,B,C Mm n (K) (A + B) + C = A + (B + C) (associativa) 3 0m n M m n (K) A Mm n (K) A + 0 m n = 0 m n + A = A (existência de elemento neutro) 4 A Mm n (K) A Mm n (K) A + ( A) = ( A) + A = 0 m n (existência de oposto) Se A, B M m n (K), representamos por A B a matriz A + ( B) Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 29 / 67

30 1 Matrizes Operações com matrizes 12 Operações com matrizes - Multiplicação de um escalar por uma matriz Definição Sejam α K e A M m n (K) Chamamos matriz produto do escalar α pela matriz A, e denotamos por αa, à matriz de M m n (K) cujo elemento (i, j) é αa ij, isto é, α K e A M m n (K) (αa) ij = αa ij, i = 1,, m j = 1,, n αa = α a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn = αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 30 / 67

31 1 Matrizes Operações com matrizes 6 Se αa = 0 m n então α = 0 ou A = 0 m n Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 31 / Operações com matrizes - Propriedades da Multiplicação de um escalar por uma matriz Proposição Sejam A, B M m n (K) e α, β K Tem-se 1 α(a + B) = αa + αb 2 (α + β)a = αa + βa 3 (αβ)a = α(βa) 4 1A = A 5 ( α)a = α( A) = (αa)

32 1 Matrizes Operações com matrizes 12 Operações com matrizes - Multiplicação de matrizes Definição Sejam A M m n (K) e B M n p (K) Define-se produto da matriz A pela matriz B, e representa-se por AB, a matriz de M m p (K) tal que (AB) ij = a i1 b 1j + + a in b nj, i = 1,, m, j = 1,, p Assim, a i1 a i2 a in (AB) ij = b 1j b 2j b nj n a ik b kj k=1 = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 32 / 67

33 1 Matrizes Operações com matrizes 12 Operações com matrizes Exemplo = ( 8) + 2 ( 1) ( 2) ( 8) + 5 ( 1) ( 2) = Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 33 / 67

34 1 Matrizes Operações com matrizes 12 Operações com matrizes [ ] 0 1 A matriz transforma qualquer vector x = (p 1 0 1, p 2 ) de R 2 num vector y = ( p 2, p 1 ) de R 2, pois [ ] [ ] [ ] 0 1 p1 p2 =, 1 0 p 2 p 1 o que representa uma rotação de π 2 no plano Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 34 / 67

35 1 Matrizes Operações com matrizes 12 Operações com matrizes - Propriedades da Multiplicação de matrizes Proposição Seja A M m n (K) e sejam B, C matrizes do tipo adequado de forma a que as operações indicadas estejam definidas Tem-se 1 (AB)C = A(BC) (associativa) 2 A(B + C) = AB + AC (distributiva, à esquerda), (B + C)A = BA + CA (distributiva, à direita) 3 α(ab) = (αa)b = A(αB), α K 4 AI n = I m A = A Demonstração da 2 a afirmação da propriedade 2: Sejam A M m n (K) e B, C M p m (K) Vejamos que (B + C)A = BA + CA Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 35 / 67

36 1 Matrizes Operações com matrizes 12 Operações com matrizes - Propriedades da Multiplicação de matrizes Como A M m n (K) e B + C M p m (K), tem-se (B + C)A M p n (K) Por outro lado, BA, CA M p n (K) donde BA + CA M p n (K) Então (B + C)A e BA + CA são ambas matrizes do tipo p n Da definição de produto de matrizes resulta que o elemento da posição (i, j) da matriz (B + C)A é ((B + C)A) ij = m (B + C) ik a kj k=1 Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 36 / 67

37 1 Matrizes Operações com matrizes 12 Operações com matrizes - Propriedades da Multiplicação de matrizes Pela definição de soma de matrizes tem-se (B + C) ik = b ik + c ik e, portanto, Por outro lado, m ((B + C)A) ij = (b ik + c ik )a kj k=1 (BA + CA) ij = (BA) ij + (CA) ij = m m b ik a kj + c ik a kj k=1 k=1 Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 37 / 67

38 1 Matrizes Operações com matrizes 12 Operações com matrizes - Propriedades da Multiplicação de matrizes Utilizando as propriedades distributiva da multiplicação em relação à adição, comutativa e associativa da adição, em K, tem-se ((B + C)A) ij = i = 1,, p, j = 1,, n Logo = m (b ik + c ik )a kj k=1 m b ik a kj + k=1 m c ik a kj k=1 = (BA) ij + (CA) ij = (BA + CA) ij, (B + C)A = BA + CA Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 38 / 67

39 1 Matrizes Operações com matrizes 12 Operações com matrizes - Propriedades da Multiplicação de matrizes Algumas propriedades da multiplicação em K não são verificadas pela multiplicação de matrizes: A multiplicação de matrizes não é comutativa AB = 0 (A = 0 ou B = 0), isto é, pode ter-se AB = 0 com A 0 e B 0 (AB = AC e A 0) B = C, (BA = CA e A 0) B = C Exemplo [ ] [ ] [ Sejam A =, B = e C = [ ] [ ] [ ] AB =, BA = e AC = ] Temos que Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 39 / 67

40 1 Matrizes Operações com matrizes 12 Operações com matrizes - Potência de expoente k de uma matriz Definição Seja A M n n (K) Chamamos potência de expoente k de A (k N 0 ) à matriz de M n n (K), que representamos por A k, definida, por recorrência, do seguinte modo: { A k = I n, se k = 0 A k 1 A, se k N Proposição Quaisquer que sejam A M n n (K) e k, l N 0, tem-se 1 A k A l = A k+l 2 (A k ) l = A kl Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 40 / 67

41 1 Matrizes Operações com matrizes 12 Operações com matrizes - Potência de expoente k de uma matriz Demonstração da propriedade 2: Vamos demonstrar por indução em l Sejam A M n n (K) e k N 0 Se l = 0, temos (A k ) l = (A k ) 0 = I n = A 0 = A k 0 = A kl Hipótese de Indução: (A k ) l = A kl Demonstremos que (A k ) (l+1) = A k(l+1) Atendendo à definição de potência, à hipótese de indução, à propriedade 1 e à distributividade da multiplicação em relação à adição em K, temos (A k ) (l+1) = (A k ) l A k = A kl A k = A kl+k = A k(l+1) Logo, para quaisquer k, l N 0 tem-se (A k ) l = A kl Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 41 / 67

42 1 Matrizes Matrizes invertíveis 13 Matrizes invertíveis Definição Seja A M n n (K) Dizemos que A é invertível, ou que tem inversa, se A tem oposto para a multiplicação de matrizes, isto é, se existir uma matriz B M n n (K), tal que AB = BA = I n Teorema Se A M n n (K) é uma matriz invertível então existe uma, e uma só, matriz B tal que AB = BA = I n Definição Se A M n n (K) é uma matriz invertível, a única matriz B tal que AB = BA = I n designa-se por a inversa de A e é denotada por A 1 Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 42 / 67

43 1 Matrizes Matrizes invertíveis 13 Matrizes invertíveis Em M n n (K), A 0 A invertível Exemplo A matriz A = qualquer B = [ [ a b ] c d ] M 2 2 (R) não tem inversa porque, para M 2 2 (R), se tem AB = [ ][ a b c d ] = [ a b 5a 5b ] I 2 ou BA = [ a b c d ][ ] = [ a + 5b 0 c + 5d 0 ] I 2 Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 43 / 67

44 1 Matrizes Matrizes invertíveis 13 Matrizes invertíveis Teorema Seja A M n n (K) uma matriz invertível 1 Se B M n n (K) é tal que AB = I n então B = A 1 e, portanto, BA = I n 2 Se B M n n (K) é tal que BA = I n então B = A 1 e, portanto, AB = I n Demonstração da propriedade 2: Como A é invertível, A 1 existe (e é única) Da igualdade BA = I n resulta, (BA)A 1 = I n A 1 B(AA 1 ) = A 1 BI n = A 1 B = A 1 Então AB = AA 1 = I n Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 44 / 67

45 1 Matrizes Matrizes invertíveis 13 Matrizes invertíveis Teorema 1 Se A M n n (K) é invertível então A 1 é invertível e (A 1 ) 1 = A 2 Se α K\{0} e A é invertível então αa é invertível e (αa) 1 = α 1 A 1 3 Se A, B M n n (K) são invertíveis então AB é invertível e (AB) 1 = B 1 A 1 4 Mais geralmente, se k N e A 1,, A k M n n (K) são invertíveis então A 1 A k é invertível e (A 1 A k ) 1 = A k 1 A Se A M n n (K) é invertível então, para qualquer k N, A k é invertível e (A k ) 1 = (A 1 ) k Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 45 / 67

46 1 Matrizes Matrizes invertíveis 13 Matrizes invertíveis Demonstração da propriedade 4: Vamos demonstrar por indução em k que se A 1,, A k M n n (K) são invertíveis então A 1 A k é invertível e (A 1 A k ) 1 = A k 1 A 1 1 Se k = 1 a afirmação é trivial Para k = 2 temos, pela Propriedade 3, A 1 A 2 é invertível e (A 1 A 2 ) 1 = A 2 1 A 1 1 Hipótese de Indução: Se A 1,, A k M n n (K) são invertíveis então A 1 A k é invertível e (A 1 A k ) 1 = A k 1 A 1 1 Demonstremos que se A 1,, A k, A k+1 M n n (K) são invertíveis então A 1 A k A k+1 é invertível e (A 1 A k A k+1 ) 1 = A k+1 1 A k 1 A 1 1 Pela hipótese de indução, A 1 A k é invertível donde, pela Propriedade 3, (A 1 A k )A k+1 é invertível e ((A 1 A k )A k+1 ) 1 = A k+1 1 (A 1 A k ) 1 Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 46 / 67

47 1 Matrizes Matrizes invertíveis 13 Matrizes invertíveis Finalmente, pela hipótese de indução e pela propriedade associativa da multiplicação de matrizes, concluímos que A 1 A k A k+1 é invertível e (A 1 A k A k+1 ) 1 = A k+1 1 (A 1 A k ) 1 = A k+1 1 (A k 1 A 1 1 ) = A k+1 1 A k 1 A 1 1 Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 47 / 67

48 1 Matrizes Transposição e conjugação de matrizes 14 Transposição e conjugação de matrizes Definição Seja A M m n (K) Chamamos matriz transposta de A, e representamos por A, a matriz de M n m (K) tal que ( A ) ij = a ji, i = 1,, n, j = 1,, m a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn = a 11 a 21 a m1 a 12 a 22 a m2 a 1n a 2n a mn Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 48 / 67

49 1 Matrizes Transposição e conjugação de matrizes 14 Transposição e conjugação de matrizes Proposição Sejam α K e A, B matrizes sobre K de tipos adequados para que as operações indicadas tenham sentido Tem-se 1 ( A ) = A 2 (A + B) = A + B 3 (αa) = αa 4 (AB) = B A 5 ( A k ) = ( A ) k, para todo k N 6 Se A é invertível então A é invertível e ( A ) 1 = ( A 1 ) Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 49 / 67

50 1 Matrizes Transposição e conjugação de matrizes 14 Transposição e conjugação de matrizes Demonstração da propriedade 2: Sejam A, B M m n (K) Então (A + B) e A + B pertencem ambas a M n m (K) Vejamos que os elementos homólogos de (A + B) e A + B são iguais, isto é, que ((A + B) ) ij = ( A + B ) ij Tem-se, pelas definições de adição e transposição de matrizes, ( A + B ) = (A ) ( + B ) ij ij ij = (A) ji + (B) ji = (A + B) ji = ( (A + B) ) ij, i = 1,, n, j = 1,, m Logo (A + B) = A + B Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 50 / 67

51 1 Matrizes Transposição e conjugação de matrizes 14 Transposição e conjugação de matrizes Definição Uma matriz A diz-se simétrica se A = A e hemi simétrica se A = A Definição Dizemos que A M n n (K) é simétrica se a ij = a ji é hemi-simétrica se a ij = a ji i, j = 1,, n i, j = 1,, n e que Exemplo A matriz π hemi simétrica A matriz hemi simétrica é simétrica A matriz πi 2i πi 0 3 2i 3 0 não é simétrica nem Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 51 / 67 é