Curso Satélite de. Matemática. Sessão n.º 1. Universidade Portucalense
|
|
- Simone Anna Fernandes Domingos
- 7 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Curso Satélite de Matemática Sessão n.º 1 Universidade Portucalense
2 Conceitos Algébricos
3 Propriedades das operações de números reais Considerem-se três números reais quaisquer, a, b e c. 1. A adição de números reais é comutativa, i.e., a + b = b + a. Exemplo: = = 5; 2. A adição de números reais é associativa, i.e., (a + b) + c = a + (b + c). Exemplo: (3 + 2) + 1 = = 6 = = 3 + (2 + 1); 3. O elemento neutro da adição é o 0, i.e., a + 0 = 0 + a = a. Exemplo: = = 50;
4 4. Qualquer número real a tem um elemento simétrico (denotado por a) que satisfaz a + ( a) = a + a = 0. Exemplo: ( 101) = = 0; 5. A multiplicação de números reais é comutativa, i.e., Exemplo: 3 2 = 2 3 = 6; a b = b a. 6. A multiplicação de números reais é associativa, i.e., (a b) c = a (b c). Exemplo: (3 2) 4 = 6 4 = 24 = 3 8 = 3 (2 4);
5 7. O elemento neutro da multiplicação é o 1, i.e., Exemplo: 78 1 = 1 78 = 78; a 1 = 1 a = a. 8. Qualquer número real não nulo a tem um elemento inverso (denotado por a -1 ) que satisfaz a a -1 = a -1 a = Exemplo: ; A multiplicação é distributiva em relação à adição, i.e., a (b + c) = a b + a c. Exemplo: 3 (2 + 4) = 3 6 = 18 = =
6 Note-se que a subtracção de b a a pode ser definida como a soma de a com o simétrico de b, i.e., a b = a + ( b). Por outro lado, a divisão de a por b pode ser definida como a multiplicação de a pelo inverso de b, i.e., Como b 1 1 b a b = a b -1. para qualquer b 0, então 1 a b a. b O inverso multiplicativo de 0 não existe, por isso a divisão por 0 não está definida.
7 Regras das operações com números reais: Para somar dois números reais com o mesmo sinal, some os dois valores absolutos (sem o sinal) e acrescente o sinal comum; Exemplo: 4 6 = 4 + ( 6) = (4 + 6) = 10. Para somar dois números reais com sinais opostos, encontre a diferença entre os dois valores absolutos e acrescente o sinal do número com maior valor absoluto; Exemplos: = (6 4) = 2; = + (7 3) = 4. O produto de dois números reais com sinais iguais é positivo; Exemplos: 4 ( 10) = 4 10 = 40; 2 4 = 8. O produto de dois números reais com sinais opostos é negativo; Exemplos: 10 2 = (10 2) = 20; 3 ( 6) = 18.
8 Para somar fracções: com o mesmo denominador, somam-se os numeradores e mantém-se o denominador comum Exemplo: com denominadores diferentes, reduz-se as fracções ao mesmo denominador e depois cai-se no ponto anterior Exemplo: Para multiplicar fracções: multiplicam-se numeradores com numeradores e denominadores com denominadores ( 3) Exemplo:
9 Para calcular o resultado de uma expressão é necessário seguir a seguinte ordem: 1. Efectue as operações que se encontram dentro de parêntesis (ou módulos); 2. Calcule o valor das potências indicadas (exemplo: 2 2 = 2 2); 3. Execute as multiplicações e divisões da esquerda para a direita; 4. Faça as adições e subtracções da esquerda para a direita. Exemplo: (4 + 1) = = = = 14.
10 Propriedades das potências Para qualquer número real a define-se: a 1 = a; a 2 = a a; a 3 = a a a; a n = a a a (produto de n factores, com n N). a denomina-se a base da potência e n o expoente. Note-se que a n não é o mesmo que ( a) n. a n = a a a e ( a) n = ( a) ( a) ( a).
11 Por definição, a 0 = 1 para qualquer a 0. Regras da multiplicação de potências: Seja a R e m, n N. Então a n a m = a a a a a a = a n + m. n factores m factores Na multiplicação de potências com a mesma base e com expoentes diferentes, dá-se a mesma base e somam-se os expoentes. Exemplo:
12 Da regra anterior conclui-se que, se a R e m, n N, então m factores m parcelas n m n n n n n n mn a a a a a a Quando temos uma potência de outra potência, dá-se a mesma base da potência dentro dos parêntesis e multiplicam-se os expoentes Exemplo: Note que: m m n n a não é o mesmo que a.
13 Seja a, b R e n N. Então a n b n = a a a b b b n factores n factores Pela comutatividade da multiplicação obtém-se = a b a b a b a b = (a b) n. n multiplicações de a b Na multiplicação de potências com o mesmo expoente e com bases diferentes, mantém-se o mesmo expoente e multiplicam- -se as bases Exemplo:
14 Por vezes é necessário trabalhar com expoentes negativos. As regras anteriores mantêm-se válidas em expoentes negativos. Exemplo: = = 2. Atendendo à potência de potência e à definição de inverso, para qualquer a, b R\{0} e n N verifica-se que Concluindo, qualquer número elevado a um expoente negativo é igual ao seu inverso elevado ao expoente positivo. Exemplo: n 1 a a b b b a n n.
15 Propriedades dos radicais Define-se a raiz n-ésima (n N) de um número real a por: n a b se e só se a b n, seguindo as seguintes condições: a = 0 a > 0 a < 0 n par n a 0 n a 0 n a não é real n ímpar n a 0 n a 0 n a 0 Nota: não existe nenhum número real que elevado a um número par dê um número negativo.
16 Exemplos: uma vez que Repare-se que embora 4 2 ; Por definição, o resultado das raízes pares é sempre positivo. 2 4 não é um número real. Não existe nenhum número real que elevado a um expoente par dê um número negativo uma vez que uma vez que 27 3.
17 Sempre que a n-ésima raiz de a R é um número real, definimos 1 n n a a, para qualquer número natural n. Nas condições anteriores, utilizando a potência de potência, é possível concluir que m 1 1 m m n n n n a a a a ou que m 1 m n n m n m a a a a 1 n, m, para qualquer valor de m Z (quando m 0, a tem que ser não nulo).
18 Regras da multiplicação de radicais: As regras dos radicais resultam das regras das potências. Exemplo: sempre que a n-ésima raiz de a e a n-ésima raiz de b são números reais, então n n n n n n a b a b ab ab. Se, para além das condições anteriores, o b for não nulo, 1 1 n n a a a n a n. n 1 b b b n b Exemplos: ; e
19 Equações do 1º grau Uma equação é uma afirmação que duas quantidades (expressões algébricas) são iguais. Exemplos: (x 3) 2 = 1 ou x 2 + x = 0. As duas quantidades de cada lado do sinal de igualdade são chamados os membros da equação. A 1ª equação do exemplo anterior tem membros (x 3) 2 e 1. Nos exemplos anteriores, x chama-se a variável uma vez que à medida que x varia, a equação pode ser verdadeira ou falsa. A variável x de uma equação também é designada de incógnita da equação.
20 Todos os valores de x que tornam uma equação verdadeira são chamados soluções dessa equação. O conjunto solução de uma equação é formado por todos os valores da variável x que tornam essa equação verdadeira. Duas equações dizem-se equivalentes (representa-se com o sinal ) se elas têm exactamente o mesmo conjunto solução. Exemplo: 4x 12 = 16 4x = 28 x = 7 Todas as equações anteriores dizem-se equivalentes uma vez que têm todas o mesmo conjunto solução que é {7}.
21 Propriedades da igualdade: Propriedade da substituição: sempre que se substitui a expressão dum membro de uma equação por outra expressão igual a ela, a equação obtida é equivalente à primeira. Exemplo: 3(x + 2) 2x 6 = 1 3x + 6 2x 6 = 1 x = 1. Dizemos que o conjunto solução desta equação é {1}. Propriedade aditiva: sempre que se adiciona a mesma quantidade a ambos os membros de uma equação, obtém-se uma equação equivalente. Exemplo: x + 4 = 10 x ( 4) = 10 + ( 4) x = 6. Dizemos que o conjunto solução desta equação é {6}.
22 Propriedade multiplicativa: sempre que se multiplica a mesma quantidade (diferente de zero) por ambos os membros de uma equação, obtém-se uma equação equivalente x 10 Exemplo 1: 5x 10 (5 x) 10 x Dizemos que o conjunto solução desta equação é {2}. x x 4x Exemplo 2: x Dizemos que o conjunto solução desta equação é {8}. Se numa equação a variável aparece sempre com o expoente igual a 1, dizemos que essa é uma equação do primeiro grau. As propriedades anteriores são suficientes para resolver (achar o conjunto solução de) qualquer equação do primeiro grau.
23 Como resolver uma equação do primeiro grau 3x 2( x1) Exemplo: Resolva Se a equação contém fracções, multiplique ambos os membros da equação pelo denominador comum das fracções (ou seja, pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores); 3x 2( x 1) 3x 2( x 1) Exemplo: Remova todos os parêntesis da equação; 3x 2( x1) Exemplo: x123 2( x1) x 36 4( x1) 9x 36 4x 4.
24 3. Calcule todas as somas por forma a obter todos os termos que contêm a variável no primeiro membro e todos os termos independentes no segundo membro; Exemplo: 9x + 36 = 4x 4 9x x = 4x 4 4x (9 4)x + 36 = (4 4)x 4 5x + 36 = 4 5x = x = Divida ambos os membros da equação pelo coeficiente da variável; 5x 40 Exemplo: 5x 40 x
25 5. Verifique a solução obtida substituindo na equação original. Exemplo: 3 ( 8) 2( 8 1) 24 2 ( 9) Obteve-se uma proposição verdadeira, logo -8 é solução desta equação. Desafio: Resolva a equação: 1 2x ( x 2) 3 2 6
26 Resolução: x x ( x 2) ( x 2) x x x 9 6 x 2 2 4x 2 3 x 2 4x 5 x 2 4x x 2 5 3x 3 x 1.
27 O conjunto solução desta equação é {1}. Verificação que 1 é solução da equação: (1 2) ( 1) Obteve-se um proposição verdadeira, logo 1 é solução da equação.
28 Equações de graus superiores equações do segundo grau Uma equação do segundo grau (numa variável x) é uma equação que se pode escrever na forma geral ax 2 + bx + c = 0, onde a, b e c são constantes reais com a 0. Exemplos: a equação 4x 2 + 4x + 1 = 0 é uma equação do 2º grau e já está escrita na sua forma geral. A equação 5x 2 + 2x = x 2 2x 1 é equivalente à equação anterior. Logo é uma equação do 2º grau mas não está escrita na sua forma geral.
29 O primeiro passo para resolver uma equação do 2º grau é transformá-la na sua forma geral. Para tal usam-se as mesmas propriedades da igualdade que se usam nas equações do 1º grau. Exemplo: converta a equação 5x 2 + 2x = x 2 2x 1 na sua forma geral: 5x 2 + 2x = x 2 2x 1 5x 2 + 2x x 2 = x 2 2x 1 x 2 (5 1)x 2 + 2x = 2x 1 4x 2 + 2x + 2x = 2x 1 + 2x 4x 2 + 4x = 1 4x 2 + 4x + 1 = x 2 + 4x + 1 = 0.
30 Para resolvermos equações do 2º grau que já estão na sua forma geral convém relembrar algumas propriedades importantes: Lei do anulamento do produto: Sejam a e b quaisquer dois números reais. O produto a b é igual a zero se e só se um dos factores (a ou b) for igual a zero, isto é, a b = 0 a = 0 b = 0. Quadrado da soma: Sejam a e b quaisquer dois números reais então (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2. Diferença de quadrados: Sejam a e b quaisquer dois números reais então a 2 b 2 = (a b)(a + b).
31 Resolução de uma equação do 2º grau com b e c iguais a zero Quando b e c são nulos, a equação quadrática fica equivalente a ax x + 0 = 0 ax 2 = 0 x = 0. Resolução de uma equação do 2º grau apenas com b igual a zero Quando b é nulo, a equação quadrática fica equivalente a ax x + c = 0 ax 2 + c = 0 ax 2 = c x 2 = c/a. Se c/a for negativo, a equação não tem solução (é impossível) uma vez que não há nenhum número real que elevado ao quadrado seja negativo. Se c/a for positivo, a solução é x c / a x c / a x c / a.
32 Exemplo 1: ( x 1) 2x 3x 2 x 2 x( 1) ( 1) 2x 3x x x x x 2 2 x x 2 2 x x 2 4x x 1 x x x x x O conjunto solução é {-1/2,1/2}.
33 Exemplo 2: x 4 x ( x2) 1 ( x2) 1 2 ( x 2) 4x x x x 2 x x x 2 x Equação impossível uma vez que não existe nenhum número real que elevado ao quadrado dê 2. O conjunto solução da equação é {}. x
34 Resolução de uma equação do 2º grau apenas com c igual a zero Quando c é nulo, a equação quadrática fica equivalente a ax 2 + bx + 0 = 0 ax 2 + bx = 0 x (ax + b) = 0. Pela lei do anulamento do produto resulta que x (ax + b) = 0 x = 0 ax + b = 0 Exemplo 1: x = 0 ax = b x = 0 x = b/a. 2x 2 + 2x + 2 = x x 2 + 2x + 2 x 2 2 = 0 x 2 + 2x = 0 x(x + 2) = 0 x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = 2.
35 Resolução de uma equação do 2º grau com a, b e c não nulos Quando a, b e c não são nulos, a equação quadrática resolve-se utilizando a fórmula resolvente que diz que 2 ax bx c 0 x 2 b b 4ac 2a x x 2a 2a 2 2 b b 4ac b b 4ac Sempre que b 2 4ac < 0, a raiz quadrada do numerador não é um número real. Neste caso a equação não tem soluções reais. Sempre que b 2 4ac = 0, a raiz quadrada do numerador é igual a zero. Neste caso a equação tem uma solução real. Sempre que b 2 4ac > 0, a equação tem duas soluções reais..
36 Exemplo 1: 2 x 5x x 2 x 5 x 5x x x x x x x x 4x 20 0 Como a = 1, b = 4 e c = 20, pela fórmula resolvente obtém-se x x ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) x x. 2 2 A equação é impossível em R.
37 Exemplo 2: x x 4x 4x 1 4x 4x Como a = 4, b = 4 e c = 1, pela fórmula resolvente obtém-se x x x x x x x O conjunto solução desta equação é { 0.5}.
38 Exemplo 3: x x x x x x x x Como a = 1, b = 3 e c = 2, pela fórmula resolvente obtém-se x x ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) x x x x x 1 x O conjunto solução desta equação é {1, 2}.
Revisão de Pré-Cálculo NÚMEROS REAIS E OPERAÇÕES
Revisão de Pré-Cálculo NÚMEROS REAIS E OPERAÇÕES Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni Departamento de Matemática, FEG, UNESP Lc. Ismael Soares Madureira Júnior Guaratinguetá, SP, Outubro, 2016 Direitos
Leia maisUniversidade Portucalense Departamento de Inovação, Ciência e Tecnologia Curso Satélite - Módulo I - Matemática
Universidade Portucalense Departamento de Inovação, Ciência e Tecnologia Curso Satélite - Módulo I - Matemática Valor Absoluto: O valor absoluto de a, representa-se por a e é a distância do número a a
Leia maisMATEMÁTICA I. Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari
MATEMÁTICA I Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari amanda.perticarrari@unesp.br www.fcav.unesp.br/amanda MATEMÁTICA I AULA 1: PRÉ-CÁLCULO Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari CONJUNTOS NUMÉRICOS
Leia maisMATEMÁTICA BÁSICA SUMÁRIO
MATEMÁTICA BÁSICA SUMÁRIO 1 Operações com frações 2 Divisão de frações 3 Operações com números relativos 4 Resolução de equações do 1º grau (1º tipo) 5 Resolução de equações do 1º grau (2º tipo) 6 Resolução
Leia maisMatemática Régis Cortes EQUAÇÕES DE GRAUS
EQUAÇÕES DE 1 0 E 2 0 GRAUS 1 EQUAÇÃO DO 1º GRAU As equações do primeiro grau são aquelas que podem ser representadas sob a forma ax+b=0,em que a e b são constantes reais, com a diferente de 0, e x é a
Leia maisIGUALDADES EM IR IDENTIDADES NOTÁVEIS
IGUALDADES EM IR Uma relação muito importante definida em IR (conjunto dos números reais) é a relação de igualdade. Na igualdade A = B, A é o primeiro membro e B é o segundo membro. As igualdades entre
Leia maisCálculo com expressões que envolvem radicais
Escola Secundária de Aljustrel Material de apoio para o 11. o Ano Ano Lectivo 00/003 Cálculo com expressões que envolvem radicais José Paulo Coelho Abril de 003 ... Índice... 1 Radicais: definição e propriedades.
Leia maisMATEMÁTICA I. Ana Paula Figueiredo
I Ana Paula Figueiredo Números Reais IR O conjunto dos números Irracionais reunido com o conjunto dos números Racionais (Q), formam o conjunto dos números Reais (IR ). Assim, os principais conjuntos numéricos
Leia maisUnidade I MATEMÁTICA. Prof. Celso Ribeiro Campos
Unidade I MATEMÁTICA Prof. Celso Ribeiro Campos Números reais Três noções básicas são consideradas primitivas, isto é, são aceitas sem a necessidade de definição. São elas: a) Conjunto. b) Elemento. c)
Leia maisEQUAÇÕES BIQUADRADAS
EQUAÇÕES BIQUADRADAS Acredito que só pelo nome dar pra você ter uma idéia de como seja uma equação biquadrada, Se um time é campeão duas vezes, dizemos ele é bicampeão, se uma equação é do grau quando
Leia maisEduardo. Matemática Matrizes
Matemática Matrizes Eduardo Definição Tabela de números dispostos em linhas e colunas. Representação ou Ordem da Matriz Se uma matriz A possui m linhas e n colunas, dizemos que A tem ordem m por n e escrevemos
Leia maisOPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS
ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS COM SINAIS IGUAIS OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS 1º Caso: (+3 ) + (+4) = + 7 +3 + 4 = + 7 ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS Quando duas parcelas são positivas, o resultado da adição
Leia maisCONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS. Apostila do 8º ano Números Reais Apostila I Bimestre 8º anos
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS NÚMEROS RACIONAIS Apostila do 8º ano Números Reais Apostila I Bimestre 8º anos Numero racional é todo o numero que pode ser escrito na forma a/b (com b diferente de zero) : a)
Leia maisMatrizes e sistemas de equações algébricas lineares
Capítulo 1 Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 1 / 37 Definições Equação linear Uma equação (algébrica)
Leia maisIntrodução aos números inteiros
Introdução aos números inteiros Laura Goulart UESB 19 de Dezembro de 2017 Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 1 / 18 Adição Laura Goulart (UESB) Introdução aos números
Leia maisESCOLA TÉCNICA ESTADUAL FREDERICO GUILHERME SCHMIDT
PRODUTOS NOTÁVEIS Quadrado da soma de dois termos (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 quadrado do segundo termo primeiro termo 2 x (primeiro termo) x (segundo termo) quadrado do primeiro termo segundo termo Quadrado
Leia maisCapítulo 1: Fração e Potenciação
1 Capítulo 1: Fração e Potenciação 1.1. Fração Fração é uma forma de expressar uma quantidade sobre o todo. De início, dividimos o todo em n partes iguais e, em seguida, reunimos um número m dessas partes.
Leia maisMonster. Concursos. Matemática 1 ENCONTRO
Monster Concursos Matemática 1 ENCONTRO CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjuntos numéricos podem ser representados de diversas formas. A forma mais simples é dar um nome ao conjunto e expor todos os seus elementos,
Leia mais1 Números Complexos. Seja R o conjunto dos Reais. Consideremos o produto cartesiano R R = R 2 tal que:
Números Complexos e Polinômios Prof. Gustavo Sarturi [!] Esse documento está sob constantes atualizações, qualquer erro de ortografia, cálculo, favor comunicar. Última atualização: 01/11/2018. 1 Números
Leia maisÁlgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares
universidade de aveiro departamento de matemática Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica Agrupamento IV (ECT, EET, EI) Capítulo 1 Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Geometria anaĺıtica em R 3 [1 01]
Leia maisAula 1: Conjunto dos Números Inteiros
Aula 1: Conjunto dos Números Inteiros 1 Introdução Observe que, no conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,..., a operação de subtração nem sempre é possível. a) 5 3 = 2 (é possível: 2 N) b)
Leia maisAula Inaugural Curso Alcance 2017
Aula Inaugural Curso Alcance 2017 Revisão de Matemática Básica Professores: Me Carlos Eurico Galvão Rosa e Me. Márcia Mikuska Universidade Federal do Paraná Campus Jandaia do Sul cegalvao@ufpr.br 06 de
Leia maisOperações Fundamentais com Números
Capítulo 1 Operações Fundamentais com Números 1.1 QUATRO OPERAÇÕES Assim como na aritmética, quatro operações são fundamentais em álgebra: adição, subtração, multiplicação e divisão. Quando dois números
Leia maisMATEMÁTICA I. Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari
MATEMÁTICA I Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari amanda@fcav.unesp.br www.fcav.unesp.br/amanda HORÁRIO DA DISCIPLINA Quinta-Feira: 9h (Turma 1) sala 38 Quinta-Feira: 14h (Turma 2) sala 38 DISPENSA
Leia maisDado um inteiro positivo n, definimos U(n) como sendo o conjunto dos inteiros positivos menores que n e primos com n. Não é difícil ver que a
Exemplo (U(n)) Dado um inteiro positivo n, definimos U(n) como sendo o conjunto dos inteiros positivos menores que n e primos com n. Não é difícil ver que a multiplicação módulo n é uma operação binária
Leia maisChama-se conjunto dos números naturais símbolo N o conjunto formado pelos números. OBS: De um modo geral, se A é um conjunto numérico qualquer, tem-se
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Conjuntos Numéricos Prof.:
Leia maisMONÔMIOS E POLINÔMIOS
MONÔMIOS E POLINÔMIOS Problema: Observa as figuras. 6-9 6 4 Sabendo que as figuras são equivalentes, determina as dimensões do retângulo. Resolução: Se as figuras são equivalentes significa que têm a mesma
Leia mais4 ÁLGEBRA ELEMENTAR. 4.1 Monômios e polinômios: valor numérico e operações.
4 ÁLGEBRA ELEMENTAR 4.1 Monômios e polinômios: valor numérico e operações. 4.1.1 - Introdução: As expressões algébricas que equacionam os problemas conduzem logicamente à sua solução são denominados polinômios
Leia maisREVISÃO DE ÁLGEBRA. Apareceu historicamente em processos de contagem. Obs.: dependendo da conveniência, o zero pode pertencer aos naturais.
REVISÃO DE ÁLGEBRA 1ª. AULA CONJUNTOS BÁSICOS: Conjuntos dos números naturais: * + Apareceu historicamente em processos de contagem. Obs.: dependendo da conveniência, o zero pode pertencer aos naturais.
Leia maisDE MATEMÁTICA I. Prof. ADRIANO CATTAI. Corpos Numéricos (Atualizada em 8 de março de 2016)
ac COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA I Prof. ADRIANO CATTAI Corpos Numéricos (Atualizada em 8 de março de 2016) NOME: DATA: / / Não há ciência que fale das harmonias da natureza com mais clareza do que a matemática
Leia maisPensamento. "A escada da sabedoria tem os degraus feitos de números." (Blavatsky) Prof. MSc. Herivelto Nunes
Aula Introdutória Álgebra Linear I- Abril 2017 Pensamento "A escada da sabedoria tem os degraus feitos de números." (Blavatsky) Prof. MSc. Herivelto Nunes Unidade Matrizes. Matrizes A matriz foi criada
Leia maisNotas de Aula Disciplina Matemática Tópico 02 Licenciatura em Matemática Osasco -2010
Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 0 Licenciatura em Matemática Osasco -010 Equações Polinomiais do primeiro grau Significado do termo Equação : As equações do primeiro grau são aquelas que podem
Leia maisAmigoPai. Matemática. Exercícios de Equação de 2 Grau
AmigoPai Matemática Exercícios de Equação de Grau 1-Mai-017 1 Equações de Grau 1. (Resolvido) Identifique os coeficientes da seguinte equação do segundo grau: 3x (x ) + 17 = 0 O primeiro passo é transformar
Leia maisinteiros positivos). ˆ Uma matriz com m linhas e n colunas diz-se do tipo m n. Se m = n ( matriz quadrada), também se diz que a matriz é de ordem n.
Matrizes noções gerais e notações Definição Designa-se por matriz de números reais a um quadro do tipo a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n...... a m1 a m2... a mn onde os elementos a ij (i = 1, 2,...,
Leia maisRenato Martins Assunção
Análise Numérica Renato Martins Assunção DCC - UFMG 2012 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica 2012 1 / 84 Equação linear Sistemas de equações lineares A equação 2x + 3y = 6 é chamada linear
Leia maisFundamentos Tecnológicos
Fundamentos Tecnológicos Equações Algébricas e Equação de 1º Grau Início da aula 06 Equações Algébricas Expressões Algébricas - Definição Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam
Leia maisUnidade 8 Equações e Sistemas de Equações do 1º grau. Sentenças matemáticas
Unidade 8 Equações e Sistemas de Equações do 1º grau Sentenças matemáticas A matemática pode ser considerada uma linguagem e, como todas elas, é preciso algum tempo para dominá-la. Sentenças, em matemática,
Leia maisMaterial Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau. Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes. Nono Ano do Ensino Funcamental
Material Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes Nono Ano do Ensino Funcamental Autor: Prof. Fabrício Siqueira Benevides Revisor: Prof. Antonio
Leia maisMatrizes e Sistemas Lineares
Matrizes e Sistemas Lineares Reforço de Matemática Básica - Professor: Marcio Sabino - 1 Semestre 2015 1 Matrizes Uma matriz é um conjunto retangular de números, símbolos ou expressões, organizados em
Leia maisMestrado em Ensino da Matemática. Ensino da Matemática II. Ensino da Matemática II - Tânia Lopes
Mestrado em Ensino da Matemática Ensino da Matemática II Conceito de números: Naturais; Inteiros; Racionais; Reais; E agora, Complexos. Equações de 2º grau Equações do 3º grau No século XVI, em Itália,
Leia maisMONÓMIOS E POLINÓMIOS
MONÓMIOS E POLINÓMIOS POLINÓMIOS 1 6 a 3 3 7 4 y 4y 3 Eemplos de várias epressões algébricas. Uma epressão algébrica é constituída por um ou mais termos. No polinómio, às parcelas,, e y 4y 3 chamam-se
Leia maisExercício Obtenha, em cada caso, o módulo, o argumento e a forma trigonométrica de z: a) z = 1 + i. setor Aula 31. ρ = 1 2 +( 3 ) 2 ρ= 2.
setor 0 00408 Aula NÚMEROS COMPLEXOS: PLANO DE ARGAND-GAUSS Até este ponto, usamos, para representar um número complexo a expressão a + b i, em que a e b são números reais e i é a unidade imaginária Com
Leia maisAula de Polinómios 8 o ano
Ensino da Matemática I Tânia Lopes FCTUC - Departamento de Matemática 27 de Janeiro de 2012 Denição de polinómio Um polinómio é uma soma algébrica em que a variável x não aparece no denominador. Denição
Leia maisDesenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II
Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II Módulo I Aula 02 EQUAÇÕES Pense no seguinte problema: Uma mulher de 25 anos é casada com um homem 5 anos mais velho que ela. Qual é a soma das idades
Leia maisMATEMÁTICA. Polinômios. Professor : Dêner Rocha. Monster Concursos 1
MATEMÁTICA Polinômios Professor : Dêner Rocha Monster Concursos 1 Monômio, o que isso Professor Dêner? Monômios Denominamos monômio ou termo algébrico quaisquer expressões algébricas representadas por
Leia maisNotas de Aulas de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
FATEC Notas de Aulas de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares Prof Dr Ânderson Da Silva Vieira 2017 Sumário Introdução 2 1 Matrizes 3 11 Introdução 3 12 Tipos especiais de Matrizes 3 13 Operações
Leia maisNúmeros Reais. Jairo Menezes e Souza 19/09/2013 UFG/CAC
UFG/CAC 19/09/2013 Iniciamos com o conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} Iniciamos com o conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} Chamamos de Z o conjunto dos números
Leia mais1.3 Matrizes inversas ] [ 0 1] = [ ( 1) ( 1) ] = [1 0
1.3 Matrizes inversas Definição: Seja A uma matriz de ordem k n, a matriz B de ordem n k é uma inversa à direita de A, se AB = I. A Matriz C de ordem n k é uma inversa à esquerda de A, se CA = I. Exemplo
Leia maisPLANO DE AULA IDENTIFICAÇÃO
PLANO DE AULA IDENTIFICAÇÃO Escola: IFC Campus Avançado Sombrio Município: Sombrio Disciplina: Matemática Série: 2 ano Nível: Ensino médio Professor: Giovani Marcelo Schmidt Tempo estimado: Cinco aulas
Leia maisMaterial Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas. Números Irracionais e Reais. Oitavo Ano. Prof. Ulisses Lima Parente
Material Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas Números Irracionais e Reais Oitavo Ano Prof. Ulisses Lima Parente 1 Os números irracionais Ao longo deste módulo, vimos que a representação
Leia maisEXEMPLOS Resolva as equações em : 1) Temos uma equação completa onde a =3, b = -4 e c = 1. Se utilizarmos a fórmula famosa, teremos:
EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU INTRODUÇÃO Equação é uma igualdade onde há algum elemento desconhecido Como exemplo, podemos escrever Esta igualdade é uma equação já conhecida por você, pois é de primeiro grau
Leia maisn. 1 Matrizes Cayley (1858) As matrizes surgiram para Cayley ligadas às transformações lineares do tipo:
n. Matrizes Foi um dos primeiros matemáticos a estudar matrizes, definindo a ideia de operarmos as matrizes como na Álgebra. Historicamente o estudo das Matrizes era apenas uma sombra dos Determinantes.
Leia maisMatemática B - ONG em Ação
Matemática B - ONG em Ação Gustavo Henrique Silva Sarturi Bacharelado em Matemática Industrial - UFPR gustavo.sarturi@ufpr.br Operações Aritméticas e Algébricas Elementares. Conjuntos Numéricos Os conjuntos
Leia maisMaterial Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas. Números Irracionais e Reais. Oitavo Ano
Material Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas Números Irracionais e Reais Oitavo Ano Autor: Prof. Angelo Papa Neto Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto 1 Os números irracionais Ao longo
Leia maisLista de Exercícios Equações do 2º Grau
Lista de Exercícios Equações do º Grau Nota: Os exercícios desta aula são referentes ao seguinte vídeo Matemática Zero. Aula Equações do Segundo Grau (Parte de ) Endereço: https://youtu.be/4r4rioccmm Gabaritos
Leia maisNotas de Aula Disciplina Matemática Tópico 09 Licenciatura em Matemática Osasco -2010
. Logaritmos Definição: O logaritmo de um número real x na base n, denotado por log n x, é definido como o expoente ao qual devemos elevar o número n para obtermos como resultado o número x, ou seja log
Leia maisApostila de Revisão dos Fundamentos Básicos da Álgebra. (versão 1: 12/03/2012)
Apostila de Revisão dos Fundamentos Básicos da Álgebra (versão 1: 12/03/2012) 1. Operações com frações 1.1. Fração A representação de uma fração é dada dois valores separados por uma barra horizontal.
Leia maisRevisão de Pré-Cálculo
Revisão de Pré-Cálculo EQUAÇÕES E POLINÔMIOS Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni Departamento de Matemática, FEG, UNESP Lc. Ismael Soares Madureira Júnior Guaratinguetá, SP, Outubro, 2016 Direitos reservados.
Leia maisProfs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1
Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Aula 07 Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares. Conteúdo 7. Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares...2 7.1. Matrizes...2
Leia maisNúmeros Reais. Víctor Arturo Martínez León b + c ad + bc. b c
Números Reais Víctor Arturo Martínez León (victor.leon@unila.edu.br) 1 Os números racionais Os números racionais são os números da forma a, sendo a e b inteiros e b 0; o conjunto b dos números racionais
Leia maisEQUAÇÃO DO 2º GRAU. Prof. Patricia Caldana
EQUAÇÃO DO 2º GRAU Prof. Patricia Caldana Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas
Leia maisANÉIS. Professora: Elisandra Bär de Figueiredo
Professora: Elisandra Bär de Figueiredo ANÉIS DEFINIÇÃO 1 Um sistema matemático (A,, ) constituído de um conjunto não vazio A e duas leis de composição interna sobre A, uma adição: (x, y) x y e uma multiplicação
Leia maisÁlgebra Linear e Geometria Anaĺıtica
Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 2016/17 MIEI+MIEB+MIEMN Slides da 1 a Semana de aulas Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 1 / 47 Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática
Leia maisMatemática A - 10 o Ano
Matemática A - 10 o Ano Resolução da Ficha de Trabalho Álgebra - Divisão Inteira de Polinómios Grupo I 1. Considerando os polinómios p e b no enunciado temos que o termo de maior grau de p b é a nx n b
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I
Cálculo Diferencial e Integral I Texto de apoio às aulas. Amélia Bastos, António Bravo Dezembro 2010 Capítulo 1 Números reais As propriedades do conjunto dos números reais têm por base um conjunto restrito
Leia maisNotas para o Curso de Algebra Linear Il Dayse Haime Pastore 20 de fevereiro de 2009
Notas para o Curso de Álgebra Linear Il Dayse Haime Pastore 20 de fevereiro de 2009 2 Sumário 1 Matrizes e Sistemas Lineares 5 11 Matrizes 6 12 Sistemas Lineares 11 121 Eliminação Gaussiana 12 122 Resolução
Leia mais0 Revisões de Álgebra Os números reais Propriedades das operações dos números reais... 5 Exercício Exercício
December 15, 2004 19 : 19 DRAFT i 0 Revisões de Álgebra 1 0.1 Os números reais........................... 1 0.1.1 Propriedades das operações dos números reais....... 5 Exercício 0.1............................
Leia maisA = B, isto é, todo elemento de A é também um elemento de B e todo elemento de B é também um elemento de A, ou usando o item anterior, A B e B A.
Capítulo 1 Números Reais 1.1 Conjuntos Numéricos Um conjunto é uma coleção de elementos. A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos
Leia maisa) 4x 10 = 0, onde x é a incógnita e 4 é 10 são os coeficientes. b) x + 3 = 4x + 8
Equação do 1º Grau Introdução Equação é uma sentença matemática aberta epressa por uma igualdade envolvendo epressões matemáticas. Uma equação é composta por incógnitas e coeficientes (esses são conhecidos).
Leia maisÁlgebra Linear e Geometria Analítica Bacharelados e Engenharias Parte I - Matrizes
Álgebra Linear e Geometria Analítica Bacharelados e Engenharias Parte I - Matrizes Prof.a Tânia Preto Departamento Acadêmico de Matemática UTFPR - 2014 Importante Material desenvolvido a partir dos livros
Leia mais216 e) 10 1 = 10 f) (-0,4) 0 = 1 g) (-4,3) 1 = - 4,3
1 Prof. Ranildo Lopes U. E. PROFª HELENA CARVALHO Obrigado pela preferência de nossa ESCOLA! Pegue o material no http://uehelenacarvalho.wordpress.com ESTUDANDO A POTENCIAÇÃO E SUAS PROPRIEDADES POTENCIAÇÃO
Leia maisOPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS
Sumário OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS... 2 Adição e Subtração com Números Racionais... 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL... 4 Comparação de números racionais na forma decimal... 4 Adição
Leia maisFundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica
Fundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica Profa. Vanessa Rolnik Artioli Assunto: sequências e matrizes 05 e 06/06/14 Sequências Def.: chama-se sequência finita ou n-upla toda aplicação f do
Leia mais(Ciência de Computadores) 2005/ Diga quais dos conjuntos seguintes satisfazem o Princípio de Boa Ordenação
Álgebra (Ciência de Computadores) 2005/2006 Números inteiros 1. Diga quais dos conjuntos seguintes satisfazem o Princípio de Boa Ordenação (a) {inteiros positivos impares}; (b) {inteiros negativos pares};
Leia maisCÁLCULO I. 1 Número Reais. Objetivos da Aula
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida EMENTA: Conceitos introdutórios de limite, limites trigonométricos, funções contínuas, derivada e aplicações. Noções introdutórias sobre a integral
Leia maisNotas de Aula. Gustavo Henrique Silva Sarturi. i Z (1 i m) a j1 a j2
Notas de Aula Gustavo Henrique Silva Sarturi Matemática B - Em Ação gustavo.sarturi@ufpr.br 1 Matrizes Definição 1.1. Uma matriz A m n é um arranjo retangular de m n números reais (ou complexos) organizados
Leia maisÁlgebra Linear. Curso: Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1 ō ano/1 ō S 2006/07
Álgebra Linear Curso: Engenharia Electrotécnica e de Computadores ō ano/ ō S 6/7 a Lista: SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E ÁLGEBRA DE MATRIZES Sistemas de equações lineares. Quais das seguintes equações
Leia mais1 0 para todo x, multiplicando-se os dois membros por. 2x 1 0 x 1 2. b a x. ba 2. e b 2 c
CAPÍTULO 1 Exercícios 1..n) Como x 0 para todo x, o sinal de x(x ) é o mesmo que o de x; logo, x(x ) 0 para x 0; x(x ) 0 para x 0; x(x ) 0 para x 0.. n) Como x 1 1 0 para todo x, multiplicando-se os dois
Leia maisOPERAÇÕES - LEIS DE COMPOSIÇÃO INTERNA
Professora: Elisandra Figueiredo OPERAÇÕES - LEIS DE COMPOSIÇÃO INTERNA DEFINIÇÃO 1 Sendo E um conjunto não vazio, toda aplicação f : E E E recebe o nome de operação sobre E (ou em E) ou lei de composição
Leia maisTURMA:12.ºA/12.ºB. O que é o i? Resposta: A raiz imaginária da unidade negativa. (Leibniz)
GUIA DE ESTUDO NÚMEROS COMPLEXOS TURMA:12.ºA/12.ºB 2017/2018 (ABRIL/MAIO) Números Complexos O que é o i? Resposta: A raiz imaginária da unidade negativa. (Leibniz) A famosa igualdade de Euler i e 10 A
Leia maisEQUAÇÕES POLINOMIAIS
EQUAÇÕES POLINOMIAIS Prof. Patricia Caldana Denominamos equações polinomiais ou algébricas, as equações da forma: P(x)=0, onde P(x) é um polinômio de grau n > 0. As raízes da equação algébrica, são as
Leia maisFísica Mecânica Roteiros de Experiências 69. Estudo Teórico Sobre Potências De Dez. Potenciação
Física Mecânica Roteiros de Experiências 69 UNIMONTE, Engenharia Laboratório de Física Mecânica Estudo Teórico Sobre Potências De Dez Turma: Data: : Nota: Nome: RA: Potenciação É uma operação matemática
Leia maisApostila de Pré-Cálculo- Parte 1. Universidade Federal do Rio Grande - FURG. Instituto de Matemática Estatística e Física - IMEF
Universidade Federal do Rio Grande - FURG Instituto de Matemática Estatística e Física - IMEF Apostila de Pré-Cálculo- Parte 1 Alessandro da Silva Saadi Felipe Morais da Silva 2017 2 3 Sobre os autores:
Leia maisNúmeros Racionais. Matemática - UEL Compilada em 25 de Março de 2010.
Matemática Essencial Números Racionais Conteúdo Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 25 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/ 1 Relacionando
Leia maisPré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula 5 27 de agosto de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 5 27 de agosto de 200 Aula 5 Pré-Cálculo Expansões decimais: exemplo Números reais numericamente
Leia maisMatemática II /06 - Matrizes 1. Matrizes
Matemática II - 00/0 - Matrizes Matrizes Introdução Se m e n são números naturais, chama-se matriz real de tipo m n (m vezes n ou m por n) a uma função A : f; ; :::; mg f; ; :::; ng R: (i; j) A (i; j)
Leia maisIdentidades algébricas
LIÇÃO 5 Identidades algébricas Dos três tipos básicos de transformações algébricas: decomposições, reduções e fatorações, os dois primeiros já foram estudados na lição anterior. Antes de passarmos ao terceiro
Leia maisPESQUISA OPERACIONAL
PESQUISA OPERACIONAL Uma breve introdução. Prof. Cleber Almeida de Oliveira Apostila para auxiliar os estudos da disciplina de Pesquisa Operacional por meio da compilação de diversas fontes. Esta apostila
Leia maisO uso de letras na linguagem matemática
O uso de letras na linguagem matemática Vimos que a linguagem matemática utiliza letras para representar propriedades, como por exemplo a propriedade distributiva: a(b + c) = ab + ac De fato as letras
Leia maisPAESPE. Equação do 2º grau
PAESPE Equação do º grau Equação Uma equação é uma igualdade entre duas epressões onde aparece pelo menos uma letra designada por incógnita ou variável. Eemplo: 3 4 1 34 7 5 y1 é equação não são equações
Leia maisAulas práticas de Álgebra Linear
Ficha 2 Determinantes Aulas práticas de Álgebra Linear Mestrado Integrado em Engenharia Eletrotécnica e de Computadores 1 o semestre 2016/17 Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto
Leia maisficha 1 matrizes e sistemas de equações lineares
Exercícios de Álgebra Linear ficha matrizes e sistemas de equações lineares Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2/2
Leia maisPROFICIÊNCIA EM MATEMÁTICA Conjuntos Numéricos, Potenciação e Radiciação
PROFICIÊNCIA EM MATEMÁTICA Conjuntos Numéricos, Potenciação e Radiciação Professor Alexandre M. M. P. Ferreira Sumário Definição dos conjuntos numéricos... 3 Operações com números relativos: adição, subtração,
Leia maisAPOSTILA DE MATEMÁTICA BÁSICA Potenciação Radiciação Fatoração Logaritmos Equações Polinômios Trigonometria
APOSTILA DE MATEMÁTICA BÁSICA Potenciação Radiciação Fatoração Logaritmos Equações Polinômios Trigonometria O que é preciso saber (passo a passo) Seja: Potenciação O expoente nos diz quantas vezes à base
Leia maisCapítulo Propriedades das operações com vetores
Capítulo 6 1. Propriedades das operações com vetores Propriedades da adição de vetores Sejam u, v e w vetores no plano. Valem as seguintes propriedades. Comutatividade: u + v = v + u. Associatividade:
Leia maisConjuntos. Notações e Símbolos
Conjuntos A linguagem de conjuntos é interessante para designar uma coleção de objetos. Quando os estatísticos selecionam indivíduos de uma população eles usam a palavra amostra, frequentemente. Todas
Leia maisDefinição: Uma função de uma variável x é uma função polinomial complexa se pudermos escrevê-la na forma n
POLINÔMIO I 1. DEFINIÇÃO Polinômios de uma variável são expressões que podem ser escritas como soma finita de monômios do tipo : a t k k onde k, a podem ser números reais ou números complexos. Exemplos:
Leia maisMULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS. Exemplo:
Números Racionais MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS Exemplo: A Susana comprou ¾ de uma tarte. À hora do almoço colocou no forno ½ da porção de tarte para aquecer. Que fração do total da tarte colocou
Leia maisPolinómios. Integração de Funções Racionais
Polinómios. Integração de Funções Racionais Escola Superior de Tecnologia e de Gestão, Instituto Politécnico de Bragança. Mário Abrantes 2016 1 / 17 Índice de Matérias 1. Polinómios Denição Factorização
Leia mais