3. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares 3.1. Conceito Elementar de Matriz. Definição 1 Sejam m e n dois números naturais.

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1 3. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares 3.1. Conceito Elementar de Matriz Definição 1 Sejam m e n dois números naturais. Uma matriz real m n é um conjunto de mn números reais distribuídos por m linhas e n colunas do seguinte modo: A = a 11 a a 1j... a 1n a 21 a a 2j... a 2n a i1 a i2... a ij... a in a m1 a m2... a mj... a mn onde a ij IR para todo o i {1, 2,..., m} e para todo o j {1, 2,..., n}. Dizemos neste caso, que a matriz tem ordem ou dimensão m n. Cada número que compõe a matriz chama-se termo, elemento ou coeficiente da matriz. Notação: Abreviadamente podemos representar a matriz pelo símbolo A = [a ij ] 1 i m. 1 j n Neste caso, o símbolo a ij é chamado termo geral da matriz. Cada elemento da matriz é afectado de dois índices, o índice de linha que 1

2 nos indica a linha a que o elemento pertence e o índice de coluna que indica a coluna a que ele pertence: a ij : i índice de linha; j índice de coluna Exemplo 1: A = é uma matriz de dimensão 3 2 a 11 = 1 2, a 12 = 3, a 21 = 0, a 22 = 5, a 31 = 1 e a 32 = 2. Definição 2 A toda a matriz m 1, ou seja, a toda a matriz com m linhas e 1 coluna chamamos matriz coluna e a toda a matriz 1 n, ou seja, a toda a matriz com 1 linha e n colunas chamamos matriz linha. Uma matriz coluna é da forma B = b 11 b b i1... b m1 [ Uma matriz linha é do tipo A = a 11 a a 1j... a 1n ]. 2

3 3.2. Matrizes Especiais Definição 3 Chama-se matriz nula m n a toda a matriz m n com os elementos todos iguais a zero. Chama-se matriz quadrada de ordem n a uma matriz n n, ou seja, a uma matriz com n linhas e n colunas. Definição 4 Seja A = [a ij ] uma matriz quadrada de ordem n. Os elementos a 11, a 22,..., a nn constituem a diagonal principal de A e os elementos a n1, a (n 1)2,..., a 1n constituem a diagonal não principal ou diagonal secundária de A. Exemplo 2: A = , matriz quadrada de ordem 3. Diagonal principal é constituída pelos elementos 3, 1 e -5. Diagonal secundária é constituída pelos elementos -1, 1, 0. Definição 5 Uma matriz quadrada em que os elementos situados fora da diagonal principal são todos iguais a zero chama-se matriz diagonal, isto é, A = [a ij ] 1 i n é uma matriz diagonal 1 j n sse a ij = 0 para todos os i, j {1, 2,..., n} tais que i j. 3

4 Uma matriz quadrada diz-se triangular superior se todos os elementos situados abaixo da diagonal principal são iguais a zero, isto é, A = [a ij ] é uma matriz triangular superior sse a ij = 0 para i > j. Uma matriz quadrada diz-se triangular inferior se todos os elementos situados acima da diagonal principal são iguais a zero, isto é, que A = [a ij ] é uma matriz triangular inferior sse a ij = 0 para i < j. Exemplo 3: D = 1 0 é uma matriz diagonal M = não é uma matriz diagonal pois a A = é uma matriz triangular superior B = 2 0 é uma matriz triangular inferior

5 Definição 6 À matriz diagonal de ordem n cujos elementos da diagonal principal são todos iguais a um, chama-se matriz identidade de ordem n e denota-se habitualmente por I n I n = Exemplo 4: I 2 = I 3 = I 4 = Definição 7 Seja A uma matriz m n. Chama-se transposta de A, e denota-se por A T, à matriz n m cujas linhas coincidem com as colunas de A. Sendo A = [a ij ] 1 i m, temos 1 j n A T = a 11 a a i1... a m1 a 12 a a i2... a m a 1j a 2j... a ij... a mj a 1n a 2n... a in... a mn 5

6 Propriedade da Matriz Transposta: A T T = (A T ) T = A. Exemplo 5: A = = A T = A = [ a 11 a a 1j... a 1n ] = A T = a 11 a a 1j... a 1n (I n ) T = I n Definição 8 A matriz A diz-se simétrica se coincide com a sua transposta, isto é, A = A T. Exemplo 6: A = = AT = A é simétrica. 6

7 Definição 9 A matriz A diz-se anti-simétrica sse A = A T Exemplo 7: A = = = AT A anti-simétrica Operações com Matrizes: Propriedades Adição de Matrizes Denotemos por M m n (IR) o conjunto de todas as matrizes reais de dimensão m n. Definição 10 Sejam A = [a ij ] e B = [b ij ] duas matrizes de M m n (IR). Chama-se soma de A com B à matriz C = [c ij ] de M m n (IR), cujo termo geral é c ij = a ij + b ij, i = 1, 2,..., m e j = 1, 2,..., n. Isto é, C = A+B = [a ij +b ij ] = a 11 + b 11 a 12 + b a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b a 2n + b 2n a m1 + b m1 a m2 + b m2... a mn + b mn 7

8 Exemplo 8: 8.1 A + B = = = 7 + ( 2) ( 1) ( 3) 1 + ( 4) = Sendo A = e B = [ ] não podemos obter A + B porque as matrizes não têm a mesma dimensão. Propriedades da Adição de Matrizes: Sejam A, B e C M m n (IR). Então: A + B = B + A (comutatividade). (A + B) + C = A + (B + C) (associatividade). O M m n (IR) tal que A + O = O + A = A (existência de um elemento neutro). A M m n (IR) tal que A + A = A + A = O (existência de um simétrico). (A + B) T = A T + B T. 8

9 Nota: A matriz A cuja existência está garantida na 4 a propriedade chama-se matriz simétrica de A e denota-se habitualmente por A Multiplicação de uma Matriz por um Escalar Definição 11 Dada uma matriz A M m n (IR) e um escalar α IR, chamamos produto da matriz A pelo escalar α à matriz B = αa M m n (IR) cujo termo geral é definido por b ij = αa ij. Exemplo 9: A = 1 1 e α = 3 = αa = 3A 3 3. Propriedades da Multiplicação Escalar: Sejam A, B M m n (IR) e α, β IR. Então (α + β)a = αa + βa. α(a + B) = αa + αb. (αβ)a = α(βa). 9

10 Exemplo 10: A = e B = A 1 3 B = 1 (A B) = = = Exercício 1: Considere as matrizes A = , B = Sem efectuar cálculos, mostre que 3(2A + 2B) T = 6(A T + B T ) Multiplicação de matrizes Definição 12 Sejam A = [a ij ] uma matriz m n e B = [b jr ] uma matriz n p. O produto de A por B (por esta ordem) é a matriz m p cujo termo geral c ir obtém-se somando os produtos dos elementos da linha i da matriz A pelos elementos coluna r da matriz B, isto é, [ c ir = ] a i1 a i2... a in b 1r b 2r... = a i1 b 1r + a i2 b 2r a in b nr = n a ik b kr. k=1 b nr 10

11 Consequentemente AB = n n n a 1k b k1 a 1k b k2... a 1k b kp k=1 n a 2k b k1 k=1 n a 2k b k2... k=1 k=1 k=1 k=1 n a 2k b kp n a mk b k1 n a mk b k2... n a mk b kp k=1 k=1 k=1 Nota: Da definição resulta que só se podem multiplicar matrizes quando o número de colunas da matriz da esquerda for igual ao número de linhas da matriz da direita. Exemplo 11: Calcule, quando possível, o produto A B A = e B = 1 3 AB = = 2 4. A = [ 0 2 ] e B = AB = = = [ 2 2 ]. 11

12 A = AB = = e B = ( 1) ( 1) = = = Note que neste caso não é possível calcular B A pois o número de colunas de B não coincide com o número de linhas de A. Propriedades da Multiplicação de Matrizes: Sejam A, B e C matrizes de dimensão convenientes e α IR. Então (AB)C = A(BC) (associatividade). (A+B)C = AC +BC e A(B +C) = AB +AC (distributividade). α(ab) = (αa)b = A(αB). 12

13 AI = A e IB = B (existência de elemento neutro). AO = O e OB = O. (AB) T = B T A T. A multiplicação de matrizes não é, em geral, comutativa, isto é, geralmente A B B A. Exemplo 12: A = e B = AB = = BA = = = AB BA As matrizes tais que A B = B A dizem-se matrizes permutáveis. Não é válida a lei do anulamento do produto AB = O A = O B = O no caso de multiplicação de matrizes. 13

14 Exemplo 13: AB = = com A = e B = Não é válida a lei do corte AX = AY, com A O X = Y no caso de multiplicação de matrizes. Exemplo 14: A = , B = 1 2 e C = 2 1 AB = = 3 3 = = AC e B = = C. 14

15 3.4. Resolução de Sistemas de Equações Lineares Matrizes em Escada Definição 13 Uma matriz em escada de linhas é uma matriz tal que, por baixo do primeiro elemento não nulo de cada linha, e por baixo dos elementos anteriores da mesma linha, todas as entradas são nulas. Numa matriz em escada de linhas, chama-se pivot ao primeiro elemento não nulo de cada linha Exemplo 15: A = matriz em escada com pivots 1, -1 e 1. B = matriz em escada com pivots 1, -3 e 5. C = não é uma matriz em escada. 15

16 Eliminação de Gauss Definição 14 Dada uma matriz, designam-se por operações elementares sobre linhas, as seguintes transformações: Troca de duas linhas i e j (L i L j ); Multiplicação de uma linha i por um número α diferente de zero (αl i ); Substituição de uma linha j pela que se obtém adicionando-lhe o produto de outra linha i por um número real α (L j + αl i ). Nota: De forma análoga se definem as operações elementares sobre colunas e representam-se por C i C j, αc i e L j + αl i. Exercício 3: Identifique as operações elementares efectuadas em cada caso:

17 Definição 15 A condensação ou eliminação de Gauss de uma matriz consiste em efectuar operações elementares sobre linhas e/ou colunas de modo a transformar-se a matriz dada numa matriz em escada de linhas. Exercício 4: Utilize a eliminação de Gauss para transformar as matrizes seguintes em matrizes em escada: Característica de uma Matriz Chama-se característica de A, e denota-se por car(a), ao número de linhas não nulas da matriz em escada de linhas que se obtém de A através da sua condensação. Em síntese temos: A = a 11 a a 1k... a 1n a 21 a a 2k... a 2n a k1 a k2... a kk... a kn a m1 a m2... a mj... a mn O.E. ā 11 ā ā 1k... ā 1n 0 ā ā 2k... ā 2n ā kk... ā kn car(a) = k Nota: Como é óbvio, car(a) min{m, n}. 17

18 Exemplo 16: Calcule a característica das seguintes matrizes: A = L 2 2L 1 L 3 + L L 3 + L car(a) = 3 B = L 1 L L 3 2L 1 L 4 3L car(b) = 2 18

19 Exercício 5: Calcule a característica da matriz Definição 16 Uma matriz A quadrada de ordem n diz-se singular se car(a) < n. Exercício 6: Verifique se a matriz é singular Resolução de Sistemas de Equações Lineares Algoritmo de Gauss Consideremos um sistema de m equações lineares a n incógnitas: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x n = b 1 b 2... b m AX = b Na resolução de sistemas de equações lineares vamos considerar a matriz ampliada [A b], onde A é a matriz dos coeficientes do 19

20 sistema, x é a matriz das incógnitas e b é a matriz dos termos independentes. Algoritmo de Gauss: Procedendo à eliminação de Gauss da matriz ampliada [A b] (efectuando operações elementares sobre linhas e/ou troca de colunas), de modo a obtermos uma matriz em escada de linhas, ficamos com um novo sistema de equações de mais simples resolução. [A b] = a 11 a a 1k... a 1n b 1 a 21 a a 2k... a 2n b a k1 a k2... a kk... a kn b k O.E. ā 11 ā ā 1k... ā 1n b1 0 ā ā 2k... ā 2n b ā kk... ā kn bk a m1 a m2... a mj... a mn b m bm Classificação de sistemas O sistema Ax = b de m equações a n incógnitas, pode ser classificado da seguinte forma: Se car(a) = car([a b]) = n, o sistema é possível determinado Se car(a) = car([a b]) < n, o sistema é possível indeterminado Se car(a) < car([a b]), o sistema é impossível. 20

21 Exercício 7: Classifique e resolva, quando possível, os seguintes sistemas usando o algoritmo de Gauss. x + y + 2z = x 2y 3z = x y + z = 0 x 1 + 2x 2 + x 3 = 1 x 1 2x 2 = 5 2x 1 4x 2 2x 3 = x 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 + x 2 x 3 = 1 2x 1 + 2x 3 = 2 21

22 3.6 Exercícios 1. Considere as matrizes A = e B = Calcule a matriz 2(A + B) AB. 2. Considere A = Calcule (B T A + C T A) T., B = 3 1 e C = Calcule os produtos AB e BA, quando definidos, nos seguintes casos: [ a) A = e B = 0 3 b) A = ] e B = c) A = e B = /3 5 5/2 5/3 4. Considere as matrizes A = 2 1 3, B = ,C = , D = Verifique que AB = AC e BD = CD. 5. Considere as matrizes A = , B = 1 1, C = 1 1 0, D = Escolha uma maneira de as ordenar de tal modo que o produto das quatro matrizes esteja definido e calcule esse produto. 22

23 6. Mostre que se os produtos AB e BA estão ambos definidos e A é do tipo m n, então B é do tipo n m. 7. Sendo α e β números reais, calcule o produto cos α sin α cos β sin α cos α sin β sin β cos β. 8. Calcule: (a) ; (b) ; (c) k ; (d) k. 9. Calcule: µ µ µ n k (todos os elementos fora da diagonal principal são iguais a zero). 10. (a) Verifique que as identidades algébricas (A ± B) 2 = A 2 ± 2AB + B 2, (AB) 2 = A 2 B 2 e (A + B)(A B) = A 2 B 2 nem sempre são verdadeiras quando A e B são matrizes. Considere, por exemplo, os casos seguintes: (a) A = 1 1, B = 1 0 ; (b) A = 2 0, B = (b) Transforme os segundos membros das identidades anteriores de forma a obter identidades sempre válidas para A e B matrizes quadradas quaisquer da mesma ordem. 11. Em cada uma das alíneas dê exemplo de matrizes reais 2 2 com a propriedade indicada: (a) A 2 = I; (b) A 2 = 0, sendo A não nula; (c) AB = 0, não tendo A nem B nenhum elemento nulo. 23

24 12. Foi feito um estudo com o objectivo de detectar que parte do rendimento destinam os indivíduos para a sua formação e informação. O preço de revistas, livros, jornais e cd s é dado respectivamente pelo seguinte vector [ ] (em unidades monetárias. Em três grupos seleccionados (A, B e C) verificou-se que o consumo dos quatro produtos era o seguinte: R L J CD A B C Utilize o cálculo matricial para determinar a despesa de cada um dos grupos. 13. O Ministério dos Assuntos Sociais pretende afectar parte dos seus recursos orçamentais no melhoramento das condições de assistência social da população de 3 cidades (C 1, C 2 e C 3 ) de uma determinada região do país. Com esse objectivo propõe-se construir: L - Lares de 3 a idade, I - Infantários e C - Centros de assistência social. A distribuição destas 3 instituições por cada uma das cidades seleccionadas é dada pela tabela: L I C C C C Para pôr em funcionamento os lares, os infantários e os centros de assistência social impõese o recrutamento de: A 1 - Assistentes sociais, A 2 - Pessoal Auxiliar, A 3 - Psicólogos e A 4 - Médicos, tal como expressa a seguinte tabela: A 1 A 2 A 3 A 4 L I C Calcule quantos indivíduos destes quatro grupos (A 1, A 2, A 3 e A 4 ) são necessários para colocar em funcionamento os lares, os infantários e os centros de assistência nas três cidades. 24

25 14. As firmas A, B e C partilham o mercado de um certo produto. Cada uma detém a seguinte quota de marcado: A detém 20% do mercado, B detém 60% do mercado e C detém 20% do mercado. No ano seguinte ocorreram as seguintes alterações: A mantém 80% dos clientes, perde 10% para B e 10% para C; B mantém 40% dos clientes, perde 10% para A e 50% para C e C mantém 70% dos clientes, perde 20% para A e 10% para B. Associando o número 1 à firma A, 2 à firma B e 3 à firma C determine a matriz de transição, T, definida da seguinte forma: T = [t ij ], i,j=1,2,3 com t ij = percentagem de clientes da firma j, que se tornam clientes da firma i no próximo ano. Com a mesma associação de valores às firmas, determine a matriz coluna, s, designada por matriz quota de mercado, que se caracteriza por ter todas as componentes positivas e soma igual a 1: s i1 = percentagem de mercado inicial que a firma i detém. Depois de determinadas ambas as matrizes, calcule T s. Verifique tratar-se de uma matriz coluna de quotas de mercado e interprete o resultado. Justifique. 15. Resolva e classifique os seguintes sistemas de variáveis reais usando o método de eliminação de Gauss. 2x 1 x 2 + 3x 3 = 8 x 1 + x 2 + x 3 = 0 (a) 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 7 (b) x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 2x 1 + x 2 + 2x 3 = 3 3x 1 + 5x 2 + 7x 3 = 1 x 1 x 2 3x 3 + 4x 4 = 1 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 (c) x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 = 1 (d) 2x 1 3x 2 x 3 + 2x 4 = 7 x 2 2x 3 + x 4 = 1 x 1 5x 2 + 2x 3 x 4 = 4 (e) 2x 1 + 3x 2 x 3 + 5x 4 = 0 3x 1 x 2 + 2x 3 7x 4 = 0 4x 1 + x 2 3x 3 + 6x 4 = 0 x 1 2x 2 + 4x 3 7x 4 = 0 (f) x 1 + x 2 + x 3 = 2 2x 1 + 2x 2 + 8x 3 = 16 x 1 + x 3 = 3 x 1 2x 2 = 13 25

26 x 1 + x 2 = 1 x 1 2x 2 + 3x 3 4x 4 + 2x 5 = 2 (g) x 1 + x 2 + x 3 = 4 x 2 + x 3 + x 4 = 3 (h) x 1 + 2x 2 x 3 x 5 = 3 x 1 x 2 + 2x 3 3x 4 = 10 x 3 + x 4 + x 5 = 2 x 4 + x 5 = 1 x 2 x 3 + x 4 2x 5 = 5 2x 1 + 3x 2 x 3 + x 4 + 4x 5 = Determine os valores de α para os quais o sistema αx + y = 1 x + αy = 1 (i) não tem solução; (ii) tem uma solução; (iii) tem uma infinidade de soluções. 17. Discuta os seguintes sistemas em função dos respectivos parâmetros x 1 + x 2 + x 3 = β + 1 x 1 + x 2 + (1 β)x 3 = β + 1 (a) x 1 + βx 2 + x 3 = 1 (b) (1 + β)x 1 x 2 + 2x 3 = 0 βx 1 + x 2 = β + 2β 2 2x 1 βx 2 + 3x 3 = β + 2 (c) (e) x 1 + x 2 + x 3 = 0 βx 1 + x 2 + βx 3 = γ (d) x 1 + γx 3 = β x + z + 2v = 1 2x + 3y + 2z + 3w + αv = 0 y + w + v = γ 2x + y 2z + w + βv = 2 x 1 + 2x 2 + x 3 = 5 βx 1 x 2 + 3x 3 = 6 2x 1 + x 2 x 3 = γ x + y + z + w = 1 2x + 2y + 4z 2w = 0 (f) x y + z + αw = β x + y + 3z 3w = γ 18. Ache um sistema A = b com duas equações e três incógnitas cuja solução geral seja 1 1 = 1 + α Ache um sistema A = b com três equações e três incógnitas cuja solução geral seja a mesma do exercício anterior e que não tenha solução quando b 1 + b 2 b 3. 26

27 20. Ache todas as matrizes permutáveis com A, sendo: (a) A = 1 2 ; (b) A = No centro de uma cidade há um conjunto de ruas de um só sentido e que se intersectam como na figura. O volume de tráfego que entra e sai nessa zona durante a hora de ponta é o indicado na figura. Que conclui quanto ao volume de tráfego en cada um dos 4 cruzamentos? 22. Uma empresa produtora de componentes para automóveis fez uma pesquisa de mercado e concluiu que para maximizar os seus lucros deveria, apenas, passar a produzir três produtos: pneus, volantes e jantes. A diferença entre o número de pneus e o número de jantes a produzir deve ser igual ao dobro do número de volantes produzido. O número de volantes a produzir deve ser a quarta parte das jantes fabricadas. Utilizando a teoria das matrizes, determine duas quantidades possíveis para cada um dos produtos que a empresa fabrica de forma que responda às condições deduzidas da pesquisa de mercado. 23. Uma empresa explora simultaneamente duas minas, A e B. Num dia de trabalho na mina A extrai 20 toneladas de cobre e 550 quilos de prata enquanto que, num dia de trabalho na mina B extrai 30 toneladas de cobre e 500 quilos de prata. a) Supondo que a empresa explora a mina A durante x dias e a mina B durante y dias, estabeleça um sistema de equações lineares que permita determinar o número de dias necessários à extracção de 190 toneladas de cobre e 4250 quilos de prata. b) Escreva o sistema da alínea anterior na forma matricial e resolva-o utilizando o método de eliminação de Gauss. 27

28 24. Considere as matrizes A k = 0 k k e b n = 0 0 n a) Discuta em função dos parâmetros k e n o sistema A k x = b n b) Determine, se possível, uma matriz D tal que: i) A 0 D 2I 3 = A 1 ii) A 0 D seja uma matriz simétrica iii) A 0 D seja uma matriz triangular inferior iv) A 0 D seja uma matriz diagonal 25. Sabendo que A(0, 10), B(1, 7), C(3, 11) e D(4, 14), determine os coeficientes a, b, c, e d de modo que a figura abaixo possa representar o gráfico da função y = ax 3 +bx 2 +cx+d, y 10 A B y = f(x) x 10 C 20 D 26. Indique, justificando, qual o valor lógico das seguintes afirmações: a) Se A M 3 4 (IR) e B M 4 3 (IR) então é possível efectuar os produtos AB e BA mas AB BA. b) A matriz 0 1 é ortogonal. 1 0 c) Todo o sistema homogéneo é possível. d) O produto de matrizes ortogonais é ainda ortogonal. e) Todo o sistema de n equações e n incógnitas cuja característica da matriz dos coeficientes é igual ao número de equações do sistema é sempre possivel determinado. f) Se A M n n (IR) e x e y são matrizes n 1 então a igualdade Ax = Ay = x = y 28