Ficha de Trabalho 02 Sistemas. Matriz Inversa. (Aulas 4 a 6).

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1 F I C H A D E R A B A L H O 0 Ficha de rabalho 0 Sistemas. Matriz Inversa. (Aulas 4 a 6). Sistemas de equações lineares. Equação linear. Sistema de equações lineares. Equação matricial. Soluções do sistema. Método de Gauss-Jordan. Classificação de sistemas quanto à solução. Sistemas homogéneos. Matriz inversa. Matriz inversa. Método de condensação. Matriz ortogonal. Propriedades da álgebra matricial. A saber: 1. Escrever um sistema na forma matricial.. Aplicar o método de Gauss-Jordan na resolução de sistemas. 3. Classificar um SEL quanto à sua natureza. 4. Determinar a solução geral de um sistema com base no conhecimento da solução do sistema homogéneo e de uma solução particular. 5. Determinar a inversa de uma matriz pelo método de condensação. 6. Calcular a solução de um SEL com base na matriz inversa. 7. Simplificar expressões matriciais por aplicação da propriedades da álgebra matricial. 1. Considere os sistemas de equações lineares: 1. x1 = 1x3 x + x3 = (1 + x1) x1 = x + 3. x x = + x3 x1 = 3 + x x x = + x3 x1 = 3 + x 1 3 x = 1 + x x1 + x + x3 + 1 = 0 3x1 + x + 1 = x x = + x3 x1 = 1 + x 1 3 Escreva-os na forma matricial. Classifique-os quanto à solução. c) Caso possível: c.1) Resolva-os com base na matriz completa do sistema. c.) Calcule a matriz inversa do sistema. c.3) Resolva-os com base na matriz inversa.. Faça a discussão de cada um dos seguintes sistemas de equações lineares nas incógnitas x, y, e z, em função dos respectivos parâmetros reais: x + y + z = x y + 3z = ( 3) = x y a z a x + y + z = 1 + b x + by + z = a bx + y = b(1+ Prof. José Amaral LERCM - ALGA F

2 F I C H A D E R A B A L H O 0 x + y + 7z = 7 c) x + 3y + 17z = 6 x + y + ( a + 1) z = 3a d) x + y + az = 1 x + ay + z = b ax + y + z = 0 3. Efectuando operações elementares sobre linhas, a matriz A é transformada em R, sua forma escalonada reduzida: Resolva o sistema Ax = R = Seja c i a coluna i de A, i = 1,, 3, 4. Suponha que b = c1 + c. Determine a solução geral de Ax = b. 4. Determine b 1, b e 3 b de modo que x = [ ] x x = b x + x + x = b x + x = b 1 seja uma solução do sistema Considere o seguinte sistema de equações lineares, nas incógnitas reais x, y e z, onde a e b são parâmetros reais: ax + bz = ax + ay + 4z = 4 ay + z = b Discuta o sistema, em função dos valores dos parâmetros reais a e b. Resolva o sistema para a = b = 1. c) Sendo A a matriz simples do sistema dado para a = b = 1, mostre que A é regular e determine a inversa A. d) Utilize A para confirmar o resultado obtido em, e) Resolva o sistema para a = 1 e b = e decomponha a respectiva solução geral na soma de uma solução particular com a solução geral do sistema homogéneo associado. 6. Considere o seguinte sistema de equações lineares, nas incógnitas reais x, y e z, onde a e b são parâmetros reais: + = x ay z b b ax + y z = b 7x 4y + z = 0 Determine b, por forma a que o sistema seja homogéneo. Para o(s) valor(es) de b obtido(s) na alínea anterior, determine a de modo a que o sistema tenha uma solução não trivial. c) Resolva o sistema para a = e b = 1. Prof. José Amaral LERCM - ALGA F

3 F I C H A D E R A B A L H O 0 7. Dada a matriz determine: A matriz inversa, A A solução do sistema de equações lineares = [ ] 8. Determine a matriz A tal que: Ax 1 3. c) 1 4 ( A + I ) = 4 0 d) 0 (4 A ) = 1 (3 A ) = e) (1 4 A ) = 1 9. Determine A 1 B, sendo 10. Calcule 1 A B B, sendo [ 1 3 0] Calcule, se possível, a matriz ( A B ), sendo Calcule a matriz C, sabendo que 1 0 ( I + 3 C ) = Sendo Determine a matriz X tal que Determine a matriz X tal que (I + X) = A 1 = (3 B X) A Prof. José Amaral LERCM - ALGA F

4 F I C H A D E R A B A L H O Determine A, sabendo que Determine os valores de k R de modo a que A seja invertível, sendo 1 0 k k 1 1 k 16. Supondo que as operações matriciais envolvidas nas seguintes equações na incógnita X estão bem definidas, resolva-as em ordem a X. Indique a condição que teve que supor satisfeita na resolução de cada alínea 1 1 ( A X) = B(( A B) A ) ( A + B X) = X A B 17. Suponha que A, B, C, e D são matrizes quadradas invertíveis. Simplifique o mais possível: ( AB) ( AC )( D C ) D ( AC ) ( AC )( AC ) AD 18. Sendo A, B e A + B matrizes regulares, mostre que AA ( + B) B= ( A + B ) 19. Sejam A, B, C e D matrizes quadradas de ordem n invertíveis. Mostre que ( AB) ( AC )( D C ) D = B 0. Sejam A, B e C matrizes reais quadradas de ordem n > 1. Diga se cada uma das proposições que se seguem é verdadeira ou falsa, justificando: Se A e B são permutáveis, então ( A + B)( A B) = A B AB ( + C) = BA+ CA c) AB + ( A + 1) B d) AB + ( A + I ) B e) n ( AB) = A B f) ( A B) = ( BA ) g) A + A ( A + B) A h) A AC A 0n C i) ( A + B)( A B) = A B j) AB + ( A + 1) B k) A AC C l) ( AB) = A B m) A 0n 0n 0 n n) ( AC + BC) = C( A + B ) 1. Em cada uma das alíneas seguintes dê um exemplo de duas matrizes quadradas de ordem tais que: A O B O A O ( A + B)( A B) A B Prof. José Amaral LERCM - ALGA F

5 F I C H A D E R A B A L H O 0. Prove que se A e B são matrizes quadradas invertíveis e permutáveis ( A BA ), então A e B são permutáveis, isto é, A B A. 3. Considere a matriz aij, quadrada de ordem 4, tal que a ij = i j. Prove que A Mostre que se uma matriz quadrada de ordem n, A, satisfaz a equação A + 3A In = 0 n, então A é invertível. Qual é a inversa de A? Prof. José Amaral LERCM - ALGA F