1. Seja G = (V, A) um grafo orientado em que o conjunto dos vértices é dado por V = {a, b, c, d, e} e a lista de arestas por

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1 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 4 a LISTA DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LINEAR LEIC-Taguspark, LERCI, LEGI, LEE o semestre 004/05 - aulas práticas de a Seja G = (V, A) um grafo orientado em que o conjunto dos vértices é dado por V = {a, b, c, d, e} e a lista de arestas por A = [ a a, [ a b, [ c d, [ a d, [ d e, [ d e, [ e b. a) Represente esquematicamente este grafo; b) Escreva a matriz do grafo; c) Calcule os caminhos de comprimento, e 3 entre os vértices a e b e os vértices a e e. Solução: a b c d e (c) do vértice a para b existe um caminho de comprimento, um caminho de comprimento e três caminhos de comprimento 3; do vértice a para e não existe nenhum caminho de comprimento, existem dois caminhos de comprimento e dois caminhos de comprimento 3.. Descreva esquematicamente e como par ordenado G = (V, A) os grafos cujas matrizes são dadas por Indique, em cada caso, todos os caminhos de comprimento. Sugestão: para determinar todos os caminhos de comprimento, calcule a potência dois das respectivas matrizes

2 3. Calcule a matriz inversa A, onde A é sucessivamente uma das seguintes matrizes: 0 0 cos(α) sin(α) ; ; (c) 0 0 sin(α) cos(α) 0 0 cos(α) sin(α) Solução: = ; ; (c) 0 0 sin(α) cos(α) 4. Em cada alínea use a informação dada para calcular a matriz A. 3 7 A = ; (7A) = ; (c) (5A T ) = ; (d) (I + A) = [ Solução: A = ; A = 3 3 ; (c) A = (d) A = Mostre que a matriz A = 0 a b 0 c d 0 e f 0 g h 0 não é invertível para quaisquer entradas a, b, c, d, e, f, g, h R. 6. Utilizando o Método de Gauss-Jordan, calcule sempre que existir a matriz inversa de cada uma das seguintes matrizes (c) ; (d) (g) Solução: [ 7 4 (e) não é invertível; (f) (h) (e) (h) [ 5 6 ; ; (g) ; (i) não é invertível; (f) (i) ; (c) não é invertível; (d) ; ;

3 7. Calcule sempre que existir a matriz inversa de cada uma das seguintes matrizes k k k k k k 0 0 k (c) k k k 4 k k em que k, k, k 3, k 4, k R. k Solução: 0 k k k 4 k (c) k k 0 0 k 3 k k 0. k 4 k 3 k k 8. Seja A = a b c d e f g h i ; k4 0 0 k3 0 0 k 0 0 k Considere por hipótese deta = 7. Calcule det(3a) det(a ) (c) det(a ) (d) det((a) ) (e) det Solução: 89; 7 (c) 8 7 ; (d) 56 (e) 7 ; a g d b h e c i f 9. Sem calcular explicitamente o determinante, mostre que x = 0 e x = satisfazem a condição x x = 0 0. Sem calcular explicitamente o determinante, mostre que b + c c + a b + a a b c = 0 Sugestão: some a segunda à primeira linha.. Escreva a + b c + d a + b c + d como uma soma de quatro determinantes, em cujas entradas não figurem adições. Solução: a c a c + a c b c + b d a c + b d b d.. Escreva a + b c + d e + f a + b c + d e + f a 3 + b 3 c 3 + d 3 e 3 + f 3

4 como uma soma de oito determinantes, em cujas entradas não figurem adições. Solução: a c e a c e a 3 c 3 e 3 + a c e a c e b 3 d 3 f 3 + a c e a c e b d f b d f a 3 c 3 e 3 b 3 d 3 f 3 + b d f a c e a 3 c 3 e 3 + b d f a c e b 3 d 3 f 3 + b d f b d f a 3 c 3 e 3 + b d f b d f b 3 d 3 f Mostre as igualdades seguintes, sem calcular os determinantes. a b a + b + c a b a + b + c a 3 b 3 a 3 + b 3 + c 3 = a b c a b c a 3 b 3 c 3 a + b a b c a + b a b c a 3 + b 3 a 3 b 3 c 3 = a b c a b c a 3 b 3 c 3 4. Para que valor(es) de k a matriz A deixa de ser invertível? 4 [ A = 3 6 k 3 A = k k 3 Solução: para k = ; para k = 5± 7 5. Calcule o determinante da matriz Solução: o determinante é igual a Seja A = a) Calcule o determinante de A b) Escreva todos os menores e cofactores de A. utilizando a regra de Laplace. c) Calcule a primeira linha de A, utilizando os cálculos das alíneas anteriores. Solução: det(a) = 5; (c) a primeira linha de A é dada por ( 9 ) Resolva os seguintes SELs, utilizando a regra de Cramer. { 7x x = 3 3x + x = 5 (c) x 4x + x 3 + x 4 = 3 x x + 7x 3 + 9x 4 = 4 x + x + 3x 3 + x 4 = x x + x 3 4x 4 = 4 x 3x + x 3 = 4 x x = 4x 3x 3 = Solução: x =, x =, ; x = 8, x = 34, x 3 = 30; (c) x = 5, x = 8, x 3 = 3, x 4 =

5 8. Calcule a área do paralelogramo definido pelos vectores u e v. Solução: 3 ; 7 (c) 0 u = (, ) e v = (0, 3) u = (, 3) e v = (, ) (c) u = (3, ) e v = (6, ) 9. Calcule o volume do paralelipípedo definido pelos vectores u, v e w. u = (, 6, ), v = (0, 4, ) e w = (,, 4) u = (3,, ), v = (4, 5, ) e w = (,, 4) Solução: 6 ; 45