Indicação de uma possível resolução do exame

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1 Eame de Álgebra Linear e Geometria Analítica Eng Electrotécnica e Eng Mecânica 3 de Janeiro de 7 Duração horas, Tolerância 5 minutos (Sem consulta) Indicação de uma possível resolução do eame Considere os compleos z 3i e w + i (a) ( val) Calcule z w na forma algébrica z w zw ww zw w ( 3i)( i) + i ( 3) ( + 3)i i (b) (5 val) Mostre que z 6 é um número real é Comecemos por escrever o compleo z na forma trigonométrica, rcisθ Ora, o módulo de z r + ( 3), e a amplitude do ângulo formado pelo vector posição do afio de z e o semieio real positivo é θ π arctan( 3) π π 3 5π 3 ( ) 5π Portanto z cis Usando a regra do produto/eponenciação para compleos na forma 3 trigonométrica segue que: z 6 ( cis ( )) 5π 6 ( 6 cis 3 pois cis(π) cos(π) + isen(π) ( )) 5π 6 cis( 6 6 5π 3 3 ) 6 cis(π) 64 R Considere as matrizes A (a) ( val) Calcule a matriz A A

2 (b) (5 val) Recorra às propriedades da função determinante para encontrar o valor do determinante da matriz (A) T, sem a calcular eplicitamente A matriz (A) T admite inversa? A matriz (A) T não admite inversa porque o seu determinante é nulo: det(a) T det A porque o determinante de uma matriz é igual ao da sua transposta 3 det(a) porque a matriz A é quadrada de ordem 3 ( ) Considere o seguinte sistema de equações lineares nas incógnitas e : onde α é um parâmetro real α + + α (a) (5 val) Determine os valores do parâmetro α de modo a que o sistema seja: Consideremos a matriz ampliada associada ao sistema dado α α e apliquemos-lhe a fase descendente do método de eliminação de Gauss Se α então a aplicando da fase descendente do método de eliminação de Gauss consiste apenas na troca das duas linhas: L L Neste caso, a característica da matriz dos coeficientes, car(a), é igual à característica da matriz ampliada, car(a b), que é igual a Se α então a primeira entrada da primeira linha pode ser considerada como pivôt e a aplicação da fase descendente do método de eliminação de Gauss consiste no seguinte passo elementar: α α L L α L α α α α α Analisemos a característica desta última matriz Ora α α α α Ilda Reis

3 Se α então a matriz anterior reduz-se a e portanto a característica da matriz dos coeficientes é inferior à característica da matriz ampliada Se α então a última matriz obtida no método de eliminação de Gauss reduz-se a e temos a característica da matriz dos coeficientes igual à característica da matriz ampliada ainda que inferior ao número de variáveis do sistema Nas restantes situações, a característica da matriz dos coeficientes é igual à característica da matriz ampliada que é igual ao número de variáveis do sistema i Impossível O sistema é impossível quando a característica da matriz dos coeficientes é inferior à característica da matriz ampliada Tal situação ocorre quando α ii Possível indeterminado O sistema é possível indeterminado quando a característica da matriz dos coeficientes é igual à característica da matriz ampliada mas esta é inferior ao número de variáveis do sistema Tal situação ocorre apenas quando α iii Possível indeterminado O sistema é possível determinado quando a característica da matriz dos coeficientes é igual à característica da matriz ampliada do sistema e igual ao número de variáveis do sistema Situação que ocorre sempre que α R \, } (b) Considere α Neste caso, os sistema com que trabalharemos é + Pela alínea anterior, sabemos que, para este valor de α, o sistema tem solução única i ( val) Encontre a solução do sistema de equações lineares usando a Regra de Cramer A solução do sistema é: Ilda Reis 3

4 ii (5 val) Verifique que a solução do sistema é igual a A b, onde A representa a matriz dos coeficientes do sistema acima e b o vector coluna dos termos independentes A matriz dos coeficientes é a matriz A e o vector coluna dos termos independentes é b Calculemos a inversa da matriz dos coeficientes, A, usando o método de Gauss-Jordan: L L L L + L 3 L L 3 L L L Logo, A Resta agora verificar que o cálculo de A b conduz à solução 3 encontrada na alínea anterior Ora A b como queríamos verificar (c) ( val) Comente a afirmação: Sempre que o determinante da matriz dos coeficientes de um sistema de equações lineares é nulo, o sistema não admite solução A afirmação é falsa, para contra-eemplo podemos considerar um sistema homogéneo cuja matriz dos coeficientes tenha determinante nulo, por eemplo: Apesar da matriz dos coeficientes ter determinante nulo, o par (, ) (, ) é uma solução do sistema 4 Ilda Reis

5 4 Considere o conjunto S (,, ), (,, ), (3,, )} (a) ( val) O conjunto S é linearmente independente? Justifique Não, porque eiste pelo menos um elemento em S que é combinação linear dos restantes elementos, a saber (,, ) (3,, ) (,, ) (b) ( val) Eplique porque é que o conjunto S (,, ), (3,, )} forma uma base do subespaço gerado por S Mostramos, na alínea anterior, que o primeiro elemento de S é combinação linear dos dois últimos e portanto o subespaço gerado por S é igual ao gerado por S, isto é, L S} L S } Além disso, como os elementos de S não são múltiplos, eles são linearmente independentes e portanto são base do subespaço por ele gerado Assim, pelo facto de L S} L S } segue que os elementos de S formam uma base do subespaço gerado por S (c) ( val) Use o produto vectorial para encontrar um vector, w, de modo que (,, ), (3,, ), w} forme uma base de R 3 Se considerarmos w (,, ) (3,, ) temos a garantia que (,, ), (3,, ), w} é uma base de R 3 porque o vector w é, por definição, ortogonal a (,, ) e a (3,, ) e, além disso, os vectores (,, ) e (3,, ) são independentes Ora, i j k w (,, ) (3,, ) i j k (,, ) 3 5 Considere a aplicação T : R R definida por T(, ) (8 6, 9 7) (a) ( val) Encontre a matriz, C M C, que representa a transformação T relativamente à base canónica, C, de R Calculemos as imagens da base canónica de R : T(, ) (8, 9) e T(, ) ( 6, 7) 8 6 logo a matriz que representa a transformação na base canónica é C M C 9 7 (b) (5 val) Considere a base (7, 4), (5, 3)} de R e encontre as coordenadas de um par (, ) da base canónica na base Ilda Reis 5

6 Pretende-se determinar escalares a e b tais que: (, ) a(7, 4) + b(5, 3) isto é, tais que 7a + 5b Logo, 4a + 3b a 5b b 7 a 3 5 b 7 4 (, ) C (3 5, 7 4) (c) ( val) Encontre a matriz, N, que representa a transformação linear T na base Temos que encontrar as coordenadas, na base, das imagens dos elementos da base Ora, ( ) b) 79 T ( ) b) 54 T Logo a matriz que representa a transformação na base é N 7 8 ( ) (d) (5 val) Use a matriz N, da alínea anterior, para calcular T C 5 3 ter resolvido a alínea anterior, considere N 7 6 ( ) ( ) b) T T C C No caso de não C 6 Considere a matriz A (a) ( val) Determine os valores próprios da matriz A Os valores próprios da matriz A são as soluções da equação característica det(a λid) Ora det(a λid) 8 λ λ (8 λ)( 7 λ) + 54 λ λ (λ + )(λ ) λ λ 6 Ilda Reis

7 Logo, os valores próprios de A são: e (b) ( val) Determine uma base do(s) subespaço(s) próprio(s) da matriz A O subespaço próprio associado ao valor próprio, S, é constituído pelas soluções do sistema (A λid)v, v e λ Ora (A + Id)v Logo, S (, ) R : } ( ) } ( )} 3 3, R L 3, e portanto (, 3)} é uma base de S O subespaço próprio associado ao valor próprio, S, é constituído pelas soluções do sistema (A λid)v, v e λ Ora (A Id)v Logo, S (, ) R : } (, ) R } L (, )} e portanto (, )} é uma base de S Ilda Reis 7