Resolução do efólio A Álgebra Linear I Código: 21002

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1 Resolução do efólio A Álgebra Linear I Código: I. Questões de escolha múltipla. Em cada questão de escolha múltipla apenas uma das afirmações a), b), c), d) é verdadeira. Indique-a marcando no quadrado respetivo.. Considere as seguintes matrizes: C e D. Então: Ü a) detpdc q. Ò b) detpdc q. Ü c) detpdc q 9. Ü d) detpdc q {.. Considere a matriz ampliada. O sistema de equações que corresponde a esta matriz é: Ü a) $ '& ' % x y z x y z w Ò x z x x y $' & x y z b) x y z '% y. A matriz k não é invertível para Ü Ò a) k c) k Ü Ü x y $' & x y z c) x y z '% y x y $' & x y z d) x y z '% z Ü b) k Ü d) k e-fólio A

2 . Seja Rrxs o espaço vetorial dos polinómios na variável real x, e consideremos os seguintes subconjuntos de Rrxs: (i) S tp P Rrxs: ppq u, (ii) S tp P Rrxs: ppq ppq u, (iii) S tp P Rrxs: p P Ru. Então: Ü a) S é um subespaço vetorial de Rrxs. Ü b) S não é um subespaço vetorial de Rrxs. Ò c) S e S são subespaços vetoriais de Rrxs. Ü d) S, S e S são subespaços vetoriais de Rrxs. II. Aplicando o Método de Eliminação de Gauss, determine para que valores de a a matriz a R a a é invertível, e para esses valores calcule R usando o Método de Eliminação de Gauss- Jordan aplicado à matriz rr I s. III. Utilizando o Teorema de Laplace calcule o valor de 9 det 9 9 IV. Considere as matrizes A α α α α P M prq e B α α P M prq. a) Estude a característica da matriz A α. Determine todos os valores de α tais que A α seja invertível. b) Considere agora α e defina A : A. i) Determine adj A e A, por esta ordem. ii) Use a matriz A para resolver o sistema AX. iii) Resolva o sistema AX B pelo método de Cramer. V. Seja A P M n n pkq uma matriz invertível tal que A A J. Mostre que detpa q. VI. Considere matrizes A, B P M prq tais que detpa necessariamente det B? Bq det A. Será que se tem FIM e-fólio A

3 Grupo I.. Como todas as matrizes envolvidas são matrizes tem-se detpcd q detpcd q det C detpd q det C pdet Dq. Por outro lado det C l p q e det D e portanto pdet Dq {. Conclui-se assim que detpcd q det C pdet Dq. Assim, a alínea certa é a alínea b).. Facilmente se verifica que a alínea certa é a alínea b).. Aplicando a regra de Laplace à a coluna da matriz tem-se det k pk q pk q 9pk q ðñ k. Assim, a alínea certa é a alínea c).. S não é um subespaço de Rrxs. Em S nenhuma das condições de subespaço é verificada. Por exemplo, dados polinómios p, q P S, tem-se ppq qpq e portanto ppq qpq mas por definição pp qqpq ppq qpq, logo p q R S. O polinómio nulo também não pertence a S pois o seu valor em é, e portanto não verifica ppq. Finalmente se multiplicarmos um polinómio de S por uma constante λ P Rztu, então pλpqpq λppq λ. Tanto S como S são subespaços de Rrxs pois satisfazem as condições de subespaço. Assim, a alínea certa é a alínea c). Grupo V. Para este exercício convinha usar as seguintes propriedades, válidas para qualquer matriz A invertível: i) detpa q pdet Aq det A ; ii) detpa J q det A; iii) pdet Aq detpa q. Por hipótese A A J e portanto usando i)(à esquerda) e ii)(à direita) tem-se que det A det A J ñ pdet Aq det A, e multiplicando esta última igualdade por det A dos lados tem-se det A det A. Usando agora iii) vem det A det A pdet Aq detpa q. Grupo VI. Uma vez que sabemos que em geral é falso que detpa Bq det A det B, com um pouco de paciência era fácil construir um exemplo em que det B. Tomando por exemplo A e B, tem-se detpa Bq det A e det B. e-fólio A

4 Álgebra Linear I Efólio A II. Considerando que e que a matriz já está em forma de escada, não é necessária mais qualquer transformação pelo método de eliminação de Gauss. Assim, e como, a matriz R é invertível. Pelo método de eliminação de Gauss-Jordan temos:

5 III. Utilizando o Teorema de Laplace calcule o valor de Resolução : 9 det 9 9 Cálculo do determinante da matriz do enunciado (que designei por A) utilizando o Teorema de Laplace. As seguintes notações, para o determinante, são equivalentes : det A det(a) A. Foi aplicado o teorema à quarta linha, pois é uma das linhas que tem maior número de elementos iguais a zero e além disso, essa linha tem elementos com valores e. det(a) det 9 9 ( ) 9 d d 9 + ( ) ( ) 9 d + ( ) 9 9 d + d d Ficamos assim com determinantes para calcular, designados por d, d e d. Para aplicação do teorema, foi escolhida a quinta linha para estes determinantes (e a segunda linha e a segunda coluna nos níveis seguintes), pelas razões anteriormente expostas. Para simplificação de escrita, serão omitidos os termos ( ) de expoente par e substituídos os termos ( ) de expoente ímpar, por troca de sinal. Há um determinante parcial que se repete com frequência designado por d. d d c d (8 ) + ( + ) + ( ) d d d d 9 + d 9 d d d + d 9 9 Então det (A) d + d d +. UC E-fólio A

6 IV. a) Começando por analisar a caracterísca da matriz A,facilmenteseverificaqueestadependedosvaloresde. Seosvaloresde forem tais que A éinvertível,entãor (A )n,poisexisteumamatrizequivalente por linhas a A,nasuaformadeescadareduzidatalqueA! I. De forma análoga, se A não for (linhas) invertível, r (A ) <n. Determinando os valores de para os quais A éinvertível,atravésdoseudeterminante(poissea é invertível det(a ) ): + l ( ) ( ) + ( )( + )+ + ( ) + ( + ) _ + _ Pelo que se conclui que A éinvertívelpara R \{, }. Logo para R \{, } r (A )n. Verificando agora a característica da matriz para os valores de para os quais A não é invertível: A!! (f.e.r) l+l l l

7 Pelo que se conclui que: A! l+l! l$l 8 < se R \{, } r (A ) : se _ (f.e.r) b) A ( ) ( ) + i) Adj A ( ) T T Cálculo da inversa a partir da adjunta: A det A adj A deta ( ) + ( ) ( ) +( )

8 A ii) Porque A ( ) éumamatrizquadradaeinvertível,osistemadeequaçõeslinearesax B éumsistemade Cramer. Sendo assim, é possível afirmar que: AX B A AX A B X A B h Neste caso B i T,peloqueX A B: Logo a solução do sistema é S (,, ). iii) Resolvendo o sistema AXB pelo método de Cramer: x l ( )( ) +

9 x x l ( ) + x x l ( ) + x Pelo que a solução do sistema AX B é S,,. 8