Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares

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1 Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares Carlos Balsa balsa@ipbpt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática I - 1 o Semestre 2011/2012 Matemática I 1/ 22 DeMat-ESTiG

2 Sumário Método da Matriz Inversa Representação Matricial de um Sistema Cálculo da Matriz Inversa Um Pouco de História Matemática I 2/ 22 DeMat-ESTiG

3 Motivação Exemplo 1: aplicação de sistemas de equações lineares Uma empresa de transportes marítimos transporta as suas mercadorias em caixas de 3 tipos, designados por A, B e C, dispondo igualmente de 3 tipos de contentores, designados por I, II e III, que podem transportar as seguintes quantidades de caixas: A B C I II III Quantas caixas de cada tipo (x 1, x 2 e x 3 ) pode a empresa transportar, sabendo que tem ao seu dispor 42 contentores do tipo I, 27 do tipo 2 e 33 do tipo 3? Matemática I 3/ 22 DeMat-ESTiG

4 Motivação, continuação Exemplo 1: solução é obtida resolvendo o seguinte sistemas 4x 1 + 5x 2 + 2x 3 = 42 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 27 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 = 33 Este sistema pode representar-se na forma matricial: 4x 1 + 5x 2 + 2x 3 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 = x 1 x 2 x 3 = Como resolver este sistema? Matemática I 4/ 22 DeMat-ESTiG

5 Representação Matricial de um Sistema O sistema com m equações e n incógnitas pode ser representado por a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m a 11 a 12 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 2n x 2 b 2 = a m1 } a m2 {{ a mn } x n }{{} b m }{{} A x b Ax = b Matemática I 5/ 22 DeMat-ESTiG

6 Representação Matricial de um Sistema Equação Matricial Sistema pode ser representado pela equação matricial Ax = b A é a matriz dos coeficientes x é vector da incógnitas (solução so sistema) b é vector dos termos independentes do sistema Resolver o sistema consiste em resolver a equação matricial Ax = b em ordem ao vector x Vamos resolver apenas sistemas em que o número de equações é igual ao número de incógnitas (m = n), nesse caso a matriz A é quadrada Matemática I 6/ 22 DeMat-ESTiG

7 Representação Matricial de um Sistema Resolução da Equação Matricial Se A for quadrada e não-singular, existe uma matriz, representada por A 1, que é inversa de A tal que Resolver AA 1 = A 1 A = I Ax = b A 1 Ax = A 1 b I n x = A 1 b x = A 1 b A solução do sistema é igual à multiplicação da matriz inversa, A 1, pelo vector dos termos independentes, b Resolução do sistema passa por calcular A 1 Matemática I 7/ 22 DeMat-ESTiG

8 Cálculo da Matriz Inversa Matriz Adjunta Definição de Matriz Adjunta: Considerando A uma matriz de ordem n, chama-se matriz adjunta de A, e designa-se por adj(a), à matriz de ordem n cujo (j, i)-ésimo elemento é o cofactor (ou complemento algébrico) A ij de a ij : adj (A) = A 11 A 12 A 1n A 21 A 22 A 2n A n1 A n2 A nn T = A 11 A 21 A n1 A 12 A 22 A n2 A 1n A 2n A nn Matemática I 8/ 22 DeMat-ESTiG

9 Cálculo da Matriz Inversa Exemplo 2: Matriz Adjunta Calcular a matriz adjunta de A, do Exemplo 1, A = Começamos por calcular os cofactores A 11 = ( 1) = 0; A 12 = ( 1) = 5 A 13 = ( 1) = 5; A 21 = ( 1) = 9 A 22 = ( 1) = 8; A 23 = ( 1) = 2 A 31 = ( 1) = 6; A 32 = ( 1) = 2 A 33 = ( 1) = 7 Matemática I 9/ 22 DeMat-ESTiG

10 Cálculo da Matriz Inversa Exemplo 2, continuação adj(a) = T = Matemática I 10/ 22 DeMat-ESTiG

11 Cálculo da Matriz Inversa Desenvolvimento de Laplace Se A for quadrada e de ordem n verifica-se que { se i = k, a i1 A k1 + a i2 A k2 + + a in A kn = 0 se i k Se i = k corresponde ao determinante de A obtido através do desenvolvimento de Laplace segundo a i-ésima linha Caso i k corresponde ao determinante de uma matriz B cuja linha k é substituída pela linha i, que pelas propriedades dos determinantes é nulo Este resultado pode extender-se ao desenvolvimento de Laplace por coluna { se j = k, a 1j A 1k + a 2j A 2k + + a nj A nk = 0 se j k Matemática I 11/ 22 DeMat-ESTiG

12 Cálculo da Matriz Inversa Exemplo 3: Desenvolvimento de Laplace Considerando a matriz A, do Exemplo 1, vamos calcular 1 Desenvolvimento da linha 2 2 Desenvolvimento da linha 2 com os cofactores da 3 a linha 3 Desenvolvimento da coluna 3 com os cofactores da 1 a coluna Respostas: 1 a 21 A 21 +a 22 A 22 +a 23 A 23 = (3)( 9)+(2)(8)+(2)( 2) = 15 = 2 a 21 A 31 + a 22 A 32 + a 23 A 33 = (3)(6) + (2)( 2) + (2)( 7) = 0 3 a 13 A 11 + a 23 A 21 + a 33 A 31 = (2)(0) + (2)( 9) + (3)(6) = 0 Matemática I 12/ 22 DeMat-ESTiG

13 Cálculo da Matriz Inversa Matriz Inversa A adj(a) = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a i1 a i2 a in a n1 a n2 a nn A 11 A 21 A j1 A n1 A 12 A 22 A j2 A n2 A 1n A 2n A jn A nn Como o (i, j)-ésimo elemento da matriz produto A adj(a) é { se i = j, a i1 A j1 + a i2 A j2 + + a in A jn = 0 se i j Matemática I 13/ 22 DeMat-ESTiG

14 Cálculo da Matriz Inversa Matriz Inversa, continuação A adj(a) = = = I n Da mesma forma adj(a) A = I n adj(a) A = I n 1 adj(a) A = I n A 1 A = I n Matemática I 14/ 22 DeMat-ESTiG

15 Cálculo da Matriz Inversa Matriz Inversa, continuação Se A for uma matriz quadrada de ordem n a sua inversa é A 1 = 1 adj(a) A admite inversa se e só se 0 Matemática I 15/ 22 DeMat-ESTiG

16 Cálculo da Matriz Inversa Exemplo 4: Resolução pelo Método da Matriz Inversa Considerando a matriz A, do Exemplo 1, vamos calcular 1 A 1, a matriz inversa de A 2 Resolver o sistema Ax = b, enunciado no Exemplo 1 Respostas: A 1 = 1 adj(a) = 1 15 x = A 1 b = = = Matemática I 16/ 22 DeMat-ESTiG

17 Componentes do Vector Solução Como vimos anteriormente, a solução dum sistema Ax = b, com n equações e n incógnitas, existe e é única se 0 e é dada por x = x 1 x 2 x n = A 1 b = A 11 A 1i A 1n Da igualdade anterior verificamos que A 21 A 2i A 2n A n1 A ni A nn b 1 b 2 b n x i = A 1i b 1 + A 2i b A ni b n para (1 i n) Matemática I 17/ 22 DeMat-ESTiG

18 Seja A i uma matriz obtida de A, substituindo a coluna i por b a 11 a 12 a 1i 1 b 1 a 1i+1 a 1n a 21 a 22 a 2i 1 b 2 a 2i+1 a 2n A i = a n1 a n2 a ni 1 b n a ni+1 a nn Calculando A i pelo desenvolvimento de Laplace da i-ésima coluna: A i = b 1 A 1i + b 2 A 2i + + b n A ni = x i Assim concluímos que x i = A i, para i = 1, 2,, n Matemática I 18/ 22 DeMat-ESTiG

19 Exemplo 5: Resolver sistema Ax = b, do Exemplo 1, pelo método de Cramer x 1 = A 1 x 2 = A 2 x 3 = A 3 = = = = = 3 = = 4 = = 5 Matemática I 19/ 22 DeMat-ESTiG

20 Bibliografia Bernard Kolman, "Introdução à Álgebra Linear com Aplicações", Prentice-Hall do Brasil, 1998 Matemática I 20/ 22 DeMat-ESTiG

21 Um Pouco de História Gabriel Cramer (1704 a 1752) Matemático suíço, professor de Matemática e de Filosofia da Universidade de Genebra e membro da Academia de Berlim e da London Royal Society Dedicou especial atenção à teoria das curvas planas resultantes de secções cónicas É num anexo da sua obra mais importante Introduction à l analyse des courbes algébriques, de 1750, que é publicado o método de resolução de sistemas lineares com recurso a determinantes que ficou com o seu nome: a regra de Cramer Na verdade este método tinha sido já descoberto, de forma independente, pelo escocês Colin Maclaurin ( ), datando provavelmente de 1729, embora só publicado postumamente em 1748 no seu Treatise of algebra Matemática I 21/ 22 DeMat-ESTiG

22 Um Pouco de História Pierre Simon, Marquês de Laplace (1749 a 1827) O importante teorema de Laplace, que permite a expansão de um determinante através dos menores de r filas escolhidas e seus respectivos complementos algébricos, foi demonstrado no ano de 1772 pelo próprio Laplace num artigo que, a julgar pelo título, nada tinha a ver com o assunto: Pesquisas sobre o cálculo integral e o sistema do mundo Matemática I 22/ 22 DeMat-ESTiG