Curso Matemática Para Concursos II Módulo V. Módulo V. Estamos no Módulo V e você com certeza é um vencedor...

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1 1 Fonte: Módulo V Estamos no Módulo V e você com certeza é um vencedor... Neste Módulo apresentaremos os Sistemas Lineares e a famosa Regra de Cramer para resolver os Sistemas Lineares. Mas Quem é esse Cramer?????

2 2 Ele é GABRIEL CRAMER Professor de matemática suíço nascido em Genebra, que publicou a famosa regra de Cramer para solução de equações (1750), no Introduction a l'analyse des lignes courbes algebriques. Um dos três filhos de Jean Isaac Cramer, médico em Genebra, e de Anne Mallet, foi educado em Genebra e tinha somente 18 anos quando conseguiu seu doutorado (1722) com uma tese sobre a teoria do som. Dois anos depois passou a ocupar a cadeira de filosofia da Académie de Clavin, em Genebra. Como além do brilhante jovem, ainda disputavam a vaga os talentosos Amédée de la Rive e Giovanni Ludovico Calandrini, o conselho da universidade resolveu dividir a cadeira em duas, ficando a de filosofia pura com De la Rive e a de matemática para Calandrini e o jovem suíço. Ambos ainda dividiram o assunto de matemática de modo que ele com geometria e mecânica e Calandrini com álgebra e astronomia (1724). Depois de dois anos ensinando, foi indicado para um viagem de aprendizagem pela Europa ( ), onde conheceu os maiores matemáticos de então, estudando com Johann e Daniel Bernoulli, Euler, Halley, de Moivre, Stirling, 'sgravesande, Fontenelle, Maupertuis, Buffon, Clairaut, entre outros. De volta a Genebra (1729), voltou a ensinar e a publicar trabalhos científicos em várias entidades como nas Academias de Paris (1734) e de Berlim (1748/1750/1752) como também na Royal Society de Londres. Manteve permanente e extensa correspondência com os principais matemáticos de sua época, foi eleito Fellow da Royal Society (1749) e morreu três anos depois, em Bagnols-sur-Cèze, França. Fonte:

3 3 Sistemas de Equações Lineares Sistema de equações lineares é qualquer conjunto de equações lineares. Exemplo: Os valores x = 1 e y = 2 representam a solução do sistema. Substituindo-se x = 1e y = 2 em cada equação, a igualdade é verificada. Veja: Dizemos que o par (1, 2) é solução do sistema de equação. Classificação Um sistema de equações lineares pode ser: Possível e determinado: solução única. Possível e indeterminado: infinitas soluções. Impossível: não tem solução.

4 4 Regra de Cramer A resolução de um sistema de equações lineares através da regra de Cramer é baseada em determinantes. Exemplo: Determinante principal: O determinante formado pelos coeficientes das incógnitas: = = Determinantes das incógnitas: Substitui-se a coluna dos valores conhecidos, nas colunas das incógnitas x, y e z respectivamente:

5 5 Resposta: Divide-se cada determinante das incógnitas pelo determinante principal, obtendo-se x, y e z : x 18 x = = = 2 x 9 y 0 y = = = 0 9 y 18 z = = = 2 9 (2;0;2) 1) Resolva os seguintes sistemas utilizando a regra de Cramer: Soluções: 1) determinante principal: Repete-se após a 3ª linha, a 1ª e a 2ª linhas:

6 6 = = 8 determinante das incógnitas:repete-se, após a 3ª linha, a 1ª e a 2ª linhas: x = = 16 y = = 24 z = = 8

7 7 Resposta: x x = y y = z z = 16 x = 8 y = 24 8 z = 8 8 x = 2 y = 3 z = 1 ( 2, 3, 1) = = 6 x = = + 6

8 8 y = 0 z = = 6 x x = y y = z z = x = y = z = x = 1 y = 0 z = 1 ( 1, 0, 1) Resposta

9 9 = = 24 x = = 24 y = = 0 z = = 0 x x = y y = z z = x = y = z = x = 1 y = 0 z = 0

10 10 (1, 0, 0 ) Resposta = = 10 x = = 20 y = = 10

11 11 z = = 0 x x = y y = z z = x = y = z = x = 2 y = 1 z = 0 ( 2, 1, 0 ) Resposta 2) Discuta o sistema linear Solução: m 1 = = m m 1 0 m 1 m 1 = 0

12 12 m 1 = 0 m = 1 m = 1 x = 2 1 = 2 1 = y = m y = = 1 2 = O sistema será: - possível e determinado para m 1 - impossível para m = 1 3) O sistema linear determinar essa solução: admite uma única solução. Usando a regra de Cramer, Solução: 4 5 = = = 2 ( 0) x = = =

13 y = = = Então: x x = y y = x = 6 y = 2 Então, ( 6, 2 ) é a única solução do sistema dado. 4) Discutir e resolver o sistema linear. Solução: 2 1 = = 4 3 = 7 ( 0), o sistema é possível e determinado x = = 26 9 = x x = 35 x = 7 x = y = = =

14 14 y y = 21 y = 7 y = 3 Então, a única solução do sistema é (5, 3 ). 5) Discutir o sistema linear Solução: 1 K = = 2 K 1 2 Se 0 2 K 0 K 2 K 2, o sistema é possível e determinado. Se = 0 2 K = 0 K = 2 K = 2, devemos calcular x e y. 1 2 x = = 2 6 = 4 3 2

15 y = = 3 1 = Como, x e 0, o sistema é impossível. Portanto: - para K 2, o sistema é possível e determinado; - para K = 2, o sistema é impossível. 6) Determinar os valores de a para que o sistema linear seja possível e determinado: Solução: Para que o sistema seja possível e determinado, deve-se ter: 0 a a a a a 3 e a 3 Logo, o sistema será possível e determinado sempre que a 3 e a 3. 7) Para que valores dos coeficientes a e b o sistema Possível e indeterminado?

16 16 Solução: = 0 a = a 2 = 0 a = 2 No entanto, apenas sabendo que = 0 não garante que o sistema seja possível e indeterminado; ele poderá ser, mas também poderá ser impossível (que não é o caso desejado). Então, devemos ter: x = 0 e y = 0 x = b 1 = 0 2b 2 = 0 b = 1 y = para a = 2 e b = y = = 2 2 = Logo, o sistema é possível e indeterminado para a = 2 e b = 1.

17 17 8) O sistema é possível e determinado. Calcular a solução desse sistema: Solução: Fazendo 1 m x = e 1 n y =, o sistema toma a forma: 1 1 = = 3 2 = m = = 9 1 = n = = 1 6 = m m = 10 m = 5 m = 2 n n = 5 n = 5 n = 1

18 18 Logo, 1,1 2 é a solução do sistema dado. Consideremos dois casos: 1 0 caso: o número de equações é maior que o número de incógnitas ( n m ). Exemplo: 1) Resolver o sistema Solução: Consideremos um sistema formado por duas equações, de modo que = = 1 2 =

19 19 Esse sistema é possível e determinado, e sua única solução é: x x = y y = 12 3 x = y = 3 3 x = 4 y = 1 - Vejamos se ela é, também, solução da 3 a equação: x 2y = 6 ( x = 4 e y = 1) 4 2( 1) = = 6 { } Logo, o sistema inicial é possível e determinado, com solução = ( 4; 1). Exemplo: 2) Resolver o sistema Solução: = = 2 1 = 3 0 Esse sistema é possível e determinado, e sua única solução é: 3 1 x = = 3 9 =

20 20 x x = 12 x = 3 x = 4 y = y = 9 6 y = 3 y y = 3 y = 3 y = 1 Testando (4, 1) na 3 a equação: x = 4 e y = 1 x 2y = ( 1) = = Então, o par (4, 1) não é solução da 3 a equação: Logo, o sistema inicial dado é impossível, pois não há um par que seja solução simultaneamente das três equações, ou seja, Solução = 0

21 21 Exemplo: 3) Resolver o sistema Solução: 2 4 = = = = x = = + = 2 6 y = = = = 0 x = 0 y = 0 Então, o sistema dado é possível e indeterminado, e sua solução geral é obtida através de uma das equações: x 2K = 3

22 22 Logo, Solução = ( 3+ 2 K, K ) { } K R Exemplo: 4) Resolver o sistema Solução: 1 1 = = 2 2 = x = = 6 6 = y = = 6 6 = = 0 x = 0 y = 0 Se verificarmos no sistema

23 = = 3 3 = x = = 9 8 = y = = 8 9 = Logo, esse sistema é impossível. Se não existe solução para esse sistema, o mesmo se pode dizer para o sistema inicial dado: Solução = caso: o número de equações é menor que o número de incógnitas ( n m ). Um sistema desse tipo ( n m ) nunca será possível e determinado, pois, para se obter um sistema n n a partir dele, uma das incógnitas terá valor indeterminado. Exemplo: Resolver o sistema Solução: - Fazendo z = K, obtemos o sistema 2 2, com 0.

24 = = 3 2 = K 1 x = = 3 9K 2 + 4K = 5K 5 2 4K K y = = 10K 2 2 4K x x = y y = 5K 5 10K x = y = 5 5 x = K + 1 y = 2K { } A solução geral é: ( K +1;2 K; K ) Existem casos em que as equações são equivalentes, como por exemplo: Se dividimos a 1 a equação por 2, termos teremos:

25 25 x 3y + 2z = 3 Se dividimos a 2 a x 3y + 2z = 3 equação por 3, teremos: Logo, o sistema é possível e indeterminado, e a sua solução geral será: y = e z = β 2x 6 + 4β = 6 2x = β x = 3 + 3α 2β { } Logo, ( β,, β ) +. Existem casos em que o sistema é impossível: Se dividirmos a 1 a equação por 2, teremos: x 3y + 2z = 3 Se dividirmos a 2 a x 3y + 2z = 5 equação por 3, teremos: Comparando as duas igualdades, verificamos que o sistema é impossível. S = 0

26 26 Exemplo: Resolver o sistema x y z = 0 2x + y + 4z = 0 Esse sistema não é impossível (é homogêneo) e não é determinado (2 equações e 3 variáveis). Logo, um sistema desse tipo se afirma que é possível e indeterminado. 1 1 = = = K 1 x = = K 4K = 3K 4K 1 1 K y = = 4K 2K = 6K 2 4K x x = y y = x = 3K 3 y = 6K 3 x = K y = 2K

27 27 Solução geral: S = ( K, 2 K, K) Fonte: Exercícios sobre matrizes 1) Calcule 2A + 3B para: a) 1 3 A = 5 4 e 1 0 B = 2 3 b) 1 4 A = e 1 1 B =

28 28 c) 1 2 A = e B = ) Calcule os seguintes produtos: 1 3 a) [ ] b) ( ) Exercícios sobre determinantes 1) Calcule os determinantes abaixo: a) a b b) 1 5 c)

29 29 d) ) Para quais valores de a e b o determinante 3) Utilize a fórmula a 2a 2 1 a 3 b pode ser zero? a a a a a a a a a a a a = a a + a para calcular os a32 a33 a31 a33 a31 a a a a determinantes abaixo: a) b) a b c c) i j k d)

30 30 1) Solução: a) = = = = b) = = =

31 = c) = = = Não é possível realizar a operação, pois matrizes não são do mesmo tipo. A B )Solução: = ( ) ( 8 31) = =

32 32 Solução exercícios sobre determinantes 1) a) = = det( A ) = 9 a b b) = 5a b 1 5 det( B) = 5a b = 32 det( C ) = = 11 det( D ) = 11

33 33 2) a 2a 2 1 a 3 b = 0 2 a b a a 2 a b 1 2 = a = 0 3 a 0 = 3 3a ( ) 2 a b = a = 0 a = 0 3b 2 = 0 3b = 2 b = 2 3 a = 0 ou 2 b = 3 3)Soluções: a) =

34 34 2( 5 14) 5 ( 15 8) + 7( 21+ 4) = = 102 b) = = ( ) = = 52 a b c c) a b + c = ( 4 3) ( 8 9) ( 2 3) = a b + c = a + b c i j k d) i j + k = ( 3 0) ( 6 1) ( 0 1) i j + + k + =

35 35 = 3i 7 j + k 4) O produto M N na matriz a) não se define 1 M = 1 1 b ) é uma matriz de determinante nulo c) é a matriz identidade de ordem 3 d) é uma matriz de uma linha e uma coluna e) não é matriz quadrada pela matriz N = ( 1 1 1) : ) (UESP) Se o determinante da matriz p p p é igual a 18, então o determinante da matriz p p p é igual a: a) -9 b) -6 c) 3 d) 6 e ) 9

36 36 Solução: Foi dividida por (-2) a 2 a coluna da 1 a matriz, então 18 = 9. 2 Fonte: