Módulo de Matrizes e Sistemas Lineares. Sistemas Lineares

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1 Módulo de Matrizes e Sistemas Lineares Sistemas Lineares

2 Matrizes e Sistemas Lineares Sistemas Lineares Eercícios Introdutórios = 4 5 Eercício. Determine quais das equações abaio são lineares = = = z = 2 (e) = = 0. Eercício 2. Verifique em qual das equações abaio (, 2, 3, 4 ) = (,,, ) é solução = z = = = = 0. (e) = 3. Eercício 3. Escreva na forma matricial os sistemas lineares nas incógnitas, e z: = 4 = z = 4 z = z = 7 a + b + cz = 7 b + a cz = 6 (sen a) + (cos b) = 5 (cos b) + (sen a) = 2 Eercício 4. Quais são os sistemas correspondentes às representações matriciais abaio? Eercício 5. Resolva pelo método da substituição dos seguintes sistemas: + + 3z = z = 4 2z = z = + z = 4 + z = 8 + z = z = 4 + = 3 Eercício 6. Determine sistemas escalonados equivalentes a cada um dos seguintes sistemas z = z = 0 + 6z = 4 matematica@obmep.org.br

3 Eercício 7. Discuta o sistema 2 + z = z = z = 2 + 2z = z = Eercício 2. Discuta o sistema = = 3 Eercício 3. Resolva usando o Método do Escalonamento Gaussiano o sistema = 4 2 = z = 2 2 Eercícios de Fiação Eercício 8. Eercício 9. Resolva o sistema Dado o sistema z = z = z = z = 0 4 2m + 3z = mz = 0 determinar m para que o mesmo admita soluções distintas da trivial e determiná-las. Eercício 0. Qual o valor de k para que o sistema admita solução própria? Eercício. z = k + z = 0 2 2z = 0 Classifique o sistema abaio + 3 z = z = Eercício 4. da matriz As somas das três colunas e das três linhas são iguais. Qual é o menor número de entradas da matriz que devem ser alteradas para que todas as novas seis somas sejam diferentes entre si? 3 Eercícios de Aprofundamento e de Eames Eercício 5. Determinar os valores de k, para que tenha solução a equação matricial = z k Além disso, para os valores encontrado de k, determine a solução (,, z). Eercício 6. Discuta o sistema em R R. Eercício = 2 + = 4 Discuta o sistema 2 + z = z3 + 2z = matematica@obmep.org.br

4 Eercício 8. Resolva usando o Método do Escalonamento Gaussiano o sistema z = 0 2 = 4 2 z = 3 Eercício 9. Resolva o sistema de equações abaio = = = = = = = = 2. Eercício 20. Resolva o sistema de equações = = = = = 96. Eercício 2. Se n é um número real, então o sistema de equações simultâneas n + = n + z = + nz = não possui solução se, e somente se, n é igual a a) b) 0 c) d) 0 ou e)/2 3 matematica@obmep.org.br

5 . São lineares apenas a) e c) 2. (e) Respostas e Soluções. Como = 7, (,,, ) é solução. Como + 3 = 7, (,,, ) não é solução. Como = 7, (,,, ) não é solução. Como = 0, (,,, ) não é solução. Como + 2 = 3, segue que (,,, ) é solução. 2 3 = = 2 z 7 a b c b a c sen a cos b cos b sen a = = 5 = = z = z = z = + z = = Pela terceira equação, temos z = 4. Substituindo na segunda equação, temos = 8. Finalmente, substituindo esses valores na primeira equação, temos = 9 Usando as duas últimas equações, temos = 4 z e = 8 z. Substituindo esses valores na primeira equação, temos 8 z + 4 z + z = 3 = z Portanto, (,, z) = (4 3, 8 3, 3) = ( 9, 5, 3). Usando a primeira e a última equação, temos = 3 e z = 2. Substituindo esses valores na segunda equação, temos = 4 = Portanto, (,, z) = (, 3, 2 ) = (, 2, ). 6. Em cada item, enumeramos sistemas intermediários equivalentes ao sistema inicial. Multiplicando a primeira equação por 3 e somando-a com a segunda equação multiplicada por 2, temos z = 0 4z = 0 + 6z = 4 Somando as duas últimas equações, obtemos a forma escalonada: z = 0 4z = 0 2z = 4 Multiplicando a terceira equação por 3 e somandoa com a segunda obtemos, após uma permutação das equações, o sistema 2 + z = 2 8 7z = z = 5 Multiplicando a primeira equação por 2 e somando-a com a terceira, obtemos o sistema 2 + z = 2 8 7z = 6 3 z = 4 matematica@obmep.org.br

6 Finalmente, multiplicando a segunda equação por 3/8 e somando-a na terceira, conseguimos o sistema escalonado: 2 + z = 2 8 7z = 6 3z 8 = O sistema escalonado equivalente é + 2z = 4 5 5z = 5 5z = 6 Consequentemente o sistema é possível e determinado. Usando o método da substituição, podemos encontrar a solução = 9/5, = /5 e z = 6/5. 8. Somando as três equações, obtemos 6 = 2, ou seja, = /3. Substituindo esse valor nas duas primeiras equações, obtemos 3 + z = 4/3 4 + z = /3 Por comparação, temos 3 4/3 = 4 + /3, ou seja, = 5/2. Finalmente, z = 4/3 3 = 3/2. 9. (Etraído da FUVEST) Comparando a primeira com a última equação, concluímos que + z = 0. Daí, substituindo na primeira, podemos concluir que = 0. Finalmente, usando esses dois dados na segunda equação, temos (k ) = 0. Para que (,, z) = (0,, ) seja uma solução própria, devemos ter = 0. Assim, para que (k ) = 0, é necessário que k =. De fato, quando k =, (,, z) = (0,, ) é uma solução própria. 0.. Com o Método do Escalonamento, podemos obter o sistema equivalente + 3 z = 2 8 z = 7 O sistema é possível e indeterminado. Com o Método da Substituição, podemos encontrar o valor de função de z a partir da segunda equação: = z Finalmente, substituindo esse valor na primeira equação, obtemos = 5( z). Portanto, 8 5( z) (,, z) = (, z , z), para z R Considere a seguinte sucessão de operações na matriz completa do sistema: l l l 2 2l Assim, o sistema original é equivalente à + 6 = = 3 4. (Etraído da AIME) Se três ou menos entradas são alteradas, ou eistirão duas linhas sem entradas alteradas ou uma entrada é a única alterada em sua fila e coluna. No primeiro caso, essas duas linhas sem entradas alteradas possem a mesma soma. No segundo caso, se apenas uma entrada é a única alterada na sua linha e coluna, elas também possem a mesma soma. A matriz a seguir representa um eemplo com apenas 4 alterações e todas as 6 somas de linhas e colunas distintas Portanto, o mínimo de alterações é 4 5. O sistema dado é equivalente a z = z = z = k Somando as duas primeiras equações e comparando com a terceira, devemos ter = k. Portanto, para que o sistema tenha solução, devemos ter k = 27. Para esse valor, (,, z) = (,, é solução do sistema. 5 matematica@obmep.org.br

7 6. Elevando a segunda equação ao quadrado e subtraindo dela a primeira, temos 2 = 4. Portanto = 7. Assim, e são raízes da equação p 2 ( + )p + = 0 p = 0 Como = 6 28 < 0, a equação não possui raízes reais. Assim, o sistema é impossível. 7. Somando as equações, obtemos z =. Portanto, = z. Substituindo esse valor na segunda equação, obtemos z + 2z = 4, ou seja, = 3z + 5. Logo a solução geral pode ser escrita como com z R. (,, z) = (z +, 3z + 5, z), 8. Considere a seguinte sucessão de operações na matriz completa do sistema: l 2 2l l 2 +2l 3 l 2 +2l 3 9. (Olimpíada Russa - 946) Somando todas as equações, temos = 0 = 0. Somando agora primeira, quarta e sétima equações, obte- 3 mos = 0 + = =, ou seja =. De forma análoga podemos obter as demais incógnitas. 2 = 2, 3 = 3, 4 = 4, 5 = 4, 6 = 3, 7 = 2, 8 =. 20. Somando todas as equações, obtém-se 6( ) = 86, ou seja, = 3. Notase que a primeira equação pode ser escrita como = + 3 = 6, segue que = 25. De forma análoga, obtém-se os demais resultados pelas outras equações. Assim, 2 = 9, 3 = 7, 4 = 7, 5 = (Etraído da AIME) Escalonando a matriz associada ao sistema, obtemos o sistema equivalente: + nz = n 2 z = n ( + n 3 )z = n + n 2 Para que o sistema não possua solução, uma condição necessária é que n 3 + = 0 e n + n 2 = 0, pois caso contrário poderíamos encontrar valores de z, e, nesta ordem, através do Método de Substituição. Como n 3 + = (n + )(n 2 n + ), devemos ter n =. Se n =, usando o Método de Substituição, podemos encontrar = = z = /(n + ) como solução. Portanto, a resposta é a letra A. Assim, o sistema original é equivalente à z = z = z = 7 Finalmente, pelo método de substituição, a solução do sistema anterior é (,, z) = (3, 2, ). Produzido por Arquimedes Curso de Ensino contato@cursoarquimedes.com 6 matematica@obmep.org.br