Gabarito - Matemática Grupos I e J

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1 1 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Avaliador Revisor Um dos tetos chineses mais antigos é o I-King, ou livro das permutações. Nele aparece um diagrama numérico lo-shu, conhecido como quadrado mágico. A soma dos elementos de cada linha, de cada coluna e de cada diagonal é a mesma. Considere o quadrado mágico representado abaio: 4 3 z 5 7y 4z y 6 Calcule os valores de, y e z. Cálculos e resposta: Do quadrado mágico obtemos, por eemplo, o sistema a (1) y = 15 ( colunaediagonal) a () + 7y + 5 = 15 ( linhaediagonal) a (3) z = 15 (1 colunaediagonal) De (1) e (), 3 + y = y= + 7y = 3y 9y + y = 10 y = 1 = 3.1 = y = 10 De (3), z= 15 4z = 8 z =. 13

2 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Avaliador Revisor Quinze (15) pessoas, sendo 5 homens de alturas diferentes e 10 mulheres também de alturas diferentes, devem ser dispostas em fila, obedecendo ao critério: homens em ordem crescente de altura e mulheres em ordem decrescente de altura. De quantos modos diferentes essas 15 pessoas podem ser dispostas nesta fila? Ordenamos os 5 homens em 5 lugares dos 15 e as 10 mulheres ocuparão os 10 lugares restantes. Para isto, basta considerarmos as possibilidades de que os homens estejam na fila. Tem-se: 5 15! ! C = = = !(15 5)! !. 14

3 3 a QUESTÃO: (1,5 ponto) Avaliador Revisor A figura abaio mostra quatro semicircunferências: MNP, QRS, MQeSP, cujos centros (O, O, O e O ) estão sobre o segmento MP. Os diâmetros MQeSP são iguais. Considere a medida do segmento NR e determine o valor da área da região sombreada em termos apenas de. Cálculos e resposta: Área = Área ( MNP ) + Área ( QRS ) Área( MQ ) Área( SP ). Temos, Área ( MNP ) = OR Área ( QRS ) = OR Área( MQ ) = Área( SP ) = OQ Mas, OR OR = OQ + OR OQ =. Assim, Área = Área = OR + OR -. OR ( OR+ OR + OR. + OR OR ) Área =

4 4 a QUESTÃO: (1,5 ponto) Avaliador Revisor Considere o número compleo z escrito na forma z = r cos θ + i r sen θ sendo r um número real positivo e θ medido em radiano. Determine os possíveis valores do ângulo θ de modo que 1 z = 1+i. Se 1 1- i z = r cosθ + irsenθ z = r cosθ + irsenθ = = 1+ i 1-i 1 = cos - isen 4 4. Por outro lado, Assim, 1 r (cos isen ) cos θ + θ = -isen r =,cos θ = cos e sen θ = - sen 4 4 Daí, 4 8 r = e θ = - + n, n Z θ = - + n, n Z

5 5 a QUESTÃO: (1,5 ponto) Avaliador Revisor Uma parte do esboço do gráfico de uma função polinomial f é dada na figura: y 4,5,0 0 1 Sabe-se que a função f possui somente três raízes: a raiz = e outras duas que são reais e simétricas. Determine: a) a epressão polinomial que define f. b) o(s) intervalo(s) em que f é positiva. a) A epressão de f é dada por: f()=a(-)(-b)(+b). Usando as informações do gráfico, obtemos as seguintes equações: 9 9 = f = a b b = ab = ab i 4 = = + = (0) (-)(- ) () f(1) a(-1)(1- b)(1 b) -(1- a b ) ( ii) Substitutindo (ii) em (i), obtemos: = - a a= -= Substituindo este valor em (i), obtemos: = b b=9 b=3 4 4 ou b=-3. f()= 1 (-)(-3)(+3) 4 b) Construímos o quadro de sinais da função f: f é positiva em ] 3,[ ]3, + [ f

6 6 a QUESTÃO: (1,5 ponto) Avaliador Revisor Após acionado o flash de uma câmera fotográfica, a bateria começa imediatamente a recarregar o capacitor que armazena uma quantidade de carga elétrica (medida em Coulomb) dada por: Q = Q(t) = Q o (1 e λ t ) sendo - Q(t) a carga elétrica armazenada até o instante t, medido em segundo; - Q o a carga máima e - λ uma constante. Considerando λ = 1 e ln 10 =,3, determine: a) a epressão de t em função de Q. b) o tempo necessário para que o capacitor recarregue 90% da carga máima. a) 1 t t - t - - (1- Q ) 1- Q t Q Q = Qo e = e e = 1- - = ln 1- Qo Qo Qo Q t = -ln 1- Qo b) Temos, 0,9Qo Q = 0,9Qo t = -ln(1- ) t = -ln(0,1) t = (ln1 ln10) t = ln10 Q t 4,6s o 18

7 7 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Avaliador Revisor Os raios de duas esferas concêntricas medem 1 cm e 9 cm. Calcule a área de uma seção feita na esfera maior por um plano tangente à esfera menor. seção Pelo Teorema de Pitágoras, (9) = (1) + r r = (9) (1) r = = 400. a área da seção é igual a r = 400 cm 19

8 8 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Avaliador Revisor Para desenhar uma determinada curva plana foi usado o seguinte procedimento: (i) considerou-se uma seqüência de segmentos A n B n, todos de mesmo comprimento L, de tal modo que, para cada valor de n (n N ), A n pertença ao eio (Oy) das ordenadas e B n pertença ao eio (O) das abscissas do sistema de coordenadas cartesianas (veja figura abaio). y A 1 A A 3 A 4 A 5 0 B 1 B B 3 B 4 B 5 (ii) assinalou-se, em cada segmento A n B n, o ponto médio M n correspondente. Considerando que o procedimento foi repetido várias vezes (n > ), determine a equação cartesiana da curva plana que contém todos os pontos M n assinalados. Observamos que L L = Lcosα cosα = cosα L y senα = + y = L cos α+ L sen α = L A equação da curva é: y 0 L/ (,y) α L/ L + y = 4 0