Questão 1 Questão 2. Resposta. Resposta

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Luna Quintão Vidal
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1 Questão 1 Questão Um jogo consiste num dispositivo eletrônico na forma de um círculo dividido em 10 setores iguais numerados, como mostra a figura. A figura mostra um sistema rotativo de irrigação sobre uma região plana, que gira em torno de um eio vertical perpendicular à região. Se denotarmos a medida em radianos do ângulo AÔB por θ, a área irrigada, representada pela parte cinza do setor circular, será uma função A, que dependerá do valor de θ, com 0 θ π. Em cada jogada, um único setor do círculo se ilumina. Todos os setores com números pares têm a mesma probabilidade de ocorrer, o mesmo acontecendo com os setores com números ímpares. Além disso, a probabilidade de ocorrer o número é o dobro da probabilidade de ocorrer o número 4. Denotando por p(i) a probabilidade de, numa jogada, ocorrer o número i, determine: a) p() e p(4). b) a probabilidade de, numa jogada, ocorrer um número primo maior igual a. a) Das condições dadas: p(1) p() p() p(7) p(9) p() p(4) p() p(8) p(10) p() p(4) Portanto, como a soma das probabilidades p(i), com i variando de 1 a 10, é igual a 1: 1 p(4) p() + p(4) 1 1 p() p(4) p() 1 b) Os números primos maiores iguais a que podem ser obtidos no jogo são,, e 7. Logo a probabilidade pedida é p() + p() + p() + p(7) 7 p(4) + p() 1. Se OA 1 m e AC m, determine: a) a epressão matemática para a função A(θ). b) o valor de θ, em graus, se a área irrigada for de 8 m. (Para facilitar os cálculos, use a aproimação π.) a) A área irrigada é igual à diferença entre as áreas dos setores circulares OCD e OAB, de raios 4 m e 1 m, respectivamente. Assim, em m, θ θ 1 A( θ) π 4 π 1 θ, π π 0 θ π. 1 1 b) A( θ) 8 θ 8 θ rad. 1 Logo a medida de θ, em graus, é o 1 π o o. 1

2 matemática Questão Considere os números compleos w i e z (1 + i). Determine: a) z e(w z + w), onde z indica o conjugado de z. b) z e w. Mostre que a seqüência (1, z, w, zw, w ) é uma progressão geométrica, determinando todos os seus termos e a sua razão. a) z (1 + i) i + i i e w z + w (i) (1 i) + i ( 4) (1 i) + i 4 + 4i + i 4 + i. b) z e w 0 +. Como w z, a seqüência (1, z, w, zw, w ) (1, z, z, z, z 4 ) (1,,,,4) é uma progressão geométrica de razão z. Questão 4 Considere a matriz 0 A a) Determine todos os números reais λ para os quais se tem det (A λ I) 0, onde I éa matriz identidade de ordem. b) Tomando λ, dê todas as soluções do ( λ ) y 0 sistema + ( λ ) y 0 y + ( λ ) z 0 λ 0 A λi λ 0 e, portanto, 1 1 λ λ 0 det (A λi) λ λ + ( 1) ( ) λ λ λ ( λ) (( λ ) 9). Assim, a) det (A λi) 0 ( λ) (( λ) 9) 0 λ λ 0 ( λ) 9 0 λ λ λ λ λ 9 b) Temos que a matriz incompleta do sistema linear homogêneo dado é A λi. Logo, como para λ, det (A λi) ( ( )) (( ( )) 9) 0, a única solução do sistema é a trivial, seja, V {(0; 0; 0)}. Questão + Considere função dada por f() m + 1. a) Quando m 4, determine os valores de para os quais f() 0. b) Determine todos os valores reais de m para os quais a equação f() m + 1 não tem solução real. a) Para m 4: + 1 f() y y 4y y y 1 y 0 1 b) A equação f() m m m 0 y y + my m 0 não admite soluções se, e somente se, a equação y + my m 0 não admite soluções reais admite somente raízes não positivas.

3 matemática A equação y + my m 0 não admite soluções reais se, e somente se, <0 m 4 ( m) < 0 1 < m < 0. A mesma equação admite somente raízes não positivas se, e somente se, 0 S 0 P 0 (m 1 m 0) m 0 m 0. m 0 Logo a equação f() m + 1 não admite soluções se, e somente se, 1 < m 0. Observando o gráfico obtido no item a, concluímos que o conjunto verdade da inequação dada é V ]; 4[. Como < π < 4, π Vef( π) < g( π) π < log π. Questão 7 Na figura, ABCD é um retângulo, BD cm, a medida do ângulo ABD é α0 o, a medida do ângulo AED é β e BE. Questão Considere as funções f( ) e g ( ) log, para > 0. a) Represente, num mesmo sistema de coordenadas retangulares, os gráficos das duas funções, colocando os pontos cujas abscissas são 1,, 4 e 8. b) Baseado na representação gráfica, dê o conjunto solução da inequação < log,e justifique por que π < log π. a) Determine: a) a área do triângulo BDE, em função de. b) o valor de, quando β7 o. a) A área do triângulo BDE é igual a o 1 BE BD sen 0 cm b) Temos que m (BED ) 180 o 7 o 10 o e, no BDE, m (BDE ) 180 o 0 o 10 o 4 o. b) A inequação < log é satisfeita se, e somente se, o ponto de abscissa do gráfico de f() está abaio do ponto de abscissa do gráfico de g ( ) log. Aplicando a lei dos senos ao BDE temos: BE sen 4 o BD sen 10 o sen 4 o o o sen (0 + 4 )

4 matemática ( 1) cm ( + 1) 4 Portanto Q 1 ; e uma equação da reta pedida PQ é: ( ) y ( ) 1 ( 0) y 1 0 Questão 8 Considere a circunferência + ( y ) 4e o ponto P(0, ). a) Encontre uma equação da reta que passe por P e tangencie a circunferência num ponto Q de abscissa positiva. b) Determine as coordenadas do ponto Q. Questão 9 Do solo, você observa um amigo numa roda gigante. A altura h em metros de seu amigo em relação ao solo é dada pela epressão h(t) 11, + 10 sen π ( t ), onde o tempo t é dado em segundos e a medida angular 1 em radianos. a) Determine a altura em que seu amigo estava quando a roda começ a girar (t 0). b) Determine as alturas mínima e máima que seu amigo alcança e o tempo gasto em uma volta completa (período). A circunferência + (y ) 4 tem centro R (0; ) e raio 4. No triângulo PQR, PQ PR QR ( ( )) 1. Pelas relações métricas no mesmo triângulo: PR QS QR PQ a 1 RS PR QR ( b) a 1 b a) Para t 0 temos h(0) 11, sen π (0 ) π 11, 10 sen π 11, + 10 sen π + π 11, 10 sen , 10, m. b) A altura máima e mínima é obtida quando π sen (t ) 1 é, respectivamente, máimo e mínimo, seja, 1 e 1. Desse modo a altura máima é 11, , m e a mínima, 11, + 10 ( 1) 1, m. O tempo gasto em uma volta completa é igual ao período da função h(t), seja, π π 4 segundos. 1

5 matemática Questão 10 Um recipiente tampado, na forma de um cone circular reto de altura 18 cm e raio cm, contém um líquido até a altura de 1 cm (figura 1). A seguir, a posição do recipiente é invertida (figura ). a) Como m (ABC) m (DEC) 90 o e m (BCA) m (ECD), pelo caso AA, ABC ~ DEC. Sendo R e r os raios mostrados nas figuras, a) determine R e o volume do líquido no cone em cm (figura 1), como múltiplo de π. b) dado que r 91, determine a altura H da parte sem líquido do cone na figura. (Use a aproimação 91 9/.) Logo AB BC 18 R cm e o DE EC R 1 volume do líquido no cone é igual a 1 π 1 1 π cm. b) O triângulo retângulo de catetos r e H, na figura, é semelhante ao triângulo ABC. Portanto r H H r 91 cm. Usando a aproimação 91, H 1, cm

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