A) I e III. B) II e III. C) I e IV. D) IV. E) I.

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1 9 ITA Notações MATEMÁTICA {,,, } "A matemática é o alfabeto com que Deus escreveu o mundo" Galileu Galilei i z : unidade imaginária: i : módulo do número z : conjunto dos números compleos [ a, b ] { ; a b} Re z Im z : parte real do número z : parte imaginária do número z ( a, + ) ]a, + [ { A \ B { A; B} M m n ( : conjunto dos números reais ; a < < + } At ) : conjunto das matrizes reais m n : transposta da matriz A A : complementar do conjunto A det A P ( A ) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A C : determinante da matriz A n ( A ) : número de elementos do conjunto finito A : segmento de reta unindo os pontos A e B AB tr A : soma dos elementos da diagonal principal da matriz quadrada A Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares. Questão Sejam A e B subconjuntos do conjunto universo U {a, b, c, d, e, f, g, h}. Sabendo que ( B C A ) { f, g, h}, B C A {a, b} e C AC \ B {d, e}, então, n ( P ( A B ) ) é igual a A) B). C). D). 4. Pelo diagrama de Venn temos: (B C A ) { f ; g ; h} C A f B B C A {a; b} U g h A a B AC \ B {d ; e} U A U B d b e Assim A B {c} n ( P ( A B ) ) P ( A B ) { ; {c}} Alternativa C E) 8.

2 Questão Uma empresa possui carros, sendo uma parte com motor a gasolina e o restante com motor fle (que funciona com álcool e com gasolina). Numa determinada época, neste conjunto de carros, 6% dos carros com motor a gasolina e 6% dos carros com motor fle sofrem conversão para também funcionar com gás GNV. Sabendo-se que, após esta conversão, 556 dos carros desta empresa são bicombustíveis, pode-se afirmar que o número de carros tricombustíveis é igual a A) 46. B) 5. C) 6. D) 68. E) 84. Seja a quantidade de carros à gasolina e a de fle: 6 é a quantidade de carros à gasolina/gnv 6( ) é a quantidade de carros à gasolina/álcool/gnv Do eposto: 6 64( ) Cálculo da quantidade de carros tricombustíveis: 6( ) Alternativa B Seja f : \ {} uma função satisfazendo às condições: f ( + y) f f ( y ), para todo, y e f ( ), para todo \{ } Das afirmações: I. f pode ser ímpar. II. f. III. f é injetiva. IV. f não é sobrejetiva, pois f ( ) > para todo. é (são) falsa(s) apenas. A) I e III. B) II e III. C) I e IV. D) IV. E) I. Questão Se f é ímpar, então f f Fazendo y : ( + ( )) ( ) f f f f f f f f Cálculo de f : Fazendo y f + f f f f f f, pois Voltando em () :,. f. (II é verdadeira) f, que é um absurdo.

3 Do eposto, I é falsa. Da definição: f + y f f y Como f ( y) para todo y temos: f ( + y) f, para todo e y reais com y. Portanto, f é injetiva e a afirmação III é verdadeira. t Fazendo y : t t t t f + f f t f () t f Como f () t : f ( t ) >, IV é verdadeira Alternativa E Se Questão 4 π π, então, o número compleo cos + sen 5 i 5 é igual a a bi B) +. π π a cos e b sen 5 5 A) +. D). a bi C) ( ) + ( + ) a bi E) 4ab + ab( b ) i. 54 ab ab b i. 54 z π π 54π 54π cos + sen cos + sen 5 i 5 5 i 5 z 4π 4π cos π+ + sen π+ 5 i 5 z 4π 4π cos + sen 5 i 5 z π π cos + sen 5 i 5 z a+ bi Alternativa B O polinômio de grau 4 ( a+ b+ c) 4 + ( a+ b+ c) ( a b) + ( a b+ c) + ( a+ c), com a, b, c, é uma função par. Então, a soma dos módulos de suas raízes é igual a A) +. B) +. C) +. D) +. E) +. Questão 5 Fazendo P a b c a b c a b 4 ( + + ) + ( + + ) ( ) + ( a b+ c) + ( a+ c) 4 P( ) ( a+ b+ c) ( a+ b+ c) ( a b) ( a b+ c) + ( a+ c) Temos que P( ) é par, ou seja, P P( )

4 Assim a+ b+ c a b+ c a b c b 4 Logo, P b b b Como b, então 4 P Ou seja, as raízes são:,, i e i + + i + i + Alternativa E 4 Considere as funções f + e é igual a Questão 6 g +. A multiplicidade das raízes não reais da função composta fog A) B) C) D) 4 E) f + f + ( )( ) + ( ) f ( ) ( + ) + ( + ) + ( )( + ) f ( )( + )( + ) + ( + )( ) f ( + )( )( + ) ( + ) ( ) f f f ( g ) ( g ) ( g ) g( ) + g( ) + + Δ ± i ' + i '' i + ' '' Como resolvemos a equação Alternativa C g três vezes, temos as raízes + i e i com multiplicidade três. Questão 7 4 Suponha que os coeficientes reais a e b da equação + a + b + a+ são tais que a equação admite solução não real r com r. Das seguintes afirmações: I. A equação admite quatro raízes distintas, sendo todas não reais. II. As raízes podem ser duplas. III. Das quatro raízes, duas podem ser reais. é (são) verdadeira(s) A) apenas I. B) apenas II. C) apenas III. D) apenas II e III. E) nenhuma. 4

5 r c+ di, com c e d reais, d e c + d. Como os coeficientes são reais e a equação é recíproca: c di, e também são raízes. c + di c di Mostremos agora que elas são todas distintas: c+ di c di, pois d c di c di, pois c + d c+ di c + d c+ di c+ di, pois c di c + d c + d Do eposto, apenas a afirmação I está correta. Alternativa A Questão 8 Se as soluções da equação algébrica + +, com coeficientes ab,, b, formam, numa determinada a b 54 ordem, uma progressão geométrica, então, a b é igual a A). B). C). D). E). Sejam, e as raízes da equação algébrica. Como estão em PG, podemos dizer que: k, k e k q q Utilizando as relações de Girard: 54 k 54 k k q k 7 k q Como k é raiz da equação algébrica, temos: a b a+ b a b Alternativa B Questão 9 Dados A M ( ) e b M ( ), dizemos que X M t ( AX b) ( AX b) é a melhor aproimação quadrática do sistema AX b quando assume o menor valor possível. Então, dado o sistema a sua melhor aproimação quadrática é A) B), y C) D) E) 5

6 X X A X b Y Y X ( AX b) t ( X Y X ) ; ; AX b t AX b X + + Y + X O menor valor possível de + Y acontece quando Y. O menor valor possível de F" 4, F " 4> Assim X. Alternativa E ` X + + X F X + acontecerá quando X pois, F' 4, é ponto crítico Questão O sistema a + by c a+ by c, a, a, b, b, c, c, com c, c,, ac + ac bc + bc, é A) determinado. B) determinado somente quando c e c. C) determinado somente quando c e c ou c e c. D) impossível. E) indeterminado. Como ( c, c) (, ), podemos ter: Se c e c : a c b c a b, substituindo na primeira equação do sistema: + y c c, o que contradiz a hipótese. Se c e c : ac bc a b, substituindo na segunda equação do sistema: + y c c o que contradiz a hipótese. Se c e c : a + by c ac + bcy c, a + by c ac + bcy c somando as duas equações: ac + ac + bc + bc y c + c c + c c c o que contradiz a hipótese. Portanto, o sistema é impossível. Alternativa D 6

7 Seja A M( ) uma matriz simétrica e não nula, cujos elementos são tais que a, a e a formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q e tra 5a. Sabendo-se que o sistema AX X admite solução não nula X M ( ), pode-se afirmar que a + q é igual a A) 5 B) 5 Como a, a, a estão em progressão geométrica, temos: Como tra 5a, temos: a + a 5a a 4a ( ii) Substituindo ( ii ) em () i : C) 5 a a a i () a a 4a a 4a a ± a ( iii) Como o sistema AX X admite solução não nula, o sistema ( A I) X é possível e indeterminado, ou seja: a a det ( A I) ( a )( a ) a a a a 4a 4a 4a a 4a + 4a 5a + a 5 a a q 4a a q q Questão 4 Portanto: a + q Alternativa A D) 49 9 E) 5 4 Questão Uma amostra de estrangeiros, em que 8% são proficientes em inglês, realizou um eame para classificar a sua proficiência nesta língua. Dos estrangeiros que são proficientes em inglês, 75% foram classificados como proficientes. Entre os não proficientes em inglês, 7% foram classificados como proficientes. Um estrangeiro desta amostra, escolhido ao acaso, foi classificado como proficiente em inglês. A probabilidade deste estrangeiro ser efetivamente proficiente nesta língua é de aproimadamente A) 7% B) 7% C) 68% D) 65% E) 64% Considerando os eventos: A : Elemento escolhido é proficiente em inglês. B : Elementos escolhido foi classificado. Sendo X a negação do evento X, temos: P( A), P( Ã), P( B A), P( B Ã) P( B A) Como P( B/ A), temos: P A P( B A) P( B/ A) P( A) P B P A P B A + P A P B Ã, temos: Como P( B) + 7

8 Como P( A/ B) ( B) P( B) 5 5 P( A B ) P A/ B 7% Alternativa B P A, temos: Questão Considere o triângulo ABC de lados a BC, b AC e c AB e ângulos internos α CAB, β ABC e γ BCA. Sabendo-se que a equação bcosα+ b a admite c como raiz dupla, pode-se afirmar que A) α 9º B) β 6º C) γ 9º D) O triângulo é retângulo apenas se α 45º E) O triângulo é retângulo e b é hipotenusa. Se c é raiz dupla, então pelo produto das raízes temos: b a c b a + c Então, o triângulo é retângulo e b é hipotenusa. Alternativa E A c b B a C Questão 4 No plano, considere S o lugar geométrico dos pontos cuja soma dos quadrados de suas distâncias à reta t: e ao ponto A (, ) é igual a 4. Então, S é A) uma circunferência de raio e centro (, ). B) uma circunferência de raio e centro (, ). C) uma hipérbole. D) uma elipse de eios de comprimento e. E) uma elipse de eios de comprimento e. Sendo P (, y), temos: Distância do ponto P à reta r igual a ; Distância do ponto P ao ponto A igual a ( ) + ( y ) + + y y y 4 + y ( ) ( y ) + Portanto, trata-se de uma elipse cujo comprimento do eio maior é igual a e o do eio menor é igual a. Alternativa D 8

9 Questão 5 Do triângulo de vértices A, B e C, inscrito em uma circunferência de raio R cm, sabe-se que o lado BC mede cm e o ângulo interno ABC mede º. Então, o raio da circunferência inscrita neste triângulo tem o comprimento, em cm, igual a A) B) C) 4 D) E) Pela lei dos senos: BC R senâ senâ senâ Â º ou Â 5º Como B º, temos Â º ( Â 5º não formaria o Δ ABC ) l + cosº l l B C cm º cm º º l A Seja r o raio da circunferência inscrita no sen º S + + S p r r ( + ) r r r + cm Δ ABC e S sua área: Alternativa D Questão 6 A distância entre o vértice e o foco da parábola de equação A). B) 4 4y+ y +, 4 que é uma equação de parábola com eio de simetria paralelo ao eio y. Tal equação pode ser escrita na forma y y, 4 p em que p é a distância do foco ao vértice. Fatorando: 4 4y+ y+ ( ) y+ ( ) y y y ( ) 4 4 4p p Alternativa E 4 4y + é igual a. C). D) 4. E). 9

10 A epressão Questão 7 + π + sen cotg tg + tg é equivalente a A) [cos sen ]cotg. B) [sen + cos ]tg. C) D) [ cotg ]sen. E) [ cotg ][sen cos ] + +. [cos sen ]cotg. i)sen + π sen cos π+ sen π cos cos sen ii) + tg + cos cos Seja E : + sen + π + cotg tg tg sen cos cos + sen cos cos sen cos E + sen cos sen cos ( cos ) E sen cotg ( cos ) E sen cot g ( ) cos cos sen sen sen Alternativa A Questão 8 Sejam C uma circunferência de raio R > 4 e centro (,) e AB uma corda de C. Sabendo que (,) é ponto médio de AB, então uma equação da reta que contém AB é A) y+ 6. B) y+. C) y+ 7. D) y+ 4. E) y+ 9. Cálculo do coeficiente angular da reta CM : Δy m Δ Como a reta que contém AB é perpendicular à CM, temos: m m AB m AB Usando a equação do feie de retas y y m( ) para a reta AB, temos: y ( ) A M (,) C (,) B

11 y 9 + y+ Alternativa B Questão 9 Uma esfera é colocada no interior de um cone circular reto de 8 cm de altura e de 6 de ângulo de vértice. Os pontos de contato da esfera com a superfície lateral do cone definem uma circunferência e distam cm do vértice do cone. O volume do cone não ocupado pela esfera, em cm, é igual a 46 A) 9 π. B) 48 9 π. C) 5 9 π. D) 5 9 π. E) 54 9 π. O triângulo ABC é equilátero, pois o ângulo do vértice do cone ABC é igual a 6º e os pontos de contato da esfera com a superfície lateral do cone definem uma circunferência. 6 Assim, como a altura do cone é igual a 8 cm, AB. Os triângulos MCB e CEO são semelhantes, logo 6 8 R R cm. V 8 π π 9 cone Vesf π cm. A M B O R F E R º C Alternativa A Questão Os pontos A (,4) e B (4,) são vértices de um cubo, em que AB é umas das arestas. A área lateral do octaedro cujos vértices são os pontos médios da face do cubo é igual a A) 8. B). C). D) 4. E) 8. Obtendo a aresta (b) do octaedro em função da aresta (a) do cubo. a/ a a a a b + b b Como a aresta do cubo é a distância entre os pontos A e B, temos: a a. b. A área lateral do octaedro é: b S 8 S 4. S b a/ Alternativa C

12 Questão Seja S o conjunto solução da inequação. C Determine o conjunto S. ( ) + 4 ( ) 9 log 6. i) Condição de eistência 6> e + 4> 6 < < ou > 6 > 4-4 < < - ou - < < ou > 6 ii) Resolvendo a desigualdade 9 log ( ) + 4 log log Que admite somente raiz real menor que 9. ( > P' 6>, para 9 ) Do eposto: 9 De i e ii: S ] 4, [ ],[ 6,9 ], 4] { }, 6 ] 9, [ + C S Sejam, y e w ( i) y ( 4 i) ( 6i) y( 6 4i) Identifique e esboce o conjunto w + i + y 4 i + 6i + y 6+ 4i ( w) + y y Re 4 6 y y ( ) ( y ) ( ) ( y ) { y w e w } Ω, ; Re Im 4. +, que é uma elipse juntamente com seus pontos internos. 4 Im w y 6+ 4y 4 Questão ( ) ( y y ) ( ) ( y ) ( ) ( y ), que é a inequação de uma hipérbole juntamente com a região não convea por ela delimitada. Do eposto, o esboço será:

13 y + Questão Seja f : \ { } definida por f A) Mostre que f é injetora B) Determine D { f ; \{ } } e f D { } : \. a) Sejam e elementos de \{ }. Se f ( ) f ( ), então: ( + )( + ) ( + )( + ) Portanto, f é injetora. b) Se, y D então eiste \{ }, tal que, + y + + y + y y y, y Portanto, eistirá sempre que, Como f f, temos: f + f + f + f + f f. f y ou seja: y ou seja D { } \.

14 Questão 4 Suponha que a equação algébrica n an a n + + tenha coeficientes reais a, a,..., a tais que as suas onze raízes sejam todas simples e da forma β+ iγ n, em que β, γn e os γ n, n,,...,, formam uma progressão aritmética de razão real γ. Considere as três afirmações abaio e responda se cada uma delas é, respectivamente, verdadeira ou falsa, justificando sua resposta: I. Se β, então a. II. Se a, então β. III. Se β, então a. Como a equação algébrica n an a n + + Tem grau, devemos ter obrigatoriamente uma raiz real, ou seja, eiste um k {,,...,} tal que γ k. Como γ n, n,,..., formam nesta ordem uma progressão aritmética de razão γ, temos que β 5γ, β 4γ, β γ, β γ, β γ, β, β +γ, β+ γ, β+ 4γ, β+ 5γ, são as raízes. Julgando as afirmativas: I. Como β e β é uma raiz, temos: n + an + a n a. afirmação verdadeira. II. Se a, então ( β 5γ ) + ( β 4γ ) + ( β γ ) + ( β γ ) + ( β γ ) +β+ ( β+γ ) + ( β+ γ ) + ( β+ γ ) + ( β+ 4γ ) + ( β+ 5γ ) β β afirmação verdadeira. III. Se β, então a soma dos produtos das raízes agrupadas de dez em dez será: 5! γ a. Como γ, segue que a. afirmação falsa. n, β + γ, 4

15 Questão 5 Um determinado concurso é realizado em duas etapas. Ao longo dos últimos anos, % dos candidatos do concurso têm conseguido na primeira etapa nota superior ou igual à nota mínima necessária para poder participar da segunda etapa. Se tomarmos 6 candidatos dentre os muitos inscritos, qual é a probabilidade de no mínimo 4 deles conseguirem nota para participar da segunda etapa? No mínimo 4 significa: i) Eatamente 4, ou seja, 5 4 6! !! 5 ii) ii) Eatamente 5, ou seja, 6 pessoas, ! ! Assim + +,69%

16 Questão 6 Sejam A, B M ( ). Mostre as propriedades abaio: a) Se AX é a matriz coluna nula, para todo ( ) X M então A é a matriz nula., b) Se A e B são não nulas e tais que AB é a matriz nula, então det A det B. a) Como AX, M ( ), para todo ( ) X M, temos: a a a a X a a a a a a a. a a a a a a a X a a a a a a. a a a a a X a a a a a. a a Portanto, matriz A deve ser a matriz nula. b) Como A B, M, ( A B) ( A) ( B) det ( A) ou det ( B ). Se det ( A ) e det, A B M ( ) temos det det det, B então B admite inversa e: A B B B A o que contradiz a hipótese. det det B, então A admite inversa e: Se ( A ) e A B M ( ), A A B A B o que contradiz a hipótese. det A det B Portanto, 6

17 Questão 7 Sabendo que tg + π, para algum 6, π, determine sen. π sen + π 6 tg + 6 π cos + 6 π π π sen + cos + sen π π sen + sen π sen +, pois π + π π π π π Do círculo trigonométrico +, : 6 6 π π + arc sen arc sen 6 6 π π sen sen arc sen cos sen cos arc sen sen sen 9 6 sen cos 6 sen 6 Questão 8 Dadas a circunferência C : + y e a reta r : y+ 5, considere a reta t que tangencia C, forma um ângulo de 45º com r e cuja distância à origem é 5. 5 Determine uma equação da reta t. Cálculo dos possíveis valores de m t : r : y+ 5 m mt mr + m m t r r tg 45º m + m m t ou A equação de t será + y+ c ou y+ d. Como t é tangente a C podemos escrever: + + c + 7+ c e + d c 7± e d ± e t + d + t 7

18 Temos agora quatro possíveis equações para t : t :+ y 7 t:+ y+ t: y t4: y+ 9 Calculemos a distância de t até a origem: d + 5 d d + 5 d Do eposto, uma equação de t é + y +. Questão 9 Considere as n retas. r : y m +, i,,..., n; n 5, i i em que os coeficientes m i, em ordem crescente de i, formam uma progressão aritmética de razão q >. Se m e a reta r 5 tangencia a circunferência de equação + y 5, determine o valor de q. m m q, m q, m q e m5 4 q. 4 A equação de r 5 é y 4q +. r :4 q y + 5 Como r 5 é tangente à circunferência ( 4q) + ( ) + y 5. 4q + q + 6q q + 4 q 6 q, pois q >. 4 8

19 Questão A razão entre a área lateral e a área da base octogonal de uma pirâmide regular é igual a em termos da medida a do apótema da base. 5. Eprima o volume desta pirâmide + + a a a ( ) + AB a 4 4a 4a a AB 8a, em que A B é a área da base da pirâmide. Seja b a medida do apótema da pirâmide: b AL 8 4b a, em que A L é a área lateral. A 4b a ab 8 L b a 5 A 8a a 8 B a a Seja H a medida da altura da pirâmide: b a + H 5a a + H H a V AB H, em que V é o volume pedido V 8 a ( ) a ( ) 6a V 9

20 Professores: Matemática Bruno Werneck João Neto Manim Marcelo Moraes Moraes Ney Marcondes Colaboradores Aline Alkmin Henrique José Diogo Digitação e Diagramação Leandro Bessa Márcia Santana Nathália Meyer Nayara Isabella Val Pinheiro Vinícius Ribeiro Desenhistas Leandro Bessa Vinícius Ribeiro Projeto Gráfico Vinicius Ribeiro Assistente Editorial Alicio Roberto Supervisão Editorial Alicio Roberto Bruno Werneck Copyright Olimpo8 A Resolução Comentada das provas do ITA poderá ser obtida diretamente no OLIMPO Pré-Vestibular, ou pelo telefone (6) 5-99 As escolhas que você fez nessa prova, assim como outras escolhas na vida, dependem de conhecimentos, competências e habilidades específicos. Esteja preparado.