Matemática 41 c Resolução 42 b Resolução 43 e OBJETIVO 2001

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1 Matemática c Numa barraca de feira, uma pessoa comprou maçãs, bananas, laranjas e peras. Pelo preço normal da barraca, o valor pago pelas maçãs, bananas, laranjas e peras corresponderia a 5%, 0%, 5% e 50% do preço total, respectivamente. Em virtude de uma promoção, essa pessoa ganhou um desconto de 0% no preço das maçãs e de 0% no preço das peras. O desconto assim obtido no valor total de sua compra foi de: a) 7,5% b) 0% c),5% d) 5% e) 7,5% Com os 0% de descontos na parte que representa 5% da sua compra, ela economiza 0%. 5% =,5%. Com os 0% de desconto na parte que representa 50% da sua compra, ela economizou 0%. 50% = 0%. Portanto, com os descontos, ela economizou,5% + 0% =,5%. b O limite de consumo mensal de energia elétrica de uma residência, sem multa, foi fixado em 0 kwh. Pelas regras do racionamento, se este limite dor ultrapassado, o consumidor deverá pagar 50% a mais sobre o excesso. Além disso, em agosto, a tarifa sofreu um reajuste de 6%. Suponha que o valor pago pelo consumo de energia elétrica no mês de outubro tenha sido 0% maior do que aquele que teria sido pago sem as regras do racionamento e sem o aumento de tarifa em agosto. Pode-se, então, concluir que o consumo de energia elétrica, no mês de outubro, foi de aproximadamente: a) 0 kwh b) kwh c) 67 kwh d) 85 kwh e) kwh Seja x a quantidade de kwh consumido em outubro e p o preço do kwh antes do aumento. ) O valor que teria sido pago sem as regras de racionamento e sem o aumento seria p. x. ) O valor pago com as regras de racionamento e com o aumento foi [(x 0).,50 + 0].,6P ) Como o valor pago em outubro com o aumento e com as regras de racionamento é 0% superior ao que teria sido pago sem as regras de racionamento e sem aumento temos [(x 0).,50 + 0].,6 p =,0 p. x [,50x ]. 6 = 0x 7x = 0x x =,70 kwh e Os pontos A = (0,0) e B = (,0) são vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD situado no primeiro FUVEST (ª Fase) Dezembro/00

2 quadrante. O lado AD é perpendicular à reta y = x e o ponto D pertence à circunferência de centro na origem e raio 5. Então as coordenadas de C são: a) (6,) b) (6,) c) (5,) d) (5,) e) (5,) A equação da reta AD, perpendicular à reta de equação x y = x, é y = O ponto D pertence à circunferência da equação x + y = 5 { x y = x = Assim: D(; ) { y = x + y = 5 Sendo ABCD um paralelogramo, temos: x A + x C = x B + x D y 6 + x C = + x C = 5 C = y D = { C(5; ) e Seja f(x) = x +. Se a e b são tais que f(a) = f(b), pode-se afirmar que: a) a + b = b) a + b = c) a b = c) a b = e) a b = f(x) = a + =. b + a + = b + { x + f(a) = f(b) a + = b + a b = 5 c Os pontos (0,0) e (,) estão no gráfico de uma função quadrática f. O mínimo de f é assumido no ponto de FUVEST (ª Fase) Dezembro/00

3 abscissa x =. Logo, o valor de f() é: a) b) c) d) e) De acordo com os dados temos: 5 0 f(x) = a(x 0)( ) x + {f() = = a( 0) + a = 5 Assim sendo: f(x) = (x 0) x + e 5 ( ) portanto f() =. ( 0). + = c A soma das raízes da equação sen x cos x = 0, que estão no intervalo [0,π], é: a) π b) π c) π d) 6π e) 7π sen x cos x = 0 cos x cos x = 0 cos x + cos x = 0 cos ± x = cos x = π π 5π cos x = ± x = ou x = ou x = ou x = 7π ( Logo, a soma das raízes é π π 5π 7π 6π = = π ) ( ) FUVEST (ª Fase) Dezembro/00

4 7 b Um senhor feudal construiu um fosso, circundado por muros, em volta de seu castelo, conforme a planta abaixo, com uma ponte para atravessá-lo. Em um certo dia, ele deu uma volta completa no muro externo, atravessou a ponte e deu uma volta completa no muro interno. Esse trajeto foi completado em 50 passos. No dia seguinte, ele deu duas voltas completas no muro externo, atravessou a ponte e deu uma volta completa no muro interno, completando esse novo trajeto em 80 passos. Pode-se concluir que a largura L do fosso, em passo, é: a) 6 b) 0 c) d) 8 e) 50 (a + l) + (b + l) + a + b + l= 5 0 { (a + l) + (b + l) + a + b + l = 8 0 a + b + 9l = 5 0 { 6a + 6b + 7l = 8 0 (a + b) + 9l = (a + b) + 7l = 80 { (a + b) + 7l = l = 80 l = 0 { (a + b) + l = d Dois triângulos congruentes, com lados coloridos, são indistinguíveis se podem ser sobrepostos de tal modo FUVEST (ª Fase) Dezembro/00

5 que as cores dos lados coincidentes sejam as mesmas. Dados dois triângulos equiláteros congruentes, cada um de seus lados é pintado com uma cor escolhida dentre duas possíveis, com igual probabilidade. A probabilidade de que esses triângulos sejam indistinguíveis é de: a) b) c) d) e) 6 6 Supondo que as cores disponíveis para pintar os dados dos triângulos sejam A e B e observando que os triângulos são indistingíveis pela definição dada, como também são indistinguíveis os triângulos tem-se: ) A tabela apresenta as possibilidades de pintura de cada triângulo e sua respectiva probabilidade Pintura lados de cor A lados de cor A e um de cor B lado de cor A e de cor B lados de cor B.. = 8 ) A probabilidade de que esses dois triângulos sejam indistinguíveis é: P = = = = 6 6 Probabilidade.. = 8... = 8... = 8 9 c FUVEST (ª Fase) Dezembro/00

6 Em um bloco retangular (isto é, paralelepípedo reto retângulo) de volume, as medidas das arestas con- 7 8 correntes em um mesmo vértice estão em progressão geométrica. Se a medida da aresta maior é, a medida da aresta menor é: a) b) c) d) e) a As medidas das três arestas são, a e aq, pois estão em P.G. q Assim, de acordo com o enunciado, tem-se: a 7. a. aq = a 7 = a = q 8 8 Como a medida da maior aresta é, tem-se:. q = q = Assim a medida da menor aresta é dada por a 9 = = q 8 50 a Um banco de altura regulável, cujo assento tem forma retangular, de comprimento 0cm, apóia-se sobre duas barras iguais, de comprimento 60cm (ver figura ). Cada barra tem três furos, e o ajuste da altura do banco é feito colocando-se o parafuso nos primeiros, ou nos segundos, ou nos terceiros furos das barras (visão lateral do banco, na figura ). FUVEST (ª Fase) Dezembro/00

7 A menor altura que pode ser obtida é: a) 6cm b) 8cm c) 0cm d) cm e) cm ) A altura mínima é obtida com a configuração esboçada na figura. ) Considerando-se o triângulo retângulo de catetos de medidas 0 e h e hipotenusa de medida 5, obtém-se h + 0 = 5 h = 5 h 5 ) Por semelhança de triângulos: = h 5 Para h = 5 h = Portanto, a altura máxima será h + h = 5 + = 6 5 b As páginas de um livro medem dm de base e + dm de altura. Se este livro for parcialmente aberto, de tal forma que o ângulo entre duas páginas seja 60, a medida do ângulo α, formado pelas diagonais das páginas será: a) 5 b) 0 c) 5 d) 60 e) 75 FUVEST (ª Fase) Dezembro/00

8 Sendo d a medida da diagonal de cada folha retangular, α o ângulo entre essas diagonais e l a distância entre os vértices E e C, tem-se: º) o triângulo DEC é equilátero assim: l = l = º) d = + ( + ) d = + º) l = d + d.d.d.cos α l = d ( cos α) l l cos α = cos α = d d Assim: cos α = ( + ) cos α = cos α = α = 0, pois 0 < α < 80 5 b Se α está no intervalo [ 0. ] e satisfaz sen α cos α =, então o valor da tangente de α é: π 5 a) b) c) d) e) 5 7 FUVEST (ª Fase) Dezembro/00

9 sen α cos α = (sen α + cos α). (sen α cos α) = sen α cos α = Assim: Portanto: tg sen α 5 5 α = = e tg α =, cos α pois α [ π 0; ] sen α cos α = {sen α + cos α = { 5 sen α = 8 cos α = 8 5 d A figura abaixo representa o gráfico de uma função da x + a forma f(x) = para x. bx + c Pode-se concluir que o valor de b é: a) b) c) 0 d) e) FUVEST (ª Fase) Dezembro/00

10 x + a A função f: [ ; ], definida por f(x) = bx + c contém os pontos ( ; ), (0; ) e (; 0). Assim: + a (; 0) f 0 = a = b. + c 0 (0; ) f = = c = b. 0 + c c ( ; ) f = b( ) + b + = b = 5 a Dado o polinômio p(x) = x (x ) (x ), o gráfico da função y = p(x ) é melhor representado por: FUVEST (ª Fase) Dezembro/00

11 p(x) = x (x ) (x ) p(x) = x (x ) (x + ) (x ) p(x ) = (x ) (x ) (x + ) (x ) p(x ) = x. (x ). (x ). (x ) Assim sendo, 0. e são raízes simples e é raiz dupla de p (x ). O gráfico de p (x ) é do tipo pois para todo x < 0 tem-se p(x ) < 0 e para todo x > tem-se p (x ) > a Na figura ao lado, o quadrilátero ABCD está inscrito numa semi-circunferência de centro A e raio AB = AC = = AD = R. A diagonal AC forma com os lados BC e AD ângulos α e β, respectivamente. Logo, a área do quadrilátero ABCD é: R a) (sen α + sen β) b) (sen α + sen β) R c) (cos α + sen β) d) (sen α + cos β) R e) (sen α + cos β) R R FUVEST (ª Fase) Dezembro/00

12 A área S do quadrilátero ABCD é dada por: S = S ABC + S ACD R. R. sen (80 α) R. R. sen β S = + R S = (sen α + sen β) 56 d Se (x, y) é solução do sistema x + = y x + = y x, então é igual a: y a) b) c) d) e) { x + = y x + = y { x + = y x +. x. + = y y x x x +. = = = y y y 57 a Na figura abaixo, os triângulos ABC e DCE são eqüiláteros de lado l, com B, C e E colineares. Seja F a intersecção de BD com AC. Então, a área do triângulo BCF é: FUVEST (ª Fase) Dezembro/00

13 a) l b) l c) l d) l e) l 6 ABCD é um losango cujos lados medem l e F é ponto l médio das diagonais AC e BD, portanto CF =. BC. CF. sen 60 A área do triângulo BCF é = l l.. l = = 8 58 e Se (x, y) é solução do sistema x. y = y xy = 0 pode-se afirmar que: a) x = 0 ou x = log b) x = ou x = + log c) x = ou x = + log log d) x = ou x = + log e) x = + log ou x = + log FUVEST (ª Fase) Dezembro/00

14 x. y = y xy = 0 x + y = y. ( y x ) = 0 x + y = y = 0 y = x ou x = y = 0 ou y = x x = y = 0 y = x ou x = log ( ) x = log ( ) y = 0 x = + log ou y = x x = + log log Logo: x = + log ou x = + 59 d A figura abaixo representa uma pirâmide de base triangular ABC e vértice V. Sabe-se que ABC e ABV são triângulos equiláteros de lado l e que M é o ponto médio do segmento AB. Se a medida do ângulo V ^MC é 60, então o volume da pirâmide é: a) l b) l c) l 8 d) l e) l 6 8 FUVEST (ª Fase) Dezembro/00

15 Sejam M o ponto médio da aresta AB, h a distância entre o vértice V e a face ABC, S a área do triângulo eqüilátero ABC e v o volume da pirâmide. º) VM é a altura do triângulo eqüilátero ABV Assim: VM = º) sen 60 = º) S = º) v =. S. h l Assim: v =. l. v = 60 e l h VM l h l Assim: = h = l l 6 O módulo x de um número real x é definido por x = x, se x 0, e x = x, se x < 0. Das alternativas abaixo, a que melhor representa o gráfico da função f(x) = x x x + é: FUVEST (ª Fase) Dezembro/00

16 ) f(x) = x. x x + = { x x + se x 0 x x + se x < 0 ) O gráfico de g(x) = x x + é uma parábola de concavidade para cima com mínimo no vértice (, ) ) O gráfico de h(x) = x x + é uma parábola de concavidade para baixo e com máximo no vértice (, ) ) O gráfico de f é FUVEST (ª Fase) Dezembro/00