GABARITO ITA MATEMÁTICA

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1 GABARITO ITA MATEMÁTICA

2 Sistema ELITE de Ensino ITA - 014/01 GABARITO 01. D 11. B 0. C 1. E 0. D 1. C 04. E 14. D 0. D 1. E 06. E 16. A 07. B 17. E 08. B 18. A 09. C 19. A 10. A 0. C

3 Sistema ELITE de Ensino ITA - 014/01 NOTAÇÕES : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos I : unidade imaginária: i 1 z : módulo do número z GABARITO COMENTADO Re(z) : parte real do número z Im(z) : parte imaginária do número z det A : determinante da matriz A tr A : traço da matriz quadrada A, que é definido como a soma dos elementos da diagonal principal de A. 1 Potência de matriz : A A, A k A A,..., A k1 A A, sendo A matriz quadrada e k inteiro positivo. d(p, r) : distância do ponto P à reta r AB : segmento de extremidades nos pontos A e B ab, = x : a x b ab, = x : a x b ab, = x : a x b ab, = x : a x b x X e x Y X\Y = n k 0 a = a a a a, sendo n inteiro não negativo k n Observação: os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

4 Sistema ELITE de Ensino ITA - 014/01 Questão 01 Letra: D Considere as seguintes afirmações sobre números reais: I. Se a expansão decimal de x é infinita e periódica, então x é um número racional. II. n0 1 ( 1) n 1 III. ln e + (log )(log 49)é um número racional. É (são) verdadeira(s): (A) nenhuma. (B) apenas II. (C) apenas I e II. (D) apenas I e III. (E) I, II e III. I. Verdadeira. Para que o número seja racional, é preciso que sua expansão decimal seja finita ou infinita e periódica. II. Falsa n n no no III. Verdadeira. e ln e log log 9 ln log log 4 lne log log log 1 1 log Q Questão 0 Letra: C Sejam A, B e C os subconjuntos de definidos por A { z : z i 19}, B { z : z + i 7 / } e C { z : z 6z + 10 = 0}. Então, ( A \ B) C é o conjunto (A) { 1 i, 1 i }. (B) { i, i }. (C) { i }. (D) { i }. (E) { 1 i }. 4

5 Sistema ELITE de Ensino ITA - 014/01 A z : z i 19 7 B z : z i C z : z 6z 10 0 Temos que: z 6z i z1 i z1, z1, i z i Verificando z 1, temos: Substituindo em A: i i 1 i 19 logo, z 1 A Substituindo em B: 7 i i i 1 logo, z 1 B logo, z A B C 1 Verificando z, temos: Substituindo em A: i i 1 4i z A Substituindo em B: 7 i i logo, z B logo, z A B C Apenas Z 1 satisfaz. Conclusão: Resposta: z 1 i

6 Sistema ELITE de Ensino ITA - 014/01 Questão 0 Letra: D Se (A) (B) (C) (D) (E) 10 1 i z 1 i π. π. π. 4 π. π. 10, então o valor de arcsen(re(z)) + arctg( Im(z)) é igual a cis 10 i 1 i z z z z cis 1 i 1 i cis 0 z cis z cis.10 z cis z cis 6 z 1 Re z 1 cis 6 z cis z i Imz 1 arcsen Re z arctg Im z arcsen arctg 1 4 arcsen arctg 6 10 Questão 04 Letra: E Seja C uma circunferência tangente simultaneamente às retas r : x + 4y 4 =0 e s : x + 4y 19 = 0. A área do círculo determinado por C é igual a (A) (B) (C) (D) (E) π. 7 4 π. π. 8 π. 9 π. 4 6

7 Sistema ELITE de Ensino ITA - 014/01 Dadas as retas: r: x + 4y 4 = 0 s: x + 4y 19 = 0 concluímos que as retas r e s são paralelas pois Consideremos a circunferência de centro em C (a, b) R = d cr = d cs R a 4b 4 a 4b a + 4b 4 = a + 4b 19 6a + 8b = e R a 4b 4 como a + 4b = : temos 4 1 R 10 9 S R u.. a 4 7

8 Sistema ELITE de Ensino ITA - 014/01 Questão 0 Letra: D Seja a1, a, a,... a sequência definida da seguinte forma: a 1 1, a 1e an an 1 a para n n. Considere as afirmações a seguir: I. Existem três termos consecutivos, ap, ap 1, a, que, nesta ordem, formam uma p progressão geométrica. II. a é um número primo. 7 III. Se n é múltiplo de, então a é par. n É (são) verdadeira(s): (A) apenas II. (B) apenas I e II. (C) apenas I e III. (D) apenas II e III. (E) I, II e III. I. Falsa Supondo que ap, ap 1 e ap a mq ; a mq; a m p p1 p mq mq m q q 1 formam uma PG temos: 1 q Contradição pois a razão deve ser racional II. Verdadeira a 1, a 1 1 a a a a a a 1 4 a a a 4 a a a a a a III. Verdadeira Provaremos por Indução que toda sequência a k, a k 1, a k é da forma ímpar, ímpar, par. 1 passo: k 1 a, a, a 1, 1, ok 1 º passo (Hipótese de Indução): k n a, a, a ímpar, ímpar, par n n1 n passo: kn 1 8

9 Sistema ELITE de Ensino ITA - 014/01 a, a, a ímpar, ímpar, par n n1 n a n1 a n1 a n a n1 ímpar par a n1 ímpar a n a n1 a n a n ímpar par a n ímpar a n1, a n, a n ímpar, ímpar, par a n a n a n1 a n ímpar ímpar a n par Portanto, para qualquer n múltiplo de, a é par. n ok Questão 06 Letra: E a b Considere a equação, com a e b números inteiros positivos. Das 1 x x 1 / afirmações: I. Se a = 1 e b =, então x = 0 é uma solução de equação. 1 II. Se x é solução da equação, então x, x 1 e x 1. III. x não pode ser solução da equação. É (são) verdadeira(s): (A) apenas II. (B) apenas I e II. (C) apenas I e III. (D) apenas II e III. (E) I, II e III. a b 1 x x 1 I. Verdadeira 1 a 1 e b 1 x x 1 1 x ok II. Verdadeira As condições de existência exigem que os denominadores sejam não nulos. Logo, 1 x 0 x 1 x 1 x 1 0 x 1 III. Verdadeira a b a b 9a x 6b a 0b 9a 0b 9a 6b a b Z b absurdo *, 9 6! 9

10 Sistema ELITE de Ensino ITA - 014/01 Questão 07 Letra: B Considere o polinômio p dado por p x x ax bx 16, com ab, p admite raiz dupla e que é uma raiz de p, então o valor de b a é igual a (A) 6. (B) 1. (C) 6. (D) 1. (E) 4. px x ax bx 16 Sabendo que é raiz e que P(x) admite uma raiz dupla, temos casos a analisar: 1º caso º caso Raízes, r e r raízes, e s com r com s. Sabendo-se que Pelas relações de Girard temos como o produto das raízes 1º caso. r. r = 8 r 4 r (pois r ) 16 8, daí teremos º caso.. s = 8 s =, onde contraria as condições do problema, pois seria uma raiz tripla. Assim as raízes de P(x) são -, - e. é raiz p 0. a. b a b 0 a b 0 é raiz p 0 a b a b a b 16 a b 0 a 4 b a 1 a b 16 b 8 Questão 08 Seja p o polinômio dado por 1 j0 Letra: B p( x) a x j, com a j j, j = 0,1,...1, e a 1 0. Sabendo-se que i é uma raiz de p e que p() = 1, então o resto da divisão de p pelo polinômio q, dado por q(x) = x x + x, é igual a (A) (B) (C) 1 1 x. 1 1 x. x. 10

11 Sistema ELITE de Ensino ITA - 014/01 (D) (E) x. 1 x. q x x x x x 1 x Como i é raiz de p, temos que i também é, logo p i p i 0 e p 1. Dividindo px por qx, seja o quociente Qx e o resto rx, então onde rx é no máximo de grau. Seja r x ax bx c. Como q qi qi 0 p qq r r 1 4a b c 1 p i qiq i r i r i 0 a bi c 0 p i qiq i r i r i 0 a bi c 0 a b 0 r x x c 1 Questão 09 Considere todos os triângulos retângulos com os lados medindo a, p x q x.q x r x, Letra: C triângulos, o de maior hipotenusa tem seu menor ângulo, em radianos, igual a (A) arctg. 4 (B) arctg. 1 (C) arctg. (D) arctg. 4 (E) arctg. Como a a, temos situações para a a e a. Dentre esses I. a a a 11

12 Sistema ELITE de Ensino ITA - 014/01 II. a a a Logo a a a a. Temos então que o maior valor de hipotenusa é, portanto a tangente do seu menor ângulo a 1 é tg, logo arctg. a Questão 10 Letra: A Os valores de x [0,] que satisfazem a equação sen x cos x = 1 são (A) (B) (C) (D) (E) arccos e. arcsen e. 4 arcsen e. 4 arccos e. 4 arccos e. 1

13 Sistema ELITE de Ensino ITA - 014/01 cos x 1 x π senx 0 senx cos x 1 senx 1 cos x senx 1 cos x 4sen x 1 cosx cos x 4 1 cos x 1 cosx cos x cos x cos x 1 cos x cos x cos x cos x 0 cos x 1º caso : cos x 1 senx cos x ok x π º caso : cos x 4 cos x senx ok x arccos senx cos x Lembrando que todas as conclusões acima já levam em consideração o fato de que x 0, π. Questão 11 Letra B Sejam e números reais tais que,, + ]0,[ e satisfazem as equações cos 4 cos 4 Então, o menor valor de cos (+) é igual a (A) 1. 1 e cos 4 cos (B). (C). 1 (D). (E) 0. 1

14 Sistema ELITE de Ensino ITA - 014/ cos cos cos cos 0 cos 1 ou cos 4 1 cos 1 ou cos k ou k k ou k 4 ou cos cos cos cos 0 cos 1 ou cos cos 1 ou cos k ou k k ou k 6 7 cos cos 6 cos 4 11 cos cos 6 Lembrando que todas as conclusões acima já levam em consideração o fato de que,, 0,. Questão 1 Letra: E Seja A = (a ij) a matriz tal que a ij = i 1 (j 1), 1 i, j. Considere as afirmações a seguir: I. Os elementos de cada linha i formam uma progressão aritmética de razão i. II. Os elementos de cada coluna j formam uma progressão geométrica de razão. III. tr A é um número primo. É (são) verdadeira(s) (A) apenas I. (B) apenas I e II. (C) apenas II e III. (D) apenas I e III. (E) I, II e III A I. II. III. TrA = = 7 14

15 Sistema ELITE de Ensino ITA - 014/01 Questão 1 Letra: C Considere a matriz M = (m ij) tal que m ij = j i + 1, i, j = 1,. Sabendo-se que n k 1 0 det M n, k1 1 1 então o valor de n é igual a (A) 4. (B). (C) 6. (D) 7. (E) 8. m 11 = = 1 m 1 = = m 1 = = 0 m = + 1 = 1 1 M M M k 1 k Conjectura: M 0 1 Prova: indução 1 1 k 1 M verdade 0 1 j 1 j Suponha M e observe: j 1 j 1 j M, logo a conjectura é verdadeira k n n n n 1 M n k 1 0 n n n( n 1) 0 n( n 1) M n 1 1 n n n n 0 Det = n n (n+1) n (n+1) = note que F(x) = x (x+1) É estritamente crescente para x > 0 e F(6) = 6 (6+1) = Logo n = 6 1

16 Sistema ELITE de Ensino ITA - 014/01 Questão 14 Letra: D Considere os pontos A = (0, 1), B = (0,) e a reta r: x y + 6 = 0. Das afirmações a seguir: I. d(a, r) = d(b, r). II. B é simétrico de A em relação à reta r. III. AB é base de um triângulo equilátero ABC, de vértice C = (, ) ou C = (, ). É (são) verdadeira(s) apenas (A) I. (B) II. (C) I e II. (D) I e III. (E) II e III. x y 6 0 AO BO Como os triângulos são semelhantes com hipotenusas iguais, logo são congruentes. I) d A, r, d B r (V) II) A e B seriam simétricos se a reta r fosse horizontal (F) III) 6 h C, (V) h 16

17 Sistema ELITE de Ensino ITA - 014/01 Questão 1 Dados o ponto A = 4, 6 Letra: E e a reta r: x + 4y 1 = 0, considere o triângulo de vértices ABC, cuja base BC está contida em r e a medida dos lados AB e AC é igual a. 6 a área e o perímetro desse triângulo são, respectivamente, iguais a Então, (A) (B) (C) (D) (E) 40 e. 40 e. 1 e. e. 40 e. 4 senθ cos θ 4 10 m 6 m h 10 Área = m h 40 Perímetro =

18 Sistema ELITE de Ensino ITA - 014/01 Questão 16 Letra: A Considere as afirmações a seguir: I. O lugar geométrico do ponto médio de um segmento AB, com comprimento l fixado, cujos extremos se deslocam livremente sobre os eixos coordenados é uma circunferência. II. O lugar geométrico dos pontos (x, y) tais que 6x + x y xy 4x xy = 0 é um conjunto finito no plano cartesiano. III. Os pontos (,), (4, 1) e (,1) pertencem a uma circunferência. Destas, é (são) verdadeira(s) (A) apenas I. (B) apenas II. (C) apenas III. (D) I e II. (E) I e III. I) l/ M = l/ (FIXO) 0 l/ l/ Circunferência de raio (V) OBS.: Supusemos que os extremos estão em eixos coordenados distintos ou no máximo um extremo na interseção dos eixos, embora o enunciado não deixe isso claro. A rigor a resposta seria uma circunferência de centro (0,0) e raio l/ união com os eixos coordenados. II) x 6x xy y 4x y 0 0 x x y x y x y 0 x x y x y retas (F) III) Para que pontos estejam sobre uma circunferência, é necessário e suficiente que não sejam colineares São colineares (F) 18

19 Sistema ELITE de Ensino ITA - 014/01 Questão 17 Letra: E Seja ABCD um trapézio isósceles com base maior AB medindo 1, o lado AD medindo 9 e o ângulo ADB ˆ reto. A distância entre o lado AB e o ponto E em que as diagonais se cortam é (A) 1. 8 (B) 7. 8 (C). 8 (D) 7. 8 (E) 4. 8 DB 1 9 DB 1 ADB EMB x 9 4 x Questão 18 Letra: A Num triângulo PQR, considere os pontos M e N pertencentes aos lados PQ e PR, respectivamente, tais que o segmento MN seja tangente à circunferência inscrita ao triângulo PQR. Sabendo-se que o perímetro do triângulo PQR é e que a medida de QR é 10, então o perímetro do triângulo PMN é igual a (A). (B) 6. (C) 8. (D) 10. (E) 1. 19

20 Sistema ELITE de Ensino ITA - 014/01 p PQR QR 10 a m x x 10 x 10 x n b a b m n Perímetro PMN Questão 19 Letra: A Considere uma circunferência C, no primeiro quadrante, tangente ao eixo Ox e à reta r : x y 0. Sabendo-se que a potência do ponto O (0,0) em relação a essa circunferência é igual a 4, o centro e o raio de C são, respectivamente, iguais a (A) (, ) e. (B) 1 1, e. (C) (, 1) e 1. (D) (, ) e. (E) (,4 4) e 4 4. CENTRO : Pot OA 4 OA R tg,º R. 1 R. 0

21 Sistema ELITE de Ensino ITA - 014/01 Questão 0 Letra: C Uma taça em forma de cone circular reto contém um certo volume de um líquido cuja superfície dista h do vértice do cone. Adicionando-se um volume idêntico de líquido na taça, a superfície do líquido, em relação à original, subirá de (A) h. (B) 1. (C) (D) h. (E) h. ( 1) h. v v H H h h. H h h h h. 1 Questão 1 1 Considere as funções f 1, f, f :, sendo f 1 ( x) x, f ( x) x 1 e f( x ) igual ao maior valor entre f 1 ( x) e f ( x ), para cada x. Determine: (A) Todos os x tais que f 1 ( x) f ( x). (B) O menor valor assumido pela função f. (C) Todas as soluções da equação f( x). (a) x, x 0 f1 x x, x 0 x, x 1 f x x, x 1 1

22 Sistema ELITE de Ensino ITA - 014/01 x x 9 (i) x 1 f1 x f x x x x (ii) 1 0 f1 x f x x x não serve 4 (iii) 0 x x (b) f x max f x ; f x 1 x x f1 x f x x 9 9 x f x f x x f x f x 1 f f x f x Logo o menor valor de f x é, obtido para x 0, ou seja f o é o mínimo de f x. (c) Pelo gráfico, 0 f x quando: 4

23 Sistema ELITE de Ensino ITA - 014/01 x f1 x x 4 x 4 ou x 4 (não serve) 10 f x x 1 x 1 x ou x 4 (não serve) ou x 7 Questão Considere o polinômio p dado por p( z) 18z z 7 z, em que é um número real. (A) Determine todos os valores de sabendo-se que p tem uma raiz de módulo igual a 1 e parte imaginária não nula. (B) Para cada um dos valores de obtidos em a), determine todas as raízes do polinômio p. (a) Seja z 1 a bi uma raiz z a bi é raiz; S P (a bi)(a bi)z (a b )z Logo z é raiz P (n serve) ou a b 1 b 0 z P(z) 18z 7z z 18 6 n serve, pois não possui raiz complexa com parte imaginável não nula. 1 P(z) 18.z 1z 7 z 1 0 z 1 é raiz z 0z 18 0 z z z z 1 11 i i 6 6

24 Sistema ELITE de Ensino ITA - 014/01 Questão Sabe-se que 1, B, C, D e E são cinco números reais que satisfazem às propriedades: (i) B, C, D, E são dois a dois distintos; (ii) os números 1, B, C, e os números 1, C, E, estão, nesta ordem, em progressão aritmética; (iii) os números B, C, D, E, estão, nesta ordem, em progressão geométrica. Determine B, C, D, E. B C 1 C B 1 C E 1 E ( B 1) 1 E 4B C q B B 1 4 B E B B q B 8B 1B + 6B 1 = 4B B 4B 9B + 6B 1 = Logo B = 1 C = 1; E = 1 ( não serve) ou 1 1 B C ; E 4 q = D = 1 Resposta: 1 1 B, C, D 1, E. 4 Questão 4 Seja M dado por M z az 1 : z e z 1, com a. Determine o maior elemento de M em função de a. Seja z = cis z + az 1 = cis + a cis 1 = sen cis + a cis i z + az + 1 = (a sen )cis = a i sen = sen + ai = i a 4sen Valor máximo = a 4 4

25 Sistema ELITE de Ensino ITA - 014/01 Questão Seja S o conjunto de todos os polinômios de grau 4 que têm três dos seus coeficientes iguais a e os outros dois iguais a 1. (A) Determine o número de elementos de S. (B) Determine o subconjunto de S formado pelos polinômios que têm 1 como uma de suas raízes. (A) Coeficiente:,,, 1, 1 n o,! de polinômios = P 10!! (B) P z a z a, z a z a z a P 1 a a a a a a a a a a As únicas soluções são: = + Logo, Para a a temos 1 a z a a P z z z z z 4 0, 1, 4 1 ( ) 1 0 a a a P z z z z z 4 0 1,, a a a P z z z z z 4 0 1, 1, 4 0 Total de casos.

26 Sistema ELITE de Ensino ITA - 014/01 Questão 6 Três pessoas, aqui designadas por A, B e C, realizam o seguinte experimento: A recebe um cartão em branco e nele assinala o sinal de + ou, passando em seguida a B, que mantém ou troca o sinal marcado por A e repassa o cartão a C. Este, por sua vez, também opta por manter ou trocar o sinal do cartão. Sendo 1/ a probabilidade de A escrever o sinal + e de / as respectivas probabilidades de B e C rocarem o sinal recebido, determine a probabilidade de A haver escrito o sinal + sabendo-se ter sido este o sinal ao término do experimento. São escolhas sucessivas: A, B e C, com o seguinte diagrama em árvore. O resultado final positivo corresponde aos ramos assinalados de probabilidade total 1/7 (redução do espaço amostral). Apenas os dois ramos superiores, de probabilidade total /7, correspondem ao valor (+) na primeira escolha (A). Logo, a probabilidade solicitada vale; / 7 p 1 / 7 1 casos de int eresse total de casos Questão 7 Seja n um inteiro positivo tal que sen. n 4 (A) Determine n. (B) Determine sen. 4 a) 6 sen sen n 4 1 sen sen n 6 n 1 n 1 6

27 Sistema ELITE de Ensino ITA - 014/01 b) Temos que: 1 cos 1 cos x cos x 1 sen x sen x sen cos 1 1 sen sen sen Questão 8 Sejam e números reais nulos. Determine os valores de b, c, d, bem como a relação entre e para que ambos os sistemas lineares S e T a seguir sejam compatíveis indeterminados. x by cx y S T cx y 4x dy Para que o sistema seja indeterminado as equações devem possuir uma proporcionalidade entre os coeficientes, uma vez que b e c obviamente não podem ser nulos visto que não são coeficientes da mesma variável e e não são nulos pelo enunciado. x by 1 c bc S: cx y b b cd 1 cx y d 4 T: c 4x dy c 4 c 4 c c 4 4 b.c c 8 c b 1 d d b 7

28 Sistema ELITE de Ensino ITA - 014/01 Questão 9 Sabe-se que a equação x xy y x 8y 6 0 representa a reunião de duas retas concorrentes, r e s, formando um ângulo agudo. Determine a tangente de. x x. y y 8y 6 0 y 4.. y 8y 6 y 0y 9 4y 96y 7 x 49y 16y 81 y y 7y y 7y 9 y x 1r 6 y 7y 9 x y s 6 r : y x m 1 1 s : y x 1 ms r mr ms 1 tg 1 mm r s 1 1. tg

29 Sistema ELITE de Ensino ITA - 014/01 Questão 0 Na construção de um tetaedro, dobra-se uma folha retangular de papel, com lados de cm e 4cm, ao longo de uma de suas diagonais, de modo que essas duas partes da folha formem um ângulo reto e constituam duas faces d tetaedro. Numa segunda etapa, de maneira adequada, completa-se com outro papel as faces do tetaedro. Obtenha as medidas das arestas do tetaedro. Queremos encontrar x = AD. Sejam = BCA, = BCD e h = AE, onde E é a projeção ortogonal de A em BC. Do triângulo retângulo ABC, temos 4 = h h = 1. Temos CE = cos = 9. Aplicando Lei dos Cossenos no triângulo EDC, temos DE = CE + CD CE CD cos DE = 16 4 Aplicando Pitágoras em ADE, temos x = DE + h = x Logo as medidas das arestas são, 4, e 7. 9