QUESTÃO 01. Se x, y e z são números reais, é verdade que: 01) x = 2, se somente se, x 2 = 4. 02) x < y é condição suficiente para 2x < 3y.

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1 SIMULADO DE MATEMÁTICA _ 008 a SÉRIE E M _ COLÉGIO ANCHIETA-BA ELABORAÇÃO DA PROVA: PROF OCTAMAR MARQUES PROFA MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA QUESTÃO 0 Se x, y e z são números reais, é verdade que: 0) x, se somente se, x 4 0) x < y é condição suficiente para x < y 04) xy > 0, x < y, somente se > x y z 08) xy < z y < x 6) (x ) (x ) < 0, se < x < x + y xy ) x, y N*, x + y 0) FALSO x x 4 é uma proposição verdadeira, mas, a proposição x 4 x é falsa, pois nesse caso x pode ser igual a 0) FALSO Contra-exemplo: Seja x e y onde < Porém ) VERDADEIRO > 0, < 6 > Exemplos: > < > 0, ) Falso Contra-exemplo: sendo x, y e z 4 6 < (V), porém, < 6 < (F) ) VERDADEIRO Os números e são, respectivamente, as raízes dos binômios x e x Estudando a variação do sinal do produto (x ) (x ): _ªAval-Matem-ºEM-U_5/08/07-lau

2 Concluímos que ele assume valores negativos no intervalo < x < ) VERDADEIRO Resolvendo a inequação : x + y xy ( x + y ) 4xy x + y x + y x + y x xy + y ( ) ( ) ( x + y ) 0 ( x y ) ( x + y ) Como x, y N*, (x y) 0 (é sempre verdadeiro) e (x+y) > 0 também é sempre verdadeiro QUESTÃO 0 0 Considere o polinômio P(x) x + x 0x + 6 É verdade que: 0) Se Q(x) é um polinômio de grau, então P(x) + Q(x) é de grau 0) é raiz dupla de P(x) 04) O produto das raízes do polinômio P(x) + é igual a 7 08) é raiz do polinômio P(x ) 6) O resto da divisão de P(x + ) por x é igual a zero ) As raízes do polinômio x x 4x + 8 são iguais às raízes de P(x) aumentadas de uma unidade 0) FALSO Contra-exemplo: Se Q(x) x x 0x +, então P(x) + Q(x) 0x + 7 que é um polinômio do o grau 0) VERDADEIRO Para determinar se é raiz dupla do polinômio P(x) x + x 0x + 6 aplica-se o algoritmo de BRIOT- RUFFINI O que leva à conclusão que P(x) x + x 0x + 6 (x ) (x + ) e que suas raízes são, e Logo é uma raiz dupla de P(x) _ªAval-Matem-ºEM-U_5/08/07-lau

3 04) VERDADEIRO P(x) + x + x 0x + 7 Aplicando-se as relações de Girard, podemos escrever 7 que no polinômio P(x) +, o produto xx x 08) VERDADEIRO P(x ) (x ) + (x ) 0(x ) + 6 P() é raiz do polinômio P(x ) 6) Falso O resto da divisão de P(x + ) (x + ) + (x + ) 0(x + ) + 6 por x é dado por P() ( + ) + ( + ) 0( + ) ) VERDADEIRO Fatoremos o polinômio Q(x) x x 4x + 8: Q(x) (x )x 4(x ) (x )(x 4) (x ) (x ) (x + ) (x ) (x + ), logo as raízes de Q(x) são:, e, que são, respectivamente, os sucessivos dos números, e, raízes de P(x) QUESTÃO 0 A decoração do piso de um compartimento é composta de ladrilhos em tom azul e o restante com ladrilhos brancos A parte azul é composta de um quadrado de lado m e quatro triângulos eqüiláteros Os ladrilhos em tom azul custam R$ 60,00/m e os brancos custam R$ 40,00/m Sendo,7 e cos50 o afirmar que:, pode-se 0) A área do compartimento é superior a 9m 0) A área de ladrilhos azuis é superior a 40% da área total do compartimento 04) O custo de todos os ladrilhos é superior a R$ 400,00 08) O custo médio dos ladrilhos é superior a R$ 45,00/m 6) A distância entre os pontos A e E é igual a ) A distância entre os pontos F e M é igual a _ªAval-Matem-ºEM-U_5/08/07-lau

4 RESOLUÇÃO a) 0) VERDADEIRO O compartimento tem a forma de um quadrado MNPQ, no qual MQ BD DL + EF + +,7 + 5, 4 A área do compartimento é 5,4 9,6 m > 9m 0) FALSO A área de ladrilhos azuis é a soma das áreas dos quatro triângulos eqüiláteros com a do 4 quadrado EFGH: , , ,8m 4 0,8 Encontrando a razão entre essa área e a do compartimento: 0,707 7% < 40% 9,6 04) FALSO A área dos ladrilhos brancos é a diferença entre a área do compartimento e a dos ladrilhos azuis, ou seja 9,6 m 0,8m 8,6m O custo de todos os ladrilhos é: 60 0, ,6 8,40 reais que é inferior a 400 reais 08) VERDADEIRO O custo médio dos ladrilhos é: 8,40 47, reais /m 9,6 > R$45,00/m _ªAval-Matem-ºEM-U_5/08/07-lau 4

5 6) VERDADEIRO No triângulo AHE, o lado AE é oposto ao ângulo de 50 o, logo pela lei dos cossenos: AE o cos50 AE 8 8 AE 4( + ) AE 4( + ) + ( A + B) A + B A + B + AB + A + B 8 A 6 e B AB ) VERDADEIRO Na figura verifica-se que MP PH + HF + FM MP FM + HF MP é a medida da diagonal do quadrado MNPQ e HF é a medida da diagonal do quadrado EFGH MP ( + ) HF MP FM + HF + FM + FM + QUESTÃO 04 Considerando o cubo ao lado, de aresta igual a 6cm, é verdade que: 0) O cosseno do ângulo agudo formado por duas diagonais é igual a 0) A tangente do ângulo que as diagonais formam com o plano da base ABCD é igual a 04) A área da esfera circunscrita ao cubo é igual a 96πcm FM 08) O volume do cone circular reto inscrito nesse cubo é igual a 7cm 6) O volume da pirâmide de base ABCD e vértice no plano EFGH está indeterminado ) A distância entre os pontos médios das arestas AE e FG é 6 cm _ªAval-Matem-ºEM-U_5/08/07-lau 5

6 0) VERDADEIRO No triângulo retângulo isósceles temos AC No triângulo retângulo ACG temos: ( 6 ) AG 6 + O triângulo AOB é isósceles onde AG 6 AO BO Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo AOB: 6 ( ) + ( ) 54cosα 54 6 cosα 0) VERDADEIRO tgα HD 6 DB 6 cosα 04) FALSO A interseção entre o cubo e a esfera a ele circunscrita são os oito vértices do cubo A diagonal AG é um dos infinitos diâmetros da esfera, logo o raio desta mede AG 6 O área da esfera é então: 4π 08 cm S ( ) π _ªAval-Matem-ºEM-U_5/08/07-lau 6

7 08) FALSO Como vemos na figura ao lado, a base do cone está inscrita na base do cubo e o seu vértice é o ponto central da outra base Logo o raio da base do com mede cm e a sua altura π ( ) 6 6cm Assim o seu volume é: V 8π 6) FALSO Se a pirâmide tem como base o quadrado ABCD e como vértice qualquer um dos infinitos pontos da face oposta, ela terá sempre altura 6cm, o seu volume está determinado e será: 6 6 7cm ) VERDADEIRO Os pontos M e N são, respectivamente, os pontos médios das arestas AE e FG Traçando NO // EF, pelo Teorema de Tales, O é o ponto médio de EH No triângulo retângulo MEO temos OM cm Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo MON: MN ( ) cm _ªAval-Matem-ºEM-U_5/08/07-lau 7

8 QUESTÃO 05 Sejam m, n e p números inteiros positivos É verdade que: 0) Se m é proporcional a p e n, também, é proporcional a p, então m é proporcional a n 0) Se m e n são inversamente proporcionais a p, então m é inversamente proporcional a n 04) Se m é divisor do produto np, então m é divisor de n 08) Existem, exatamente, 7 possíveis valores de m para os quais a expressão m + 4 n é um número inteiro m + m Note que + m + m + 6) Se o número de diagonais de um polígono convexo de m lados está compreendido entre 5 e 5, então m é um número primo 0) VERDADEIRO m p m n p n proporcional a n Sendo e constantes também é constante, logo m é 0) FALSO m p m n n p proporcional a n, com e constantes também é constante m é 04) FALSO Contra-exemplo: np Considere-se n 8, p 9 e m 6 e determine-se o valor numérico de para esses m np 8 9 valores: 6 divide 8 9 mas não divide nem 8 e nem 9 m _ªAval-Matem-ºEM-U_5/08/07-lau 8

9 08) VERDADEIRO m m + 4 Analisando + conclui-se que m + m + m + será um número inteiro quando m + for divisor de 40 O conjunto dos divisores de 40 é: D(40) {,, 4,5, 8, 0, 0, 40} m + D(m) Construindo a tabela ao lado, verificamos que como m N*, são 7 os possíveis valores de m :,, 4, 7, 9, 9 e 9 m + m ) VERDADEIRO O número de diagonais se um polígono convexo é m(m ) dado pela fórmula: d, sendo m o número de lados do polígono A questão coloca o número de diagonais entre 5 e 5: m(m ) 5 < < 5 40 < (m m) < 470 m que é um número primo m m m m QUESTÃO 06 Considere a matriz A (a i j ) tal que: Pode-se afirmar que: a a a i j i j i j i, se i > j j, se i < j i + j, se i j 0) A é uma matriz simétrica 0) deta 6 04) det 5A 0 6) O determinante da matriz C A - AA t é igual a 48 X + A X A ) O elemento x da matriz X tal que + A é igual a 4 08) (,, ) é solução da equação XA B onde B ( ) _ªAval-Matem-ºEM-U_5/08/07-lau 9

10 Inicialmente dermine-se a matriz A a A a a a a a a a a Agora calcule-se deta: ) VERDADEIRO A é uma matriz simétrica, pois, a a, a a e a a 0) VERDADEIRO 04) FALSO Sendo A uma matriz de ordem, então det 5A 5 deta ) VERDADEIRO Sendo A uma matriz do tipo e B uma matriz do tipo, como XA B que X é uma matriz do tipo ( x y z) 4 ( ) 6 x + y + z x + 4y + z x + y + 6z Substituindo este valor em L x + z 5 x + 6z 9 {[ L ( ) + L ] e em L x x e y 4 y { L ( ) + L S {( ) } 6) VERDADEIRO C A - AA t A t detc 6 48 z ) Falso X + A X A + A Logo x a X + A + X A 6A 5X 5A X A _ªAval-Matem-ºEM-U_5/08/07-lau 0

11 QUESTÃO 07 Sobre Matemática Financeira é verdade que: 0) Se R$ 850,00 foi o montante resultante da aplicação do capital R$ 800,00, no prazo de mês, a taxa de juros foi superior a 6% ao mês 0) Se o capital C o fosse aplicado durante meses, taxa mensal de juros simples igual a i, e o dobro desse capital fosse aplicado durante mês, taxa mensal de juros compostos igual, também a i, resultando montantes iguais, então i < 90% 04) Se certo capital fosse aplicado em caderneta de poupança, obtendo em cada um dos dois primeiros meses, uma taxa de rendimento igual a i, resultando um montante 0% a mais que o capital empregado, então i < 9% 08) Os juros obtidos com a aplicação de R$ 400,00, em dois meses, taxa de juros compostos de 0% ao mês, correspondem a R$ 84,00 6) Se o pagamento de uma dívida de R$ 440,00 é antecipado em 4 meses, com a taxa de desconto simples igual a 5% ao mês, o desconto obtido é igual a R$ 40,00 0) VERDADEIRO ( + i) 800i 50 i 50 0, 065-6,5% > 6% 800 0) FALSO M simples C o +C o i e M composto C o ( + i) Como os montantes são iguais: C o +C o i C o + C o i + i + i i,00 00% > 90% 04) FALSO M C(+i),C (+i), + i,,0954 i 0,0954 9,5% > 9% 08) VERDADEIRO M 400(+0,) 400, 484 j ) VERDADEIRO VF C +C (+0,05n) 440 C +0,05 4 C,C 440 C 00 que o desconto simples foi de R$ 40, _ªAval-Matem-ºEM-U_5/08/07-lau

12 QUESTÃO 08 Numa classe com 40 alunos, M é o conjunto dos alunos que estudam Matemática, F é o conjunto dos alunos que estudam Física e Q o dos alunos que estudam Química Nenhum aluno que estuda Química estuda Matemática Sabe-se que: n(m) 8, n(f M), n(q), n(q F) 5 e n(f) 6 É verdade que: 0) n(m F Q) 0 0) n[(m Q) F] 04) O número de alunos que não estudam qualquer uma dessas disciplinas é 0 08) O número de alunos que estudam Física é 6) Escolhendo-se, ao acaso, um aluno dessa classe, a probabilidade de ele só estudar Química é,5% De n(f M) vem: f + b De n(q F) 5 vem: q 5 De n(f) 6 vem: n(f) 4 a + b + f 4 Como f + b, tem-se: a 4 De n(f) 6 vem: m + q + c 6 m + c 6 5 De n(m) 8 vem: m + a 8 m 8 a 6 De n(q) vem: q + b b 5 8 Se b 8, substituindo esse valor em f + b, f 4 Se m + c 6 + c c 5 Verificando: a+b+f+m+q+c ) VERDADEIRO n(m F Q) 0 0) VERDADEIRO n(m Q) n[(m Q) F] (a + b) 0 04) FALSO n(classe) - n(m Q F) c 5 O número de alunos que não estudam qualquer uma dessas disciplinas é 0 08) FALSO O número de alunos que estudam Física é 4 6) VERDADEIRO q 5 p 0, 5,5% _ªAval-Matem-ºEM-U_5/08/07-lau

13 07-477_ªAval-Matem-ºEM-U_5/08/07-lau QUESTÕES 09 e 0 Resolva as questões e assinale a resposta na Folha de Respostas QUESTÃO 09 Calcule o elemento x da matriz X tal que AXA - B + B t, sabendo que: A e B 0 A AXA - B + B t A - AXA - A - (B + B t ) XA - A - (B + B t ) XA - A A - (B + B t )A X A - (B + B t )A X X X x 7 RESPOSTA: x 7 QUESTÃO 0 Em Geologia para se obter o peso específico de um minério, é preciso determinar o volume de uma amostra desse minério Para isso utiliza-se um recipiente cilíndrico graduado, porém nesta questão consideraremos um recipiente cônico com água e dimensões, em centímetros, indicadas na figura Quando a amostra do minério é totalmente submersa, verifica-se que o nível da água sobe cm Calcule a parte inteira do volume da amostra, considerando π para facilitar os cálculos

14 0 0 0 Da figura : r r 0 R Da figura : 0R 40 R O volume do minério é a diferença entre os volumes dos cones de alturas, respectivamente, com medidas e 0 (figura ): 00 π 0 π π 64π Substituindo π por : 9 80, RESPOSTA: _ªAval-Matem-ºEM-U_5/08/07-lau 4