CPV - especializado na ESPM

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1 - especializado na ESPM ESPM JULHO/006 PROVA E MATEMÁTICA. Assinale a alternativa correspondente à epressão de menor valor: a) [( ) ] [ ] c) [( ) ] [ ] [ ] Calculando-se cada item, temos: a) [( ) ] = = 4 [ ] = = 4 c) [( ) ] = [ 8] = [ ] = [ 8] = [ ] = = 8 Alternativa B. A diferença entre a maior e a menor raiz real da equação ( + ). ( ) = 4 8 é igual a: ( + ). ( ) = 4 8 [( ) + ]. [( ) ] = 4 8 ( ) = (4 4) = 0 = + Raízes: = = + = Alternativa A. Um arquiteto projetou uma casa térrea para ser construída num terreno de 60 m de área. A pedido do proprietário, um novo projeto foi feito, aumentando a área construída em 0%, o que fez com que a área livre diminuísse pela metade. Neste novo projeto, a razão entre a área construída e a área livre é de: a) 4 : 5 : c) 5 : 6 : 7 : A L Área livre A C Área construída A L + A C = 60 m 0,5 A L +,0 A C = 60 m a) c) 8 + A L + A C = 0,5 A L +,0 A C 0,5 A L = 0, A C 0,5 AC A = C 5 0, A = L AL, 0 AC, = = 0,5 AL 0,5. Alternativa D

2 espm - 0/07/006 cpv - especializado na espm 4. Se e são números reais tais que = = 4, então: a) 0 < < 4 c) 4 < < < < < < < < = = 4 6. Certo tipo de planta tem seu crescimento aproimado pela função h() = log ( + ), onde é o número de dias após a germinação e h() é a altura da planta em cm. Assim, podemos dizer que a altura dessa planta após anos da germinação será de aproimadamente: a) 4 cm 5 cm c) 6 cm 7 cm 8 cm h () = log ( +) para : número de dias h: altura em função de após anos: = 70 portanto: h (70) = log 7 Como log 79 = log 6 = 6, então h será próimo de 6 cm. Alternativa C = = = 7. As grandezas A e B variam conforme os valores de, de acordo com a tabela abaio: < < < < << Alternativa C 5. Considere as funções f () = log e g () =, definidas para todo real estritamente positivo. Se a > 0 e f [g(a)] =, podemos afirmar que: a) f (a) = 0 g (a) = c) f (a) + g (a) = g (a) = f (a) = Dados f () = log e g () = temos que g (a) = 4a 4a e f [g (a)] = log (4a 4a). Para f [g (a)] =, temos: log (4a 4a) = 4a 4a = 8 a = ou a = (não convém) Então f (a) =, pois f () = Alternativa E 4 / / A B Podemos afirmar que B será maior que A somente a partir do valor de igual a: a) 9 7 c) 5 Temos as seqüências: A (99, 0, 07,,...), que é uma PA com A = 99 e R = 4. Portanto: A = A. ( ). R = 99 + ( ). 4 = B (0,, 8, 5, 4,...), que é uma seqüência de termo geral B = Queremos B > A, portanto: > > 0 8 Logo < 8 ou > e o maior valor possível de é. Alternativa E

3 cpv - especializado na espm espm - 0/07/ Um jardim quadrado medindo m de lado será dividido em partes, como mostra a figura abaio. 9. Os termos do polinômio P () = têm seus epoentes formando uma PA e seus coeficientes numéricos como uma PG. Para que o resto da divisão desse polinômio pelo binômio + seja igual a 85, o grau de P() deverá ser: a) c) No retângulo A serão plantadas flores que custam R$,00 o m e na regiao B serão plantadas flores de R$,00 o m. Podendo-se variar apenas as medidas designadas por, o custo mínimo que esse plantio poderá ter será de: a) R$ 90,00 R$ 9,00 c) R$ 94,00 R$ 96,00 R$ 98,00 O custo será dado por: S A =. ( ) = S B = S A = 44 + C = S A +. S B = ( ) + (44 + ) C = + 4 O custo mínimo é: ( 584) C min = u = 4. = R$ 96,00. Alternativa D Pelo Teorema do Resto: P ( ) = 85 ( ) + ( ) 4 + 4( ) ( ) = 85, que resulta em = 85, que é a soma de n termos de uma PG n n q ( ) S = a. = ( ). = 85 que fornece n = 8. q ( ) Para n = 8 (oitavo termo do polinômio), temos grau igual a. Alternativa A 0. O Sr. Paulo aplicou um certo capital à taa de juros simples de 4% ao mês durante meses. O montante dessa aplicação ele reaplicou à taa de juros simples de % ao mês durante 9 meses. Se ele tivesse feito uma única aplicação desse capital a juros simples durante ano, para obter o mesmo rendimento final, a taa mensal deveria ser de: a),8%,6% c),4%,,% Se aplicarmos um capital C a uma taa de juros de 4% ao mês, durante meses, teremos um montante de M = C ( + 0,04. ) =, C Aplicando esse montante durante nove meses, a uma taa de juros simples de % ao mês, teremos: M F = M. ( + 0,0. 9) =, C.,7 =,44 C Para obtermos esse montante em uma aplicação de juros simples durante um ano, teremos: M F = C ( + i. ),44 C = C. ( + i. ) i = 0,05 =, Alternativa D

4 4 espm - 0/07/006 cpv - especializado na espm. Na figura abaio, ABCD é um quadrado cujo lado mede +. O triângulo AEG é eqüilátero. A medida do segmento DF é igual a: a) + c). A soma dos ângulos assinalados na figura abaio é igual a: a) 70º 900º c) 080º 60º 440º A soma dos ângulos assinalados pode ser determinada pela diferença entre a soma dos ângulos internos de 9 triângulos e o dobro da soma dos ângulos eternos de um eneágono, ou seja: 9. 80º. 60º = 900º Alternativa B. Dado no plano cartesiano o triângulo de vértices A (4, 0), B (0, ) e C (8, 8), a medida da altura relativa ao vértice A é igual a: a) 4 5 c) 4 )60º C (8, 8) O lado do quadrado ABCD é a altura do triângulo AGE. B (0, ) Temos: AG. DG = AG DA = + AG = 4 + A (4, 0) DG = 4 Do DGF, concluímos que: tg 60º = DF DF = ( + ) = Alternativa D reta BC suur : m BC = m BC = 4 h A = = ( 4). ( 0) = 0 BC h A = 4 suur Alternativa A

5 cpv - especializado na espm espm - 0/07/ Considere a região do plano cartesiano definida pelo sistema de inequações: 0 0 ( ) + 4 A área dessa região é igual a: a) 4π π + c) 4π 4π + 4π + 0 S P 0 ( ) Uma associação recém-formada vai constituir uma diretoria composta de presidente, tesoureiro e secretários. Entre os membros da associação, 6 deles se candidataram a presidente, 4 outros se ofereceram para tesoureiro e 8 outros para a secretaria. O número de maneiras distintas que se tem para a formação dessa diretoria é igual a: a) c) C 6,. C 4,. C 8, = = 67 Alternativa B 6. Considere o polígono ao lado, com as medidas indicadas: Os sólidos obtidos pela rotação completa desse polígono, em torno da reta r e em torno da reta s, têm como volumes respectivamente: a) 5π e 5π 7π e 4π c) 5π e 7π 5π e 6π 4π e 7π V r = π. () + π. () = 5π S 60º 0º S 60º 0 60º 0 S = 6 π. R a. b. sen αº r V s = π. () π. () = 7π S = 6 π.... S = π S P = π. R S S P = π. π S P = 4ð + Alternativa E Logo V r = 5π e V s = 7π Alternativa C

6 6 espm - 0/07/006 cpv - especializado na espm 7. As faces laterais de uma pirâmide quadrangular regular são triângulos eqüiláteros. O ângulo formado pelas retas suportes de uma aresta lateral e de uma das diagonais da base pode medir: 8. O gráfico em destaque representa uma função real = f (). Entre as alternativas dadas, assinale a que melhor representa a função = f ( + ). a) 60º ou 90º 45º ou 60º c) 0º ou 60º 0º ou 45º 45º ou 90º o caso: A l l a) E D B l C No ABD: AB + AD = BD BÂD = 90º Como o ABD é isósceles, A ˆBD A ˆDB = 45º o caso: A c) E D B C Traçamos a reta t, paralela a CE, pelo ponto B: suur t//ce suur suur suur AB e CE são ortogonais (90º). AB t Alternativa E

7 cpv - especializado na espm espm - 0/07/006 7 f ( + ) desloca as raízes de uma unidade para a esquerda. Logo, as raízes de f ( + ) são, 0,, que estão representadas pela alternativa C. = f () = f ( + ) 40. Seja T o conjunto de todos os triângulos distintos cujos lados possuem medidas inteiras de centímetros e são menores que 5 cm. Escolhendo-se ao acaso um elemento de T, a probabilidade de que ele seja um triângulo isósceles não eqüilátero é: a) 8 c) Alternativa C 9. A praça de um representante comercial é constituída por 4 cidades, designadas por A, B, C e D. A tabela abaio mostra os custos, em reais, de cada viagem entre duas cidades. A B C D 0 Lembrando que em um triângulo qualquer lado deve ser menor que a soma dos outros dois, temos apenas as seguintes possíveis combinações: a c a, b, c < 5,,,, *, 4, 4*,,,, *,, 4, 4, 4*,,,, 4*,, *, 4, *, 4, 4* 4, 4, 4 * esses triângulos são isósceles não equiláteros. P = 8 b Alternativa B A B C Num certo mês, o custo total das viagens ficou eatamente em R$ 745,00. O número mínimo de viagens que ele pode ter realizado nesse mês é: a) 7 8 c) Como R$ 745,00 devem ser gastos com o número mínimo de viagens, escolhemos os maiores custos para cada viagem. Assim, $ 745 = $ 00 + $ 00 + $ 00 + $ 40 + $ 40 + $ 40 + $ 5. Logo, o número mínimo de viagens é 7. Alternativa A Geometria Espacial 0% COMENTÁRIO DA PROVA DE MATEMÁTICA Mais uma vez, a Banca Eaminadora da ESPM apresentou uma prova bem formulada, cobrindo praticamente todos os conteúdos do programa proposto e mantendo a característica do eame, ao eigir a interpretação dos enunciados para a resolução de cada uma das 0 questões. DISTRIBUIÇÃO DAS QUESTÕES DE MATEMÁTICA Equação do o Grau Logaritmos 0% Análise Combinatória 0% Geometria Plana Porcentagem Função Eponencial Probabilidades Potências Módulo Geometria Analítica 0% Seqüências Polinômios Matemática Financeira