Unicamp - 2 a Fase (17/01/2001)

Transcrição

1 Unicamp - a Fase (17/01/001) Matemática 01. Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela abaio: Plano Custo fio mensal Custo adicional por minuto A R$ 3,00 R$ 0,0 B R$ 0,00 R$ 0,80 C 0 R$ 1,0 a) Qual é o plano mais vantajoso para alguém que utilize minutos por mês? b) A partir de quantos minutos de uso mensal o plano A é mais vantajoso que os outros dois? De acordo com os tetos, temos: C A = 3 + 0,0. C B = 0 + 0,80. C C = 0 + 1,0. onde é o número de minutos de uso. Logo: a) para = : C A = 47,0 C B = 40,00 C C = 30,00 O plano mais vantajoso é o C. b) C A = C B C A = C C 3 + 0, = 0 + 0, , = 1,0 0,3 = 1 0,7 = 3 = 0 = 0 a partir de 0 minutos. Graficamente: 60 C (R$) C C C B C A (min) 1

2 UNICAMP a FASE 0. Um fio de 48cm de comprimento é cortado em duas partes, para formar dois quadrados, de modo que a área de um deles seja quatro vezes a área do outro. a) Qual deve ser o comprimento de cada uma das partes do fio? b) Qual será a área de cada um dos quadrados formados? a) 48 cm y 4 + 4y = 48 + y = 1 y I y II y < 1 e y < 1 y S I = 4 S II = 4y = 4 (1 ) = 4 ( ) = 0 ( 3) = 0 = 6 = = 8 4 = 3 cm y = 4 4y = 16 cm b) S I = = 8 = 64 cm S II = y = 4 = 16 cm 3 ± 16 = 4 ou = A figura abaio é a planificação de uma caia sem tampa: X/ X X/ X a) Encontre o valor de, em centímetros, de modo que a capacidade dessa caia seja de 0 litros. b) Se o material utilizado custa R$ 10,00 por metro quadrado, qual é o custo de uma dessas caias de 0 litros considerando-se apenas o custo da folha retangular plana?

3 a FASE UNICAMP 3 X/ X X/ X a) / b) V = S B. h =.. 3 = para V = 0 l = 0 dm 3 = cm 3 3 = = =. 10 = 0 cm +. = = = = 70 S = = 8400 cm 1 m 10 4 cm 8400 cm = custo m 10,00 0,84 C C = R$ 8,40 = 0,84 m

4 4 UNICAMP a FASE 04. O teorema fundamental da aritmética garante que todo número natural n > 1 pode ser escrito como um produto de números t t t primos. Além disso, se n = p 1 r 1 p... pr, onde p 1, p,..., p r são números primos distintos, então o número de divisores positivos de n é d (n) = (t 1 + 1) (t + 1)... (t r + 1). a) Calcule d (168), isto é, o número de divisores positivos de 168. b) Encontre o menor número natural que tem eatamente 1 divisores positivos. a) = Logo d (168) = (3 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 4.. = 16 divisores positivos b) para d (n) = 1 devemos ter 1 =. 3 = (4 + 1) ( + 1) O menor n natural será obtido com as menores bases associadas aos maiores epoentes. Assim: n = 4. 3 = = Considere três circunferências em um plano, todas com o mesmo raio r = cm e cada uma delas com centro em um vértice de um triângulo eqüilátero cujo lado mede 6 cm. Seja C a curva fechada de comprimento mínimo que tangencia eternamente as três circunferências. a) Calcule a área da parte do triângulo que está fora das três circunferências. b) Calcule o comprimento da curva C. A T (área do triângulo ABC) A A S (área do setor circular) B C a) A T = 36 3 = o 60 A S = o. 4π = π A 1 = 9 3 3π. 3 A1 = (9 3 π) cm b) C = πr + r = 3 r = 3 logo C = π ( 3 ) C = 4π ( 3 1) cm

5 a FASE UNICAMP 06. Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$,00, o quilo da castanha de caju, R$ 0,00 e o quilo de castanha-do-pará, R$ 16,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$,7. Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas. a) Escreva o sistema linear que representa a situação descrita acima. b) Resolva o referido sistema, determinando as quantidades, em gramas, de cada ingrediente por lata. Sendo, amendoim caju y castanha-do-pará z a) + y + z = 0, (I) + 0y + 16z =,7 (II) + z y = + z = 3y (III) 3 b) (III) em (I), temos: 4y = 0, y = 0,1kg.( ) + z = 0, z = 3, 11z = 1,37 z = 0,1kg = 0,kg as quantidades são: 0 g de amendoim, 1 g de castanha-do-pará e 1 g de caju. 07. O sistema de numeração na base 10 utiliza, normalmente, os dígitos de 0 a 9 para representar os números naturais, sendo que o zero não é aceito como o primeiro algarismo da esquerda. Pergunta-se: a) Quantos são os números naturais de cinco algarismos formados por cinco dígitos diferentes? b) Escolhendo-se ao acaso um desses números do item a, qual a probabilidade de que seus cinco algarismos estejam em ordem crescente? a) Algarismos distintos = 7.16 números (regra do produto) b) Algarismos crescentes sob essa condição, é impossível considerar o algarismo zero em qualquer posição. Portanto o total de números com algarismos em ordem crescente é: C 9, = Logo a probabilidade pedida é: P = =

6 6 UNICAMP a FASE 08. Considere, no plano y, as retas y = 1, y = e y + = 0. a) Quais são as coordenadas dos vértices do triângulo ABC formado por essas retas? b) Qual é a área do triângulo ABC? (r) y = 1 (s) y = (t) y + = 0 a) A = (r) (s) y = 1 y = = 3; y = 1 A = (3, 1) B = (r) (t) y = 1 y+ = 0 C = (s) (t) y = y+ = 0 = 3; y = 1 B = ( 3, 1) = ; y = B = (, ) b) A = D = D, onde = 4 1 A = 4 = 1 A = As populações de duas cidades, A e B, são dadas em milhares de habitantes pelas funções A(t) = log 8 (1+t) 6 e B(t) = log (4t + 4) onde a variável t representa o tempo em anos. a) Qual é a população de cada uma das cidades nos instantes t = 1 e t = 7? b) Após certo instante t, a população de uma dessas cidades é sempre maior que a da outra. Determine o valor mínimo desse instante t e especifique a cidade cuja população é maior a partir desse instante. a) cidade A A (1) = log 8 6 = A (1) = 000 habitantes A (7) = log = 6 A (7) = 6000 habitantes cidade B B (1) = log 8 = 3 B (1) = 3000 habitantes B (7) = log 3 = B (7) = 000 habitantes

7 a FASE UNICAMP 7 b) A (t) = log (1 + t) A (t) =. log (1 + t) B (t) = log 4. (1 + t) B (t) = + log (1 + t) sendo, = log (1 + t) então, A (t) =. log (1 + t) A () = B (t) = + log (1 + t) B () = + y 1 B() A() O t da intersecção dos gráficos é: = + = log (1 + t) = t = 3 anos o instante mínimo é t = 3 anos e a cidade cuja população é maior a partir desse instante é A, como mostra o gráfico. 10. Considere a equação trigonométrica sen θ cos θ + 1 sen θ = 0. a) Mostre que não são soluções dessa equação os valores de θ para os quais cos θ = 0. b) Encontre todos os valores de cos θ que são soluções da equação. sen θ cos θ + 1 sen θ = 0 a) sen θ cos θ + senθ cosθ = 0 Se cosθ = 0 for solução, sen θ. 0 + senθ. 0 = 0 sen θ = 0, logo senθ = 0, o que é impossível, logo cosθ = 0 não é solução da equação. b) sen θ cos θ + senθ cosθ = 0, como cosθ 0 sen θ cos θ senθcosθ + cos θ cos θ cos θ = 0 tg θ + tgθ = 0 Seja tgθ = (I) + = 0 = (II) = 1 (III)

8 8 UNICAMP a FASE Substituindo (II) em (I) em: senθ tgθ = cosθ = senθ = cosθ sen θ + cos θ = 1 4 cos θ + cos θ = 1 cos θ = 1 cosθ = Substituindo (III) em (I) vem: senθ tgθ = 1 cosθ = 1 ± senθ = cosθ sen θ + cos θ = 1 cos θ = 1 cos θ = 1 cosθ = ± Portanto os valores de cosθ são: ± e ± 11. Considere o polinômio: p() = a) Verifique se o número compleo + 3i é raiz desse polinômio. b) Prove que p() > 0 para todo número real >. a) p() = Uma solução para este item é determinarmos as raízes inteiras. Como p( ) = 0, é uma das raízes, logo: = 0 = + 3i ou = 3i Logo + 3i é raiz b) p() = ( + ) 1443 ( ) f() g() Como g() > 0, C então os sinais de p() serão os mesmos de f(), isto é: + p() > 0, C / >

9 a FASE UNICAMP 9 1. A base de uma pirâmide é um triângulo eqüilátero de lado L = 6 cm e arestas laterais das faces A = 4 cm. a) Calcule a altura da pirâmide. b) Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide? V Sejam L AM = MC = = 3 cm L. 3 BM = = 3 3 cm BM DM = = 3 3 cm H A = 4 cm A VM = m = 7 cm (Pitágoras em VAM) B VD = H =? D M L = 6 cm C a) Aplicando o Teorema de Pitágoras no VDM, temos: m = H + 3 H = cm b) Pela simetria de figura, o centro O da esfera pertence à reta suporte da altura H, podendo estar contida nela ou não. Supondo O H, temos: V R A = 4 R... é o raio da esfera (R < H) AD = n = 3 cm (Pitágoras no ADM) H = O R A H R B D n M Aplicando o Teorema de Pitágroas no AOD, temos: R = (H R) + n R = ( R) + ( ) 3 R = 4 cm C

10 10 UNICAMP a FASE Portanto O H e a figura correta é: V B P H D A R R H C O onde: BD = p = 3 cm Aplicando o Teorema de Pitágoras no BDO, temos: R = p + (R H) R = ( ) 3 + (R ) R = 4 cm