Matemática: Trigonometria Vestibulares UNICAMP

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1 Matemática: Trigonometria Vestibulares UNICAMP 1. (Unicamp 015) A figura abaixo exibe um círculo de raio r que tangencia internamente um setor circular de raio R e ângulo central θ. a) Para θ 60, determine a razão entre as áreas do círculo e do setor circular. b) Determine o valor de cosθ no caso em que R 4r.. (Unicamp 014) Considere um hexágono, como o exibido na figura abaixo, com cinco lados com comprimento de 1cm e um lado com comprimento de xcm. a) Encontre o valor de x. b) Mostre que a medida do ângulo α é inferior a (Unicamp 01) Um satélite orbita a km da superfície da Terra. A figura abaixo representa uma seção plana que inclui o satélite, o centro da Terra e o arco de circunferência AB. Nos pontos desse arco, o sinal do satélite pode ser captado. Responda às questões abaixo, considerando que o raio da Terra também mede km. 1

2 a) Qual o comprimento do arco AB indicado na figura? b) Suponha que o ponto C da figura seja tal que cos( θ) / 4. Determine a distância d entre o ponto C e o satélite. 4. (Unicamp 01) Um recipiente cúbico de aresta a e sem tampa, apoiado em um plano horizontal, contém água até a altura a. Inclina-se lentamente o cubo, girando-o em um 4 ângulo θ em torno de uma das arestas da base, como está representado na figura abaixo. a) Supondo que o giro é interrompido exatamente antes de a água começar a derramar, determine a tangente do ângulo θ. b) Considerando, agora, a inclinação tal que tan( θ) 1/4, com 0 θ π/, calcule o valor numérico da expressão cos( θ) sen( θ). 5. (Unicamp 01) Um topógrafo deseja calcular a distância entre pontos situados à margem de um riacho, como mostra a figura a seguir. O topógrafo determinou as distâncias mostradas na figura, bem como os ângulos especificados na tabela abaixo, obtidos com a ajuda de um teodolito.

3 Visada Ângulo ^ A CB π 6 ^ BCD π ^ ABC π 6 a) Calcule a distância entre A e B. b) Calcule a distância entre B e D. 6. (Unicamp 011) Um engenheiro precisa interligar de forma suave dois trechos paralelos de uma estrada, como mostra a figura abaixo. Para conectar as faixas centrais da estrada, cujos eixos distam d metros um do outro, o engenheiro planeja usar um segmento de reta de comprimento x e dois arcos de circunferência de raio r e ângulo interno. a) Se o engenheiro adotar 45, o segmento central medirá x d r( 1). Nesse caso, supondo que d 7 m, e r 6 m, determine a distância y entre as extremidades dos trechos a serem interligados. b) Supondo, agora, que 60, r 6 m e d 90 m, determine o valor de x. 7. (Unicamp 010) Laura decidiu usar sua bicicleta nova para subir uma rampa. As figuras a seguir ilustram a rampa que terá que ser vencida e a bicicleta de Laura. = (ل) cos tal que,ل a) Suponha que a rampa que Laura deve subir tenha ângulo de inclinação 0,99. Suponha, também, que cada pedalada faça a bicicleta percorrer,15 m. Calcule a altura h (medida com relação ao ponto de partida) que será atingida por Laura após dar 100 pedaladas. b) O quadro da bicicleta de Laura está destacado na figura à direita. Com base nos dados da figura, e sabendo que a mede cm, calcule o comprimento b da barra que liga o eixo da roda ao eixo dos pedais.

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5 Gabarito: Resposta da questão 1: a) Considere a figura. Como o círculo e o setor são tangentes internamente, temos AC R, OB OC r e BAO 0. Logo, segue que AO AC OC R r. Portanto, do triângulo ABO, vem OB r senbao sen0 AO R r r 1 R Em consequência, a razão pedida é igual a πr r R πr 60 b) Se R 4r, então, do triângulo ABO, obtemos θ r θ 1 sen sen. R r Por conseguinte, vem θ cosθ 1 sen Resposta da questão : a) Considere a figura. 5

6 Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos ABC, ACD, ADE e AEF, vem AC AB BC 1 1, AD AC CD 1, AE AD DE 1 4 e AF AE EF x 4 1 x 5 cm. b) É imediato que BAC 45. Do triângulo ACD, temos CD 1 tgcad CAD arctg 45. AC Do triângulo ADE, vem DE 1 tgd AE D AE arctg 0. AD Do triângulo AEF, segue EF 1 tge AF E AF arctg 0. AE 4 Portanto, tem-se α BAC CAD DAE EAF Resposta da questão : a) No triângulo assinalado: R é a medida do raio da terra. 6

7 R 1 cosα α 60 R R Portanto, o arco AB mede 10 e seu comprimento será dado por: π R π π km. b) Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos: d R (R).R.R.cos θ d 5R 4.R.(/4) d.r d R d km Resposta da questão 4: a) Observando a figura abaixo, temos no triângulo assinalado: 7

8 a a tgθ a b) Se tan( θ) 1/4, com 0 θ π/, temos: 1 4 sen θ e cosθ Logo, cos θ senθ cos θ sen θ.sen θ.cosθ Resposta da questão 5: a) No triângulo ABC assinalado, temos: 8

9 15 x x x x cos x x 5 x x 75 x 5 m b) No triângulo BDC, temos: y cos60 y y 175 y 5 7m Resposta da questão 6: a) Para d 7 m e r 6 m, vem: x 7 6 ( 1) 7 m. Queremos calcular y BC CG GH. Como os triângulos ABC e DEF são congruentes, FE BC. Além disso, FE GH, pois FE GH. Portanto, 9

10 y BC CG r sen x cos 6 sen 45 7 cos m. b) Para 60 e r 6 m, temos: 1 HI JE DJ DE r r cos m. Do triângulo CFG, vem: FG HE x sen x sen60 x. Portanto, para d 90 m, segue que d JE HE x x 6 m. Resposta da questão 7: 100 passos = 100.,15 = 15m a) Na figura 1 sen = 1 cos sen = 1 - sen = 0,01 sen = 1/100 0,99 logo 1 10 b) na figura h h 1,5m 15 aplicando o teorema dos cossenos. = b + b b.b. b b 1..( ) b cm 10

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